progresiones aritméticas

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, a
excepción del primero, se obtiene sumando al anterior un mismo número, d,
que se llama diferencia de la progresión. Su término general viene dado por
la expresión:
an = a1 + (n – 1) · d
Y la suma de los n primeros términos se obtiene mediante la siguiente relación:
Sn =
n · (a1 + a n )
2
1. Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas:
a) an = 3, 7, 11, 15, ...
c) cn = 16, 8, 0, ...
b) bn = 3, 2,7, 2,4, 2,1, …
d) d n =
1 5 4 11
, , , , ...
3 6 3 6
2. Indica si las siguientes progresiones son aritméticas:
1
n
a) an = 2n
c) c n =
b) bn = 4n – 2
d) dn = 5n – 7
3. De las siguientes progresiones aritméticas determina los términos que se indican:
a) El término trigésimo de: 1, 6, 11, 16, ...
b) El decimosexto de: 1, 5, 9, 13, ...
c) El vigesimocuarto de: –8, –5, –2, 1, ...
4. En una progresión aritmética a1 = 3 y d = 4. Determina a22 y a13.
5. Si a12 = 42 y d = 2, determina a1.
6. De una progresión aritmética sabemos que a40 = 59 y a27 = 33. Determina a1 y d.
7. El primer término de una progresión aritmética vale –7 y la diferencia 4. Calcula el
término a34 y la suma de los 34 primeros términos.
8. En una progresión aritmética a3 = 24 y a10 = 66. Calcula S12.
9. En una progresión aritmética el segundo término vale 7 y la suma de los diez
primeros es 175. Determina a1 y d.
10. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 3, 1, –1, –3, –5, ... se deben tomar
para que la suma sea –140?
PROGRESIONES ARITMÉTICAS (Soluciones)
1. Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas:
a) an = 3, 7, 11, 15, ... ⇒ an = 4n – 1
b) bn = 3, 2,7, 2,4, 2,1, … ⇒ bn = 3,3 – 0,3n
c) cn = 16, 8, 0, ... ⇒ cn = 24 – 8n
d) d n =
n 1
1 5 4 11
, , , , ... ⇒ d n = −
2 6
3 6 3 6
2. Indica si las siguientes progresiones son aritméticas:
a) an = 2n
Sí
b) bn = 4n – 2
Sí
c) c n =
1
n
d) dn = 5n – 7
No
Sí
3. De las siguientes progresiones aritméticas determina los términos que se indican:
a) El término trigésimo de: 1, 6, 11, 16, ... ⇒ a30 = 146
b) El decimosexto de: 1, 5, 9, 13, ... ⇒ a16 = 61
c) El vigesimocuarto de: –8, –5, –2, 1, ... ⇒ a24 = 61
4. En una progresión aritmética a1 = 3 y d = 4. Determina a22 y a13.
En una progresión aritmética: an = a1 + (n –1) · d, luego:
a22 = 3 + (22 – 1) · 4 ⇒ a22 = 87
a13 = 3 + (13 – 1) · 4 ⇒ a13 = 51
5. Si a12 = 42 y d = 2, determina a1.
Como en una progresión aritmética: an = a1 + (n –1) · d, sustituyendo:
42 = a1 + (12 – 1) · 2 ⇒ a1 = 20
6. De una progresión aritmética sabemos que a40 = 59 y a27 = 33. Determina a1 y d.
Como en una progresión aritmética: an = a1 + (n –1) · d, sustituyendo llegamos a:
59 = a1 + (40 – 1) · d
33 = a1 + (27 – 1) · d
y resolviendo el sistema que resulta, llegamos a: a1 = –19 y d = 2.
7. El primer término de una progresión aritmética vale –7 y la diferencia 4. Calcula el
término a34 y la suma de los 34 primeros términos.
Como en una progresión aritmética: an = a1 + (n –1) · d, sustituyendo:
a34 = –7 + (34 – 1) · 4 ⇒ a34 = 125
Por otro lado, como la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
viene dada por la expresión:
Sn =
n · (a1 + a n )
2
sustituyendo los datos:
S 34 =
34 · (− 7 + 125 )
= 2 006
2
8. En una progresión aritmética a3 = 24 y a10 = 66. Calcula S12.
Como en una progresión aritmética: an = a1 + (n –1) · d, sustituyendo y resolviendo el
sistema que resulta:
24 = a1 + (3 - 1) · d 
 a1 = 12; d = 6
66 = a1 + (10 - 1) · d 
y, por tanto: a12 = 24.
Luego la suma de los doce primeros términos será:
S12 =
12 · (12 + 24 )
= 216
2
9. En una progresión aritmética el segundo término vale 7 y la suma de los diez
primeros es 175. Determina a1 y d.
Del enunciado tenemos como datos:
a2 = 7 ⇒ 7 = a1 + (2 – 1) · d
S10 = 175 ⇒
175 =
10 · (a1 + a10 )
10 · (a1 + a1 + (10 − 1) · d )
10 · (2a1 + 9 · d )
⇒ 175 =
⇒ 175 =
2
2
2
Resolviendo el sistema:
7 = a1 + d

 ⇒ a1 = 4; d = 3
175 = 10a1 + 45d 
10. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 3, 1, –1, –3, –5, ... se deben tomar
para que la suma sea –140?
Como la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética viene dada por
la expresión:
Sn =
n · (a1 + an )
2
el término general por: an = a1 + (n – 1) · d, y además, en la progresión aritmética dada
a1 = 3 y d = –2, sustituyendo:
− 140 =
n · (3 + 3 + (n − 1) · ( −2))
2
llegamos a:
n2 – 4n – 140 = 0
que resolviendo: n = 14.