Hoja 2

Macroeconomı́a III, curso 2008-09
Profesor: Matthias Kredler
Práctica 2
Herramientas matemáticas y contabilidad del crecimiento
Fecha de entrega: 7 de octubre
Herramientas matemáticas
Problema 1. Tiempo discreto. Para este ejercicio, utiliza
xt+1 = (1 + gt )xt ,
donde gt es la tasa de crecimiento en el periodo t, y 1 + gt es el factor de crecimiento. Recuerda
que si la tasa de crecimiento gt es constante en todo periodo t, entonces
xt+1 = (1 + g)t xt .
Un promedio geométrico consiste en encontrar el valor x tal que, si se tiene un conjunto de datos
xt, xt+1 , xt+2 , ..., xt+T , entonces
xT +1 = xt xt+1... xt+T .
En 2003, el paı́s de Sepúlveda tenı́a un PNB de 15 euros. Su población era de 5 habitantes. Del
año 0 a 2003, el PNB per capita de Sepúlveda creció a una tasa anual promedio de 3%.
1. Supón que el paı́s crezca a una tasa anual igual a la promedio para siempre, y que la población
permanezca constante. ¿En cuántos años duplicará su PNB per capita?
2. Supón ahora que a partir de 2003: (a) La población crece a una tasa anual de 2% en todo
periodo. (b) El PNB crece a una tasa anual de 4% en todo periodo. ¿En cuántos años
duplicará su PNB per capita?
3. ¿Qué pasa si la población y el PNB crecen a la misma tasa? ¿En cuántos años duplicará su
PNB per capita?
4. Supón que en 2004 y 2005 Sepúlveda el PNB per capita de Sepúlveda crece a una tasa de
3%, y que en 2006 crece a una tasa de 5%. Calcula la tasa promedio de crecimiento promedio
en estos 3 años. Observa que en este ejercicio, 2004 corresponde a t en la fórmula dada
anteriormente.
Problema 2. Tiempo continuo. Los ejercicios anteriores suponı́an que el tiempo se mide de manera
discreta. Ahora supondremos que el tiempo se mide de manera continua. Esto quiere decir que la
diferencia entre periodos es infinitesimal. Para resolver este ejercicio, utiliza
x(t) = x(0)eδt ,
donde x(0) es una condición inicial y δ es la tasa de crecimiento (e es la función exponente en base
natural). Nota: Para cualquier función, la tasa de crecimiento se define como
.
z(t)
,
z(t)
1
.
donde z es la derivada de la función z con respecto al tiempo. En este caso en particular, para la
función x(t),
.
x(0)eδt δ
x(t)
=
= δ;
x(t)
x(0)eδt
recuerda que
∂ U (t)
∂ eU (t)
= eU (t)
.
∂ t
∂ t
También recuerda que
ea eb = ea+b ,
ea
= ea−b = ea e−b , (ea )b = eab .
eb
1. El PNB del paı́s Pedriza crece a una tasa de 5% y su población crece a una tasa de 3.5%,
ambos en todo periodo. ¿A qué tasa crece su PNB per capita?
2. En el año 0 su población era 125 habitantes y su PNB era 5000. Calcula su PNB per capita
en el año 10.
3. Supón que el PNB crece a 5%. Calcula la tasa de crecimiento de la población de manera tal
que su PNB per capita crezca a 2.5%.
Observación: Para tasas de crecimiento “pequeñas”, la diferencia entre usar tiempo discreto y
continuo es pequeña.
Problema 3. Considere que la ley de movimiento de la variable x viene dada por la siguiente
ecuación diferencial:
ẋ = a x − b
1. Considere que b > 0, a > 0, y calcula el valor de x∗ : El valor de x en su estado estacionario.
2. Represente en un gráfico la tasa de crecimiento de la variable x en funcion de x ¿Qué ocurre
a lo largo del tiempo con la variable x si 0 < x0 < x∗ ?
3. ¿Qué ocurre a lo largo del tiempo con la variable x si x0 > x∗ ?
