Derivación bajo el signo integral

Derivación bajo el signo integral
1. Teorem (derivación bajo el signo integral, regla de Leibniz). Sean Ω un subconjunto medible de Rn , Λ un intervalo de R, f : Ω × Λ → C. Se supone:
i) ∀λ ∈ Λ, f λ ∈ L1 (Ω). Definimos
Z
f (x, λ) dx.
Φ(λ) :=
Ω
ii) para casi todo x ∈ Ω la función fx es derivable.
iii) ∃g ∈ L1 (Ω) tal que |fx0 (λ)| ≤ g(x) para casi todo x ∈ Ω y ∀λ ∈ Λ.
Entonces la función x 7→ fx0 (λ) es integrable en Ω, Φ es derivable en Λ y
Z
0
Φ (λ) = fx0 (λ) dx.
Ω
2. Corolario. Cambiamos la hipótesis ii) del teorema por la siguiente:
ii’) para casi todo x ∈ Ω, fx ∈ C 1 (Λ).
Entonces Φ ∈ C 1 (Λ).
3. Corolario. Sea Ω un subconjunto compacto de Rn y Λ un intervalo compacto de R.
Sea f : Ω × Λ → C. Se supone:
i) ∀λ ∈ Λ, f λ ∈ L1 (Ω). Definimos
Z
Φ(λ) :=
f (x, λ) dx.
Ω
ii) la función (x, λ) 7→ fx0 (λ) existe y es continua en K × Λ.
Entonces Φ ∈ C 1 (Λ) y
0
Z
Φ (λ) =
fx0 (λ) dx.
Ω
4. Regla de Leibniz con lı́mites de integración variables. Sean X, Y intervalos
abiertos en R y f : X × Y → C una función continua. Se supone que ∀(x, y) ∈ X × Y
existe ∂2 f (x, y) y que existe g ∈ L1 (X, R) tal que |∂2 f (x, y)| ≤ g(x) ∀(x, y) ∈ X × Y .
Sean ϕ, ψ funciones derivables Y → X. Se define ∀y ∈ Y :
ψ(y)
Z
Φ(y) =
f (x, y)dx.
ϕ(y)
Pruebe que Φ es derivable en Y y calcule su derivada.
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5. Derivadas sucesivas de la función Γ. Γ ∈ C ∞ en (0, +∞) y
Z+∞
Γ (x) =
e−t tx−1 (ln t)k dt.
(k)
0
6. Propiedades de la función Γ.
1. Γ(x + 1) = xΓ(x) ∀x > 0.
2. Γ(1) = 1.
3. Γ(n + 1) = n!.
4. Γ00 (x) > 0 ∀x > 0.
5. ∃α ∈ (1, 2) tal que Γ0 (α) = 0.
6. Γ(x) → +∞ cuando x → +∞.
7. Γ(x) ∼
1
x
cuando x → +0.
El cálculo numérico dice que α ≈ 1.4616, Γ(α) ≈ 0.8866.
7. Sea S un subconjunto medible en Rn . Sean f : S → C, g : S → R funciones medibles en
S. Se supone que g(x) > 0 ∀x ∈ S y que existe λ0 > 0 tal que la función x 7→ e−λ0 g(x) f (x)
es integrable en S. Se pone ∀λ > λ0 :
Z
Φ(λ) := e−λg(x) f (x) dx.
S
Muestre que Φ está bien definida, que Φ ∈ C ∞ (λ0 , +∞) y que ∀k ∈ N y ∀λ > λ0
Z
(k)
k
Φ (λ) = (−1)
e−λg(x) (g(x))k f (x) dx.
S
Z+∞
Aplicación: Para λ > 0 y k ∈ N calcule la integral
e−λx xk dx.
0
8. Para todo x ∈ R se definen
 x
2
Z
2
f (x) :=  e−t dt ,
Z1
g(x) :=
0
0
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2
2
e−x (t +1)
dt.
t2 + 1
a) Demuestre que ∀x ∈ R f 0 (x) + g 0 (x) = 0 y deduzca que f (x) + g(x) = π4 .
b) Utilice a) para calcular la integral de Poisson:
√
Z+∞
π
−t2
e dt =
.
2
0
9. a) Sea α ≥ 0. Muestre que la función x 7→
Z+∞
F (α) :=
1−e−αx
x2
2
es integrable en [0, +∞). Se pone
2
1 − e−αx
dx.
x2
0
Muestre que F es continua en [0, +∞).
b) Pruebe que para α > 0 se puede derivar F bajo el signo integral. Efectuando esta
derivación calcule explı́citamente F (α).
10. Fijando a > 0 se pone
Z+∞
2
f (b) :=
e−ax cos bx dx
∀b ≥ 0.
0
Establezca la relación
f 0 (b) = −
b
f (b).
2a
Deduzca que
r
Z+∞
1 π − b2
−ax2
e
e 4a .
cos bx dx =
2 a
0
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