Objetivos 1. Variables Aleatorias Discretas

Grado en Ciencia y Tecnologı́a de los Alimentos
M. Iniesta
Universidad de Murcia
Tema 4: Variables Aleatorias
Modelos de Probabilidad
Objetivos
Conocer las funciones asociadas a una variable aleatoria, distinguiendo entre discretas y continuas.
Conocer el significado de la esperanza y la varianza de una variable aleatoria
discreta.
Reconocer y aplicar modelos de probabilidad.
1.
Variables Aleatorias Discretas
Lo que pretendemos en este tema es transformar el problema de la asignación de
probabilidades a otro consistente en el empleo de ciertas funciones reales de variable
real, de forma que la probabilidad de cierto suceso aleatorio vendrá dada por el cálculo
de ciertos valores de dichas funciones.
1.1.
Definición de Variable aleatoria
Sea Ω el espacio muestral asociado a un fenómeno aleatorio. Una variable aleatoria
es una función
X:Ω→X
que asocia a cada suceso elemental un número real. El conjunto X se le llamará espacio
muestral de la variable aleatoria X y es el conjunto de todos los valores posibles de
X.
Diremos que una variable aleatoria es discreta si su espacio muestral es un conjunto
discreto, es decir, un conjunto finito o bien un conjunto infinito pero numerable. Si el
espacio muestral de la variable es infinito no numerable, como el conjunto de puntos de
un intervalo real, diremos que la variable aleatoria es continua. En principio trataremos
con variables aleatorias discretas.
Ejemplo 1.1 Si lanzamos una moneda al aire dos veces y X es el número de caras
obtenidas X transforma el espacio muestral original Ω = {(c, c), (x, c), (c, x), (x, x)} en
X = {0, 1, 2}.
1.2.
Función de Probabilidad
La función puntual de probabilidad va a asignar probabilidad a cada punto del espacio
muestral de X.
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Si X es una variable aleatoria discreta, la Función Puntual de Probabilidad o
simplemente la Función de Probabilidad es la función que asigna probabilidad a cada
uno de los puntos muestrales de X. Es decir,
p : X → [0, 1]
x
p(x) = P (X = x)
De la definición se derivan las siguientes propiedades de la función de probabilidad:
1. Para cada punto muestral x del espacio muestral X ha de ser 0 ≤ p(x) ≤ 1
2. La suma
P de las probabilidades de todos los puntos de X ha de ser igual a 1. Es
decir, x∈X p(x) = 1
3. Si A ⊆ X , podemos calcular la probabilidadPdel suceso A sumando las probabilidades de los puntos de A, es decir, P (A) = x∈A p(x)
Ejemplo 1.2 Si X =número de caras al
probabilidad es

 1/4,
1/2,
p(x) =

0,
tirar dos veces una moneda, su función de
si x = {0, 2};
si x = 1;
si x ∈
/ {0, 1, 2}.
Se observa claramente como dicha definición cumple con las condiciones anteriores
por lo que es una verdadera función de probabilidad.
Si A es el suceso “Obtener a lo sumo una cara”,
P (A) = P (X = 0) + P (X = 1) =
1.3.
3
1 2
+ =
4 4
4
Actividades
1. Estudiar si las funciones siguientes pueden ser funciones puntuales de probabilidad
1
si x = 0, 1, 2, 3, 4 y p(x) = 0 en el resto
5
b) p(x) = k si x = −10, −9, ..., 9, 10 y p(x) = 0 en el resto
2x + 1
c) p(x) =
si x = 1, 2, 3, 4 y p(x) = 0 en el resto
24
a) p(x) =
2. Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad p(x). Sean los sucesos
X > 0 y X ∈ [1, 3]. Calcular las probabilidades de dichos sucesos, suponiendo que
p(x) fuera cada uno de los casos anteriores.
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1.4.
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Función de Distribución
Se define la Función de Distribución de la variable aleatoria discreta X como
X
F (x) =
p(y)
y≤x
La función F (x), en este caso, acumula la probabilidad asociada al punto muestral x a
la de los puntos muestrales menores que x.
Si denotamos mediante X ≤ x al suceso que consiste en obtener un valor de la
variable X menor o igual al valor x, entonces
F (x) = P (X ≤ x)
Ejemplo 1.3 La función de distribución F (x) de la variable X=número de caras al
tirar dos veces una moneda es la siguiente.

0
si x < 0;



1/4, si x ∈ [0, 1);
F (x) =
3/4, si x ∈ [1, 2);



1,
si x ≥ 2.