4. Considere que b < 0, a < 0, y repita los apartados 1), 2) y 3).
Contabilidad del crecimiento
En la página web del curso (http://homepages.nyu.edu/∼mk1168/Teaching.html) encontrará el
archivo prac2.xls. Descárgelo.. La primera página de este archivo contiene datos de España para
el periodo 1960-2003. En concreto, aparece Población (N ), Producto Interior Bruto, (Y ) Inversión
agregada (I), Stock de capital (K) y Horas de trabajo (L). En la hoja llamada USA aparecen
los mismos datos para Estados Unidos además de una columna adicional llamada Capital Income
((r + δ)K). Esta rúbrica corresponde al total de Valor Añadido agregado que remunera al factor
capital.
Suponga que el PIB de España y Estados Unidos en el momento t se puede representar con una
función de producción agregada Yt = Ktα (At Lt )1−α donde At representa el factor de productividad
agregada. (Al usar tiempo discreto recuerde que la tasa de crecimiento de una variable x es
xt+1 /xt − 1). Mantenga los comentarios breves.
Problema 4. Contabilidad del crecimiento para Estados Unidos. Utilice los datos de Estados
Unidos.
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1. Calcule la fracción del Valor Añadido agregado que remunera al factor capital para todo el
periodo 1948-2004. Para ello debe dividir la serie (r + δ)K por la serie del PIB (Y). Grafique
la serie y coméntela. ¿Para qué periodo de tiempo es relativamente constante? Halle la media
de la serie (r + δ)K/Y .
2. Obtenga las tasas de crecimiento del PIB per cápita, capital per cápita y horas trabajadas
per cápita y represéntelas en un gráfico.
, que se
3. Obtenga la tasa de crecimiento del factor de productividad agregada, log AAt+1
t
obtiene de la ecuación
kt+1
lt+1
At+1
yt+1
= α log
+ (1 − α) log
+ (1 − α) log
,
log
yt
kt
lt
At
donde yt representa PIB per cápita, kt representa stock de capital per cápita y lt son las horas
trabajadas per cápita. Represente las tres contribuciones al crecimiento (identificadas por los
tres termı́nos en el lado izquierdo de la ecuación arriba) gráficamente a lo largo del tiempo.
¿Cual es la más importante?
4. Represénte la tasa de crecimiento del factor de productividad agregada en un gráfico junto con
la tasa de crecimiento del PIB per cápita. Comente las diferencias de comportamiento de las
series. En particular, comente en qué periodos las tasas de crecimiento de ambas variables son
iguales, cúando se separan, etc. (Nota: considere que la fracción del Valor Añadido agregado
que remunera al factor capital es igual a la media de la serie (r + δ)K/Y antes calculada.
Esto le dará el valor que debe tener α en la función de producción).
Problema 5. Contabilidad del crecimiento para España. Utilice los datos de España.
1. Obtenga las tasas de crecimiento del PIB per cápita, capital per cápita y horas trabajadas
per cápita y represéntelas en un gráfico.
2. Obtenga la tasa de crecimiento del factor de productividad agregada (At ) y represéntela en
un gráfico junto con la tasa de crecimiento del PIB per cápita. Comente las diferencias de
comportamiento de las series antes y después de 1975. En particular, comente en qué periodos
las tasas de crecimiento de ambas variables son iguales, cúando se separan, etc. (Nota: use
el valor para α hallado anteriormente).
3. Obtenga y grafique la serie K/Y , es decir el ratio capital por unidad del PIB. Comente el
comportamiento de esta serie en relación con el comportamiento de la tasa de crecimiento
del PIB per capita y la tasa de crecimiento del factor de productividad agregada. (En particular, debe observar que cuando el PIB per cápita crece a la misma tasa que el factor de
productividad agregada el ratio K/Y permanece constante).
4. Obtenga la serie del output por hora trabajada, Yt /Lt , y compárelo con el PIB per cápita.
Comente las diferencias que observe.
5. ¿Cuáles son las diferencias más sobresalientes entre España y Estados Unidos?
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