1. Sistema con matriz de coeficientes diagonal

1.
Sistema con matriz de coeficientes diagonal estrictamente
dominante
#»
Consideramos el sistema A #»
x = b donde


5
2 1
t
#» A =  0 −3 2 , b = 1 0 −1 .
−4 1 6
La matriz de coeficientes, A, es diagonal estrictamente dominante, porque 5 > 2 + 1, |−3| > 0 + 2
y 6 > |−4| + 1. En este caso, las iteraciones por el método de Jacobi y por el método de Gauss-Seidel
convergen para cualquier aproximación inicial #»
x (0) (por la condición suficiente de convergencia). En efecto,
#»
para una cota de error de 1 × 10−5 , y tomando como aproximación inicial #»
x (0) = 0 , se necesitan 24
iteraciones
con el método de Jacobi
t y 12 iteraciones con el método de Gauss Seidel para obtener el vector
#»
?
x = 0.2109 −0.0156 −0.0234 .
2.
Convergencia por Jacobi y Gauss-Seidel
Veamos un caso en donde a pesar de que la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones no es
diagonal estrictamente dominante, ambos métodos convergen a la solución.
#»
Consideramos el sistema A #»
x = b donde


9 −2 0
t
#» A = −2 4 −1 , b = 5 1 0 .
0 −1 1
La matriz A no es diagonal estrictamente dominante porque 1 6> 0 + |−1|. No podemos aplicar la
condición suficiente de convergencia como en el ejemplo anterior. Para saber si las iteraciones de Jacobi y
Gauss-Seidel convergen a la solución del sistema, debemos aplicar la condición necesaria y suficiente.
#»
Jacobi En este caso las iteraciones son de la forma #»
x (n) = Fj #»
x (n−1) + f j , donde
 2 
0 9 0
t
#»
Fj =  21 0 14  f j = 59 14 0 .
0 1 0
La condición necesaria y suficiente para que estas iteraciones converjan a la solución del sistema, es
que el radio espectral de Fj sea menor a 1, es decir ρ (Fj ) < 1.
El radio espectral en este caso es 0.6009 < 1, y por lo tanto las iteraciones por Jacobi convergen. En
#»
efecto, para una cota de error de 1 × 10−5 , y tomando #»
x (0) = 0 , se necesitan 24 iteraciones con el
método de Jacobi para obtener #»
x ? = 0.7391 0.8261 0.8261 .
#»
Gauss-Seidel En este caso las iteraciones son de la forma #»
x (n) = Fgs #»
x (n−1) + f gs , donde
 2 
0 9 0
5 19 19 t
#»
1
1

0
Fj =
f
=
.
j
9
4
9
36
36
0 91 14
1
La condición necesaria y suficiente para que estas iteraciones converjan a la solución del sistema, es
que el radio espectral de Fgs sea menor a 1, es decir ρ (Fgs ) < 1.
El radio espectral en este caso es 0.3611 < 1, y por lo tanto las iteraciones por Gauss-Seidel convergen.
#»
En efecto, para una cota de error de 1 × 10−5 , y tomando #»
x (0) = 0 , se necesitan 13 iteraciones con
el método de Gauss-Seidel para obtener #»
x ? = 0.7391 0.8261 0.8261 .
3.
Divergencia por Jacobi y Gauss-Seidel
#»
Consideramos el sistema A #»
x = b donde


1 0 −1
t
#» A = 2 2 3  , b = 2 4 1 .
1 1 1
La matriz de coeficientes, A, no es diagonal estrictamente dominante, porque 1 6> 0 + |−1|. No podemos
aplicar la condición suficiente de convergencia como en el ejemplo anterior. Para saber si las iteraciones
de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a la solución del sistema, debemos aplicar la condición necesaria y
suficiente.
#»
Jacobi En este caso las iteraciones son de la forma #»
x (n) = Fj #»
x (n−1) + f j , donde


0
0
1
t
#»
Fj = −1 0 − 23  f j = 2 2 1 .
−1 −1 0
La condición necesaria y suficiente para que estas iteraciones converjan a la solución del sistema, es
que el radio espectral de Fj sea menor a 1, es decir ρ (Fj ) < 1.
El radio espectral en este caso es 1.1654 > 1, y por lo tanto las iteraciones por Jacobi divergen.
#»
Gauss-Seidel En este caso las iteraciones son de la forma #»
x (n) = Fgs #»
x (n−1) + f gs , donde


0 0 1
t
#»
Fgs = 0 0 − 52  f j = 2 0 −1 .
0 0 32
La condición necesaria y suficiente para que estas iteraciones converjan a la solución del sistema, es
que el radio espectral de Fgs sea menor a 1, es decir ρ (Fgs ) < 1.
El radio espectral en este caso es 1.5000 > 1, y por lo tanto las iteraciones por Gauss-Seidel divergen.
4.
Convergencia por Gauss-Seidel y divergencia por Jacobi
#»
Consideramos ahora el sistema A #»
x = b donde


1
2 1
t
#» A =  1 −3 2 , b = 2 1 1 .
−4 1 6
La matriz de coeficientes, A, no es diagonal estrictamente dominante, porque 1 6> 2+1. No podemos aplicar
la condición suficiente de convergencia. Para saber si las iteraciones de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a
la solución del sistema, debemos aplicar la condición necesaria y suficiente.
2
#»
x (n−1) + f j , donde
Jacobi En este caso las iteraciones son de la forma #»
x (n) = Fj #»


0 −2 −1
t
#»
2 
Fj =  13 0
f j = 2 − 13 16 .
3
2
− 16 0
3
La condición necesaria y suficiente para que estas iteraciones converjan a la solución del sistema, es
que el radio espectral de Fj sea menor a 1, es decir ρ (Fj ) < 1.
El radio espectral en este caso es 1.2993 > 1, y por lo tanto las iteraciones por Jacobi divergen.
#»
Gauss-Seidel En este caso las iteraciones son de la forma #»
x (n) = Fgs #»
x (n−1) + f gs , donde


0 −2 −1
t
#»
1 
Fgs = 0 − 23
f gs = 2 13 13
.
3
9
13
11
0 − 9 − 18
La condición necesaria y suficiente para que estas iteraciones converjan a la solución del sistema, es
que el radio espectral de Fgs sea menor a 1, es decir ρ (Fgs ) < 1.
El radio espectral en este caso es 0.9428 < 1, y por lo tanto las iteraciones por Gauss-Seidel convergen
a la solución del sistema (lentamente porque ρ está muy próximo a 1). En efecto, se necesitan 194
t
#»
iteraciones para obtener #»
x ? = 0.7458 0.3220 0.6102 , habiendo tomando a 0 como vector de
arranque y 1 × 10−5 como cota de error.
5.
Convergencia por Jacobi y divergencia por Gauss-Seidel
#»
Consideramos el sistema A #»
x = b donde


1 0 1
t
#» A = −1 1 0  , b = 2 0 0 .
1 2 −3
La matriz de coeficientes, A, no es diagonal estrictamente dominante, porque 1 6> 0+1. No podemos aplicar
la condición suficiente de convergencia. Para saber si las iteraciones de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a
la solución del sistema, debemos aplicar la condición necesaria y suficiente.
#»
Jacobi En este caso las iteraciones son de la forma #»
x (n) = Fj #»
x (n−1) + f j , donde


0 0 −1
t
#»
Fj =  1 0 0  f gs = 2 0 0 .
1
2
0
3
3
La condición necesaria y suficiente para que estas iteraciones converjan a la solución del sistema, es
que el radio espectral de Fj sea menor a 1, es decir ρ (Fj ) < 1.
El radio espectral en este caso es 0.9444 < 1, y por lo tanto las iteraciones por Jacobi convergen
(lentamente porque ρ está muy próximo a 1). En efecto, se necesitan 214 iteraciones para obtener
t
#»
#»
x ? = 1.0000 1.0000 1.0000 , habiendo tomando a 0 como vector de arranque y 1 × 10−5 como
cota de error.
3
#»
x (n−1) + f gs , donde
Gauss-Seidel En este caso las iteraciones son de la forma #»
x (n) = Fgs #»


0 0 −1
t
#»
Fgs = 0 0 −1 f gs = 2 2 2 .
0 0 −1
La condición necesaria y suficiente para que estas iteraciones converjan a la solución del sistema, es
que el radio espectral de Fgs sea menor a 1, es decir ρ (Fgs ) < 1.
El radio espectral en este caso es 1, y por lo tanto las iteraciones por Gauss-Seidel divergen.
4