2.
Esperanza y Varianza de una variable aleatoria
discreta
Con estos parámetros, que definimos a continuación, pretendemos describir una variable aleatoria respecto a sus caracterı́sticas de centralización y dispersión.
2.1.
Esperanza Matemática o Media Teórica
La Esperanza o Media Teórica de una v.a. E(X) indica un valor teórico al que
tenderı́a el valor medio de n realizaciones de X, cuando n tiende a infinito. Para aclarar
esto supongamos que X es nuestra ganancia cuando jugamos a un juego de loterı́a en
el que podemos ganar un millón de euros con cierta probabilidad o perder lo invertido
en el billete. En una realización concreta ganaremos o perderemos y la esperanza de X
serı́a el valor al que tenderı́a el valor medio de mi ganancia cuando juego un número
grande de veces.
Se define mediante la siguiente expresión:
X
E(X) =
xp(x)
x∈X
Ejemplo 2.1 Supongamos que en un juego ganamos 10 euros si al tirar un dado sacamos
un cinco o un seis, ganamos 5 si sale un 2 o un 3 o un 4 y perdemos 25 si sale un 1. Si
llamamos X a la ganancia obtenida en una jugada, la función de probabilidad de X es
 2
, si x = 10;


 63
, si x = 5;
6
p(x) =
1
, si x = −25;


 6
0, si x ∈
/ {10, 5, −25}.
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cuya esperanza vale:
3
1
10
2
E(X) = 10 + 5 − 25 =
6
6
6
6
que serı́a el valor medio de nuestras ganancias a largo plazo (en un gran número de
jugadas).
Ejemplo 2.2 La esperanza de la variable del ejemplo (1.1) vale
1
1
1
E(X) = 0. + 1. + 2. = 1
4
2
4
esto significa que en un gran número de experiencias, el valor medio del número de caras
tenderı́a a 1.
2.2.
Varianza y Desviación Tı́pica
La varianza de una variable aleatoria X, que representaremos por V (X), y la Desviación
Tı́pica, D(X), indicarán el grado de dispersión de los valores de la variable respecto a
la esperanza matemática.
La Desviación Tı́pica será la raı́z cuadrada positiva de la varp
ianza, D(X) = V (X) y tiene la ventaja de que se expresa en la misma unidad que la
propia variable. Variables con desviación tı́pica pequeña indicará que hay alta probabilidad de observar valores próximos a la esperanza matemática o media teórica E(X). Si
denotamos E(X) mediante µ y V (X) mediante σ 2 Definimos
V (X) = σ 2 = E((X − µ)2 ) = E(X 2 ) − µ2
y podemos calcularla mediante la siguiente expresión:
X
X
X
xp(x))2
x2 p(x) − (
x2 p(x) − µ2 =
V (X) = σ 2 =
x∈X
x∈X
x∈X
Ejemplo 2.3 La varianza de la variable del ejemplo (1.1) es
1
1
1
1
σ 2 = 02 + 12 + 22 − 12 =
4
2
4
2
y su desviación tı́pica es
1
D(X) = σ = √
2
2.3.
Actividades
Calcular la esperanza y la varianza en los casos en donde sea posible de las actividades
de la sección 1.3.
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2.4.
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Modelo Binomial
Imaginemos un experimento con dos resultados posibles A y A y P (A) = p conocido.
Supongamos que repetimos dicho experimento n veces en idénticas condiciones y de
forma que el resultado de una prueba o repetición es independiente del resultado de
otra. Sea ahora
X=número de éxitos en n repeticiones (pruebas) idénticas e independientes
El espacio muestral de la variable es X = {0, 1, ...., n} y la función puntual de probabilidad es:
n x
p (1 − p)n−x , si x ∈ X = {0, 1, ..., n};
x
p(x) =
0,
si x ∈
/ X.
En este caso la esperanza y la varianza valen:
E(X) = np
V (X) = np(1 − p)
Si la variable X tiene una distribución de probabilidad como la del modelo Binomial
de parámetros n =número de pruebas y P (A) = p, lo indicaremos poniendo
X ∼ B(n, p)
2.4.1.
