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(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
CONVERGENCIA ABSOLUTA
TEOREMA. Si en la serie alternada
∞
∑ ( −1)
n=1
n−1
an
se toma el
valor absoluto de sus términos, se tiene la serie:
a1 + a2 + " + an + "
que si es convergente, entonces también es convergente la
serie alternada.
DEFINICIÓN. La serie
∞
∑a
n=1
n
es absolutamente convergente si
la serie que resulta de tomar el valor absoluto de cada
término es convergente.
DEFINICIÓN.
La
serie
∞
∑a
n=1
n
es
condicionalmente
convergente si, por un lado, la serie es convergente, pero la
serie construida con el valor absoluto de sus términos, esto es,
∞
∑a
n=1
n
, es divergente.
Si la serie
∞
∑a
n=1
n
es de términos positivos, entonces an = an
y en este caso, convergencia absoluta es lo mismo que
convergencia.
Ejemplo.
Determinar si las siguientes series
absolutamente convergentes:
∞
1
1
1
n−1 1
i) ∑ ( −1)
= 1− 3 + 3 − 3 + "
3
2
3
4
n
n=1
∞
3 3
3
3
n+1 3
ii) ∑ ( −1)
= − 2 + 3 − 4 +"
n
4 4
4
4
4
n=1
son
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
Ejemplo. Investigar la naturaleza de la serie
nπ
∞ cos
3
∑
3
n
n=1
Solución
Si se desarrolla la serie con algunos de sus términos, se tiene:
π
2π
4π
5π
7π
cos
cos
cos
cos
cos
3 +
3 + cos π +
3 +
3 + cos 2π +
3 +"
3
3
3
3
3
3
3
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1 1
1
−
−
−1
2 + 2 + 1 + 2 −"
= 23 + 2
+
+
1
2 3 3 3 4 3 53 6 3 7 3
1 1
1
1
1
1
1
= −
−
−
+
+
+
−"
2 16 27 128 250 216 686
Se analiza con los valores absolutos de sus términos y:
nπ
cos
∞
3
∑
n3
n=1
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3
Como se sabe, para todo
" n"
entero positivo se cumple
nπ
cos
∞
nπ
1
1
3
que cos
≤ 1 y además
≤
.
La
serie
es
∑
3
3
n3
n3
n=1 n
una serie " p " con p = 3 > 1 por lo que es convergente y,
como domina por el criterio de la comparación, entonces la
nπ
cos
∞
3
es convergente y se concluye que la serie
serie ∑
n3
n=1
en estudio es absolutamente convergente y por lo tanto,
convergente.
Ejemplo. Investigar si la serie armónica alternada es
absolutamente convergente, condicionalmente convergente
o divergente.
TEOREMA. PRUEBA DE LA RAÍZ. Sea la serie
∞
∑a
n=1
n
de términos
positivos o alternada y supóngase que lim n an = L
n→∞
Entonces:
i) L < 1 ⇒
∞
∑a
n=1
ii) L > 1 o
iii) L = 1 ⇒
→∞
n
es convergente
⇒
∞
∑a
n=1
n
es divergente
el criterio no decide
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4
Ejemplo. Utilizar el criterio de la raíz para determinar la
naturaleza de las siguientes series:
n
∞
∞
45 n+1
⎛ 3n ⎞
i) ∑ ⎜
; ii) ∑ n
⎟
+
1
8
n
⎠
n=1 ⎝
n=1 n
iii)
∞
⎛
1⎞
∑ ⎜⎝1+ n ⎟⎠
n= 4
− n2
;
iv)
∞
∑ ( −1)
n=1
n−1
n
+2
2
3
2n
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5
TEOREMA.
serie
PRUEBA DEL COCIENTE (D’ALEMBERT). Sea una
∞
∑a
n=1
n
de términos positivos o alternada y supóngase
que
lim
n→∞
an+1
=M
an
Entonces:
i) M < 1 ⇒
∞
∑a
n=1
ii) M > 1 o
iii) M = 1 ⇒
n
→∞
es convergente
∞
∑a
⇒
n=1
es divergente
n
el criterio no decide
Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series a
partir del criterio del cociente:
2
∞
∞
1
n+1 n
i) ∑ ( −1)
;
ii
)
∑
3n
n=1
n=1 ( n − 1) !
nn
iii) ∑
n=1 n!
∞
;
iv)
∞
∑ ( −1)
n=1
n
n
n +1
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6
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
7
SERIES DE POTENCIAS
En diversas aplicaciones son de importancia y trascendencia
las series infinitas cuyos términos contienen una o más
variables, como es el siguiente caso:
DEFINICIÓN. Sea " x " una variable del campo de los reales.
Entonces una serie de la forma:
∞
∑a x
n= 0
n
n
= a0 + a1x + a2 x 2 + " + an x n + "
se denomina “serie de potencias en x ”
Para simplificar el término general se asume que x 0 = 1 , aun
en el caso de que x = 0 . Es evidente que en una serie de
potencias lo que se pretende es determinar los valores de la
variable " x " para los cuales la serie es convergente.
Lo primero que se observa, de acuerdo con la definición
anterior, es que la serie de potencias es convergente cuando
x = 0 . Para determinar los demás valores de " x " donde la
serie es convergente, se utilizará básicamente el Criterio del
cociente tratado con anterioridad.
TEOREMA. Sea una serie de potencias
∞
∑a x
n= 0
n
n
. Entonces:
i) La serie es convergente solamente para x = 0 .
ii) La serie es absolutamente convergente para todo valor
real de " x " , esto es, en x ∈ \ .
iii) Existe un valor positivo
" r " , llamado “radio de
convergencia”, tal que la serie es absolutamente
convergente si
x < r , esto es, si − r < x < r (intervalo de
convergencia),
x < −r ∪ x > r
y
divergente
si
x > r,
es
decir,
si
Como se observa en la tesis de este teorema, el centro del
intervalo de convergencia es el origen, esto es, x = 0 , y el
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radio de convergencia es, en el caso
caso
( ii )
tiende a infinito; y en el
( i ) , igual a cero; en el
caso ( iii ) , el radio de
convergencia es " r " .
También se puede dar el caso en que el centro del intervalo
de convergencia sea otro valor diferente de cero.
DEFINICIÓN. Sea c ∈ \ . Entonces una serie de la forma:
∞
∑ a ( x − c)
n= 0
n
n
= a0 + a1 ( x − c ) + a2 ( x − c ) + " + an ( x − c ) + "
2
n
se denomina “serie de potencias en x − c ”
También en esta serie se asume que
caso de que x = c .
TEOREMA.
( x − c)
Sea una serie de potencias
0
= 1, aún en el
∞
∑ a ( x − c)
n= 0
n
n
.
Entonces:
i) La serie es convergente solamente para x − c = 0 , esto es,
si x = c .
ii) La serie es absolutamente convergente para todo valor
real de " x " , esto es, en x ∈ \ .
iii) Existe un valor positivo
" r " , llamado “radio de
convergencia”, tal que la serie es absolutamente
convergente si x − c < r , esto es, si c − r < x < c + r (intervalo
de convergencia), y divergente si
x < c−r ∪ x > c+ r
x − c > r , es decir, si
Ejemplo. Determinar los valores de " x " para los cuales la
serie de potencias siguiente es absolutamente convergente:
∞
xn
∑
n=1 n!
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9
Ejemplo. Determinar el radio y el intervalo de convergencia,
así como los valores de " x " donde la siguiente serie diverge:
n
∞
n+1 x
( −1)
∑
n
n=1
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Ejemplo. Analizar la naturaleza de la siguiente serie de
potencias:
∞
n
1+ ∑ n x n
n=1 3
Ejemplo. Investigar la convergencia o divergencia de la
siguiente serie de potencias:
∞
∑ n! x
n
= 1+ x + 2 x 2 + 6 x 3 + 24 x 4 + "
n= 0
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11
Ejemplo.
Determinar el intervalo y el radio de
convergencia, así como los valores de " x " donde la serie de
potencias siguiente es divergente:
n
∞ n x−2
(
)
∑
n=1
2n + 3
Ejemplo. Estudiar la naturaleza de la serie de potencias:
∞
∑ ( −1)
n= 0
n
( x + 4)
n
n2 3 n
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SERIES DE POTENCIAS
FUNCIONES
COMO
REPRESENTACIONES
DE
Una determinada función puede ser representada mediante
una serie de potencias y es evidente que el dominio de la
función así representada es el intervalo de convergencia de
la serie. Si la serie de potencias es
∞
∑a x
n= 0
∞
f ( x ) = ∑ an x n
n= 0
;
n
n
, entonces,
f ( x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + " + an x n + "
luego, cuando se pretende calcular el valor de la función en
un valor “c” de su dominio, bastará con sustituirlo en la serie
de potencias y se tendrá un valor aproximado de la función.
Ejemplo. Considérese la serie geométrica
n
1− x + x 2 − x 3 + " + ( −1) x n + "
Su razón es r = − x y a = 1. Como se sabe, si x < 1, la serie es
a
1
1
convergente y tiene como suma a: S =
,
=
=
1− r 1− ( − x ) 1+ x
por lo que se puede escribir que
n
1
= 1− x + x 2 − x 3 + " + ( −1) x n + " ; x < 1
1+ x
Entonces, como se ve, se trata de una serie de potencias que
representa a la función, esto es,
∞
n
1
f ( x) =
= ∑ ( −1) x n si x < 1
1+ x n = 0
También es posible derivar o integrar estas series de
potencias, lo que conduce a otras funciones representadas
por nuevas series. La derivada o la integral de una función es
a su vez otra función cuyo dominio es el mismo que el de la
función original; es lógico que esto sucede también en el
caso de las series que representan a la función y a sus
derivadas e integrales. Véase el siguiente teorema.
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TEOREMA. Sea una serie de potencias
∞
∑a x
n
n= 0
n
con un radio
de convergencia no nulo " r " y sea la función " f " definida
por:
∞
f ( x ) = ∑ an x n = a0 + a1x + a2 x 2 + " + an x n + "
n= 0
para toda " x " en el intervalo de convergencia. Si − r < x < r ,
entonces:
∞
i) f ' ( x ) = ∑ nan x n−1 = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + " + nan x n−1 + "
n=1
an n+1
1
1
1
2
3
x
a
x
a
x
a
x
an x n+1 + "
=
+
+
+
"
+
0
1
2
∫0
n +1
2
3
n= 0 n + 1
Se puede probar que ambas series de potencias tienen el
ii)
x
∞
f ( t ) dt = ∑
mismo radio de convergencia que
∞
∑a x
n= 0
n
n
.
Nota. El radio de convergencia de la serie de potencias
resultante de la derivación o de la integración es el mismo,
pero el intervalo puede diferir en sus extremos.
Ejemplo. Obtener una serie de potencias para representar a
la función:
2
f ( x) =
si x < 2
2
(2 − x)
Además, utilizar los primeros doce términos de la serie de
potencias obtenida para evaluarla en x = 1 y comparar el
resultado con el valor exacto.
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Ejemplo. Sea la función siguiente y su serie de potencias:
∞
xn
x2 x3
xn
= x+
+
+"+
+"
f ( x) = ∑
2
3
n
n
n=1
Definir las series de potencias que representan a las
siguientes funciones y determinar sus respectivos intervalos
de convergencia:
i) f ( x )
;
ii) f ' ( x )
;
iii) ∫ f ( x ) dx
Solución
xn
x2 x3
xn
= x+
+
+"+
+"
i) f ( x ) = ∑
2
3
n
n
n=1
Se utiliza el criterio del cociente para determinar el intervalo
de convergencia y,
x n+1
an+1
n x n+1
n
+
1
n
= lim n = lim
=
lim
lim
x = x
n→∞ a
n→∞
n→∞ n + 1 x n
n→∞ n + 1
x
(
)
n
n
x < 1 ⇒ − 1< x < 1
convergencia absoluta
∞
x >1 ⇒
x < −1∪ x > 1
divergencia
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
15
⎧ x = −1
⎨
⎩ x =1
x =1 ⇒
no hay información
∞
∞
−1)
(
xn
n 1
=∑
= ∑ ( −1