Sobre las unidades de medida en las variables y el término

Sobre las unidades de medida en las variables y el término “tasa” empleado en el
manual de Sargent.
El tema de las unidades de medida en las variables macroeconómicas casi nunca se hace
explícito, y en el libro de Sargent todo esto se da por supuesto.
Hay que tener claro qué variables son exógenas y endógenas, pero antes que esto, y para
tener clara la notación o simbología, es necesario también distinguir con cuidado las
variables flujo de las variables stock, porque de esa distinción se derivan diferencias de
notación que de otra forma no se entienden bien.
De una variable flujo no podemos tener una foto fija, un valor en un momento dado del
tiempo. Sólo podemos conocer su variación para un período de tiempo determinado,
que en tiempo continuo puede ser infinitesimalmente pequeño. En las variables flujo el
valor de las mismas en el momento inicial es cero (siempre se pone el contador a cero) y
en el momento final registramos el total acumulado por dicho flujo durante ese período
de tiempo. Si empleamos tiempo discreto en nuestra formulación, tendremos un simple
incremento, que dado un valor inicial de cero es igual al valor de la variable. En tiempo
continuo será la integral de las variaciones infinitesimales entre el momento inicial y el
final, partiendo siempre de un valor inicial de la variable igual a cero. Por tanto, una
variable flujo es siempre, en sí misma, una variación. Sus unidades de medida suelen ser
siempre unidades monetarias por período de tiempo. Por ejemplo, Y, la producción, que
en verdad es el valor añadido, se mediría en unidades monetarias por unidad de tiempo.
Las variables stock son otra historia, pues de ellas sí podemos registrar un valor positivo
en un momento concreto del tiempo (un instante). La unidad de medida de una variable
stock suele ser unidades monetarias, sin dimensión temporal. No podemos combinar en
una función lineal variables flujo y stock por un problema evidente de magnitudes, de
unidades de medida. Por eso en las ecuaciones en las que aparecen variables flujo y
variables stock éstas siempre están en términos de incremento, con un punto sobre la
variable. Estos incrementos de la variable stock son la sustracción de dos valores
puntuales de la variable en dos momentos distintos del tiempo, y por tanto las unidades
de medida ya son unidades monetarias por período de tiempo. Por ejemplo, K, el stock
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de capital, tiene un valor concreto positivo en un momento del tiempo, y la diferencia de
= I , es decir, la inversión, una
dicho valor en dos momentos distintos es K − K ' = K
=I
variable flujo, un incremento. En términos de tiempo continuo tenemos dK / dt = K
(véase la expresión 7 del libro de Sargent, versión española, página 12). En este sentido,
la naturaleza de las variables flujo y las variaciones de las variables stock tienen una
naturaleza similar y por consiguiente las mismas unidades de medida.
El concepto de tasa de incremento es sencillo, pues se trata, simplemente, de la
variación dividida por el valor inicial, como aparecen en la segunda expresión de la
página 13 del manual de Sargent, es decir,
M −M'
M
=
es la tasa de variación de la
M
M'
oferta monetaria, y como es lógico, se trata de una variable con dimensión temporal
implícita, pues su magnitud dependerá del período considerado, pero no de la moneda
empleada para medir M. De la misma forma tenemos que
p p − p '
=
= π es la inflación,
p
p'
es decir, la tasa de variación del nivel de precios, medida en la práctica por medio de un
índice.
La expresión 1 de la página 7 del libro de Sargent incluye sólo variables flujo, y por
tanto es una expresión consistente desde el punto de vista de las magnitudes. Todas las
variables vienen expresadas en unidades monetarias por año, incluida la depreciación de
capital. En el fondo todas son incrementos, con un valor inicial (a principios del año)
para cada una de las variables igual a cero. No obstante, podemos calcular la variación
= I . En este caso estamos
de la renta entre dos períodos, de manera que Y − Y ' = Y
sustrayendo dos incrementos. En tiempo continuo no es más que la sustracción de dos
integrales. En este sentido, presentar las variables de la expresión 1 de la página 7 como
“tasas” puede invitar a la confusión, pues una tasa no puede venir expresada en
unidades monetarias al ser un incremento porcentual (o en tantos por uno) por período
de tiempo. Las variables de dicha expresión son simplemente “incrementos”, que en el
caso de las variables flujo es obvio, pues siempre son “incrementos” para un valor
inicial de cero. En las primeras líneas de la página 16, en cambio, se utiliza bien el
término “tasa”.
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Para comprobar que este galimatías conceptual tiene una lógica interna basta con
comprobar que, en efecto, cualquier expresión del libro es consistente en cuanto a las
magnitudes, para lo que es suficiente con ver que las unidades de medida que resultan a
uno y otro lado de la igualdad son las mismas. Veamos la expresión al final de la página
− δ K − C , donde puede observarse cómo aparece una variable stock entre
20, G = Y − K
variables flujo, pero en términos de incremento.
Cuando introducimos tiempo continuo y calculamos los movimientos desde una
posición de equilibrio determinada, empleando el cálculo diferencial, nos encontramos
con diferenciales de las variables-flujo, pequeños valores de la variable (incrementos
desde un valor cero) que se pueden integrar para computar el caudal entre dos
momentos de tiempo. El diferencial de una variable stock nos mide, igualmente, la
variación entre dos momentos de tiempo cualesquiera. Pero hay una diferencia evidente,
y es que la magnitud de una variable stock puede calcularse también integrando, si bien
es necesaria una información adicional: la magnitud de la variable stock en el momento
o instante inicial. Obsérvese, a título de ejemplo, la expresión 30 de la página 39, que
define el stock de capital en el momento t como la suma de incrementos de capital entre
t y t0 más el capital existente en el momento t0, todo ello en tiempo continuo. Es una
forma de expresar la forma de cálculo real de los stocks de capital, sumando sucesivas
formaciones netas de capital a partir de un momento pasado (método del inventario
permanente). El posible error que hayamos podido cometer en la estimación de K(t0)
tiene una importancia relativa menor cuanto mayor sea el período de integración t-t0. En
cambio, la renta a 31 de diciembre, momento t, puede expresarse integrando los
pequeños incrementos instantáneos ocurridos durante el año, el período t-t0, sin
t
referencia a ninguna magnitud inicial, de forma que Y(t) = ∫ Y(s)ds , t > t0, mientras
t0
= t Y(s)ds − Y(t ) donde obviamente Y(t ) = t0 Y(s)ds siendo t
que, en efecto, Y(t)
0
0
∫
∫
t0
t −1
> t0 > t-1.
Rubén Osuna
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