Actividades
1. Supongamos que tiramos al aire un dado equilibrado 20 veces. Si llamamos X =“Nº
de seises obtenidos, reconocer que esta variable sigue un modelo Binomial de
parámetros n = 20 y p = 61 . Sean los sucesos A =”Obtener exactamente 4 seises“
y B=”Obtener al menos 4 seises“. Expresar las probabilidades de dichos sucesos
en términos de la función de probabilidad y la función de distribución de dicha
variable. Los valores concretos de probabilidad serán obtenidos con R-Commander.
2. Aporta cinco situaciones experimentales en donde la v.a. X siga una distribución
Binomial.
2.5.
Modelo de Poisson
Supongamos que conocemos el número medio de veces que ocurre el suceso A en una
unidad de soporte continuo (tiempo, espacio, volumen, longitud, superficie,....) y que
vamos a denotar mediante λ. Decimos que la variable
X =número de veces que ocurre A en un intervalo unidad
cuyo espacio muestral es X = {0, 1, 2, ...}, sigue una distribución de Poisson (también
llamada Ley de los Sucesos Raros) de parámetro λ si su función de probabilidad está dada
por:
−λ λx
e x! , si x ∈ X = {0, 1, 2, ....};
p(x) =
0,
en otro caso.
En este caso:
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E(X) = λ
V (X) = λ
Si X es una variable cuya distribución de probabilidad es como la del modelo de Poisson,
lo indicaremos poniendo
X ∼ P(λ)
donde λ = E(X) es el número medio de veces que ocurre A en un intervalo unidad.
Además las probabilidades Binomiales cuando n es grande y p es pequeño se aproximan a las probabilidades de Poisson, haciendo λ = np. Es decir,
x
n x
n−x
−λ λ
p (1 − p)
→e
, si n → ∞, λ = np
x
x!
Lo anterior significa que podemos aproximar probabilidades binomiales mediante
probabilidades de Poisson cuando n sea suficientemente grande y p pequeño.
Ejemplo 2.4 En un núcleo urbano de n = 100000 personas la probabilidad de infección
de cada una de ellas es p = 0.00002, el número X =“Número de infectados” sigue
un modelo Binomial X ∼ B(100000, 0.00002) que podemos aproximar a un modelo de
Poisson de parámetro λ = np = 2. La probabilidad exacta, según el modelo Binomial, de
que en un determinado momento haya más de un infectado es
P (X > 1) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 1 − 0.1353326 − 0.2706706 = 0.5939969
Mientras que aproximando la misma probabilidad por el modelo de Poisson se obtiene
P (X > 1) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 1 − 0.1353353 − 0.2706706 = 0.5939942
(Todas las probabilidades anteriores se calcularon mediante R)
2.5.1.
Actividades
1. Supongamos que el número medio de estrellas visibles en un cierto volumen v de
espacio es λ = 7. Expresa en términos de la función de probabilidad o de la función
de distribución de la variable X=“Nº de estrellas visibles en el volúmen de espacio
v” los sucesos siguientes:
a) Observar más de 9 estrellas
b) Observar como mucho 5 estrellas
c) Observar entre 5 y 9 estrellas.
2. Definir cinco situaciones experimentales que se ajusten a un modelo de Poisson.
Establecer el parámetro λ en cada caso.
3. Definir cinco situaciones experimentales que se ajusten a un modelo de Binomial
pero con aproximación razonablemente buena al modelo de Poisson. Establecer en
cada caso los correspondientes parámetros.
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3.
Variables aleatorias continuas
Cuando X es una variable aleatoria continua, por ejemplo X es la medida de cierta
magnitud como peso, longitud, área, volumen, tiempo, etc, lo que significa que puede
tomar cualquier valor de cierto intervalo de la recta real, no es posible asignar probabilidad punto a punto, sino a intervalos. Es decir, el espacio muestral de una
variable aleatoria continua va a ser un intervalo de la recta real o incluso toda la recta
real y en este caso los sucesos de interés no son los puntos muestrales aislados sino los
intervalos de puntos muestrales, es decir, los sucesos del tipo X ∈ (a, b) donde a y b
son valores cualesquiera. Para ello necesitamos una función que asigne probabilidad a
dichos sucesos. Esta función, llamada función de densidad o curva de densidad, es
una función que siempre se halla por encima del eje OX, el área que encierra a lo largo
de todo el eje OX vale 1 y la probabilidad que asigna al suceso X ∈ (a, b) es el área
comprendida entre los valores a y b. Un ejemplo de función de densidad lo vemos en la
siguiente gráfica.
Recordemos que cuando describı́amos una muestra de una variable estadı́stica continua lo hacı́amos mediante un histograma para agrupar los valores observados en clases
de intervalo. El área del rectángulo que se levanta encima de una clase de intervalo representa la frecuencia relativa de dicha clase. Si dado un gran número de observaciones se
construye un histograma se obtiene una gráfica que intuitivamente tiende a una curva
cuando aumenta el número de observaciones y a la vez se reduce la amplitud de los intervalos. La siguiente sucesión de histogramas se han obtenido mediante muestras de gran
tamaño de la variable X y aumentando el número de clases de intervalo para disminuir
la amplitud de los mismos, mientras que la curva final representa la función de densidad
de X.
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100
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0.04
Density
0.01
0.02
0.03
0.04
0.01
0.00
0.00
0.00
60
0.02
Density
0.03
0.03
0.01
0.02
Density
0.020
0.010
0.000
Density
0.030
0.04
Normal Distribution: µ = 110, σ = 10
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140
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90
100
110
120
130
x
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4.
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Función de Densidad
Si X es continua, la función de densidad de X es una función f (x) que describe
cómo se distribuye la probabilidad a lo largo de su espacio muestral, de modo que la
probabilidad de que la variable tome un valor dentro de un determinado intervalo es
precisamente el área que encierra la función f (x) en dicho intervalo.
la Función de Densidad es la función
f : R → R+
que cumple las siguientes propiedades:
1. El área comprendida por debajo de la curva y a lo largo de todo el eje OX vale 1.
2. P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b) y se
corresponde con el valor del área limitada bajo la curva f (x) y entre a y b. ¡OJO!:
las cuatro probabilidades anteriores son iguales en variables continuas pero no en
variables discretas.
3. Denominamos Función de Distribución de la variable X a la función
F : R → [0, 1]
tal que
x
F (x) := P (X ≤ x)
Es decir, la función de distribución asigna a cada x ∈ R el área que queda a la
izquierda de x bajo la curva de densidad.
4. Usando la Función de Distribución podemos calcular
P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a)
La siguiente figura ilustra las propiedades anteriores
Ejemplo 4.1 Supongamos un instrumento nos ofrece medidas al azar en el intervalo
(0, 2). Supongamos que dichas medidas son los valores de una variable aleatoria X con
función de densidad f (x) que se representa mediante la expresión f (x) = x si 0 < x < 1,
f (x) = 2 − x si 1 < x < 2 y f (x) = 0 en el resto y por la siguiente gráfica:
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Podemos comprobar que esta función es una curva de densidad, puesto que se mantiene
siempre por encima del eje OX y el área que encierra a lo largo del mismo vale 1.
Si queremos ahora calcular la probabilidad de que X tome valores entre los puntos D
y H, tendrı́amos que calcular el área bajo la curva entre los puntos D y H, es decir la el
área sombreada con color rosa. Ası́ pues, P [D < X < H]= ”área rosa- 0.57.
4.1.
Actividades
Usando el ejemplo anterior:
1. Calcular la probabilidad de que el instrumento nos de una medida mayor que 1.
2. Calcular la probabilidad de que el instrumento nos de medidas que no se aleje de
1 en más de 0.05.
3. Calcular los puntos D y H del ejemplo anterior.
5.
Descripción de variables aleatorias continuas
Al igual que las variables aleatorias discretas, las variables aleatorias continuas pueden
describirse usando parámetros de centralización, dispersión o de otras caracterı́sticas. Por
ejemplo, igual que se define la esperanza de X cuando X es discreta sumando valores
por probabilidades, también es posible definir E(X) cuando X es continua, salvo que el
procedimiento de cálculo implica usar herramientas desconocidas en este nivel, como es
la integral definida. Igual ocurre con el cálculo de la varianza o de otros parámetros más
complejos.
Es por ello que convendremos en describir una variable aleatoria continua X mediante
sus dos parámetros más importantes, que son la esperanza de X o media teórica E(X),
que también simbolizaremos mediante la letra griega µ, y la desviación tı́pica D(X),
que también simbolizaremos mediante la letra griega σ.
µ = E(X) es un valor medio (teórico) de la variable y se interpreta como el valor
lı́mite o al que tenderı́an las medias muestrales obtenidas mediante muestras de tamaños
muy grandes.
2
La varianza de la variable V (X), que simbolizaremos mediante
p σ es un parámetro
de dispersión pero más se usa la desviación tı́pica σ = D(X) = V (X) que se expresa
en la misma unidad que mide la variable X. Ambos parámetros orientan de cómo se
concentra el área limitada por la curva de densidad alrededor de la media. Cuando los
valores alrededor de la media concentran más área significará que dichos valores tienen
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mayor probabilidad de ser observados y esto ocurre más cuando la desviación tı́pica sea
menor.
Por otro lado, podemos hablar de otro parámetro de centralización como es la mediana de la variable X, que simbolizaremos mediante M e(X), que es el punto que divide
el área por debajo de la curva en dos mitades iguales. Cuando la curva de densidad es
simétrica respecto al punto a, se tiene E(X) = M e(X) = a
El siguiente gráfico muestra densidades del mismo tipo pero con distintos valores de
media y de varianza. Observar como al variar la media se modifica el centro de la gráfica
mientras que al variar la varianza se modifica la concentración del área alrededor de la
media, a mayor varianza mayor dispersión y menor concentración del área alrededor de
la media.
Ejemplo 5.1 Siguiendo con el ejemplo 4.1, podemos apreciar que la densidad es simétrica respecto al punto X = 1, en este caso µ = E(X) = M e(X) = 1. Haciendo los cálculos
pertinentes D(X) = σ = 0.40 aunque éste parámetro no lo calcularemos en este curso.
6.
Modelo Normal
La distribución de probabilidad continua más frecuente en experimentos aleatorios,
donde se observan magnitudes en poblaciones homogéneas es la Distribución Normal,
también llamada Campana de Gauss.
Definición 6.1 Decimos que la variable aleatoria X sigue una distribución Normal con
E(X) = µ y D(X) = σ si su función de densidad viene dada por
f (x) = √
1 x−µ 2
1
e− 2 ( σ ) ;
2πσ
x∈R
que indicaremos poniendo
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X ∼ N (µ, σ)
La anterior función es una muestra de la complejidad que pueden tener las curvas
de densidad a la hora de ser usadas en la práctica para calcular probabilidades. La
alternativa es usar programas estadı́sticos, como R o R-Commander, para resolver los
problemas de probabilidad asociados a un modelo de probabilidad como éste.
La gráfica de la densidad f (x) es una figura como la que sigue, en la que pueden
apreciarse algunas propiedades como las siguientes:
y que son:
1. f (x) es simétrica respecto al punto x = µ.
2. f (x) tiene puntos de inflexión en x = µ ± σ
3. La curva se acerca de forma asintótica al eje OX en los valores distantes al punto
central µ, es decir, cuanto más nos alejamos de µ más se pega la densidad al eje
OX.
4. Los intervalos de mayor probabilidad se concentran alrededor de la media µ. Concretamente, si X sigue una distribución normal de media µ y desviación tı́pica σ,
que lo indicaremos poniendo
X ∼ N (µ, σ)
se tiene:
P (µ − σ < X < µ + σ) = 0.6827
P (µ − 2σ < X < µ + 2σ) = 0.9545
P (µ − 3σ < X < µ + 3σ) = 0.9973
tal y como se muestra en la siguiente figura.
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7.
Aproximación de la distribución Binomial a la
Normal
La densidad Normal también es posible usarla para calcular probabilidades aproximadas. Concretamente la distribución Binomial
B(n, p) puede ser aproximada mediante
p
una distribución normal N (µ = np, σ = np(1 − p)) cuando n es grande y p es cercano
a 0.5.
Es decir, si X ∼ B(n, p), entonces
p
X ∼aprox. N (µ = np, σ = np(1 − p))
Ejemplo 7.1 Supongamos que la probabilidad de nacer niño es la misma que la de nacer
niña y que deseamos calcular la probabilidad de que en 1000 nacimientos se produzcan
más de 450 niñas.
Si llamamos X=“Nº de niñas en 1000 nacimientos”, entonces
√
X ∼ B(n = 1000, p = 0.5) ∼aprox. N (µ = 500, σ = 250 = 15.81)
Calcular mediante el software R la probabilidad deseada
P (X > 450) = 1 − P (X ≤ 450) =
450
X
p(x) = 0.9991347
x=0
x 1000−x
donde p(x) = 1000
0.5 0.5
x
Sin embargo, aproximando por el modelo normal es, usando R:
P (X > 450) = 0.999218
8.
Bibliografı́a
1. Tema 2, sección 2 del texto Estadı́stica para Ciencias Agropecuarias. Autor: Di
Riezo, J. A.
2. Capı́tulo 5, sección 3 y Capı́tulo 1, sección 4 del texto Estadı́stica Aplicada Básica.
Autor: D. S. Moore
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