Solucionario

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•
•
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3UREOHPD
Sea un sistema $[ = E con
. Hallar los radios espectrales
de las matrices de Jacobi y Gauss-seidel, sin intercambiar filas, ¿Qué puede concluir de los
resultados obtenidos?
Si fuera posible la convergencia con alguno de estos métodos realice 02 iteraciones con el vector
inicial xo=[1 1
6ROXFLyQ
1]t. Comente sus resultados.
A=[1 2 -2; 1 1 1 ; 2 2 1]
B=[-1
6
9]
D=diag(diag(A));
L=D-tril(A);
U=D-triu(A);
Tj=inv(D)*(L+U)
Tgs=inv(D-L)*(U)
cj=inv(D)*B
Converge Jacobi pero no Gauss Seidel
x0 = [ 1 1 1]t
>> x1=Tj*x0
x1 = [ -1 4 5]t
>> x2=Tj*x1+cj
x2 =[ 1 2 3]t
3UREOHPD
 1 0
Dada la siguiente Matriz : $ = 

 Z 2
Z >1 :
1 
a) Realice 04 iteraciones del método de la potencia directo, [ (0 ) =   :
0 
b) Muestre el error cometido en el cálculo del valor propio dominante.
c) ¿Será posible diagonalizar A?
6ROXFLyQ
a)
1
1 / Z
(1) (1)
\ (1) = $[ (0 ) =   = Z
=λ [
Z
1
 


 1 / Z
1 / (3Z)
\ (2 ) = $[ (1) = 
= λ(2 ) [ (2 )
 = 3

 1 
 3 
1 / (3Z)
1 / (7 Z)
\ (3 ) = $[ (2 ) = 
= (7 / 3)
= λ(3) [ (3)


 1 
 7/3 
1 / (7 Z)
1 / (15Z)
(4 ) (4 )
\ (4 ) = $[ (3 ) = 
= (15 / 7 )
=λ [

15
/
7
1




b)
(UU = 2 −
15 1
=
7
7
c) Si es posible dado que los valores propios son diferentes.
3UREOHPD
La concentración F de una bacteria contaminante en un lago decrece según la expresión
F(W ) = 80H −2 + 20H −0.5
W
siendo W el tiempo en horas.
W
a) Determine el número de iteraciones que son necesarias para obtener una raíz de
F(W ) = 7 con un error menor de 10 −4 utilizando el método de la bisección.
b) Demostrar que si existe solución esta es única en la ecuación F(W ) = 7 .
c) Utilizando el método de Newton determinar el tiempo que se necesita para que el número de
bacterias se reduzca a 7. Considere W ( 0) = 2 . Realice 03 Iteraciones.
6ROXFLyQ
D
E D 10 −4
E−D
Q ≥ log 2 
 = 13.2877
 δ 
Q = 14
E
I (W ) = F(W ) − 7 = 0
I ’(W ) = F’(W ) = −160H −2 − 10H − / 2 < 0 ⇒ I , F VRQ GHFUHFLHQWH HVWULFWDPHQWH
⇒ VL H[LVWH VROXFLRQ, HV XQLFD.
W
W
F
W ( 0) = 20
W (1) = 2.2758
W ( 2) = 2.3277
W ( 3) = 2.3291
3UREOHPD
Complete los espacios en la función, donde:
fun: Es la cadena que representa la función matemática
x0: Punto de partida
cs: Cifras significativas deseadas
maxite: Máximas iteraciones
iteraciones: Numero de iteraciones ejecutadas
x: Raíz aproximada
function [x,iteraciones]=newtonraphson(fun,x0,cs,maxite)
f=____________________;%La función
df=___________________;%La derivada de la función
i=0;er=10;x=x0;
while (____________________________)
x=______________________;
er=abs(x-x0);
x0=x
i=i+1;
end
________________________;
if ___________________
disp('El método Falló')
end
6ROXFLyQ
function [x,iteraciones]=newtonraphson(fun,x0,cs,maxite)
f=inline(fun);%La funcion
df=inline(diff(fun));%La derivada de la funcion
i=0;er=10;x=x0;
while ((er>=(0.5*10^-cs))&&(i<maxite))
x=x0-f(x0)/df(x0);
er=abs(x-x0);
x0=x
i=i+1;
end
iteraciones=i;
if (er>=0.5*10^-cs)
disp('El método Falló')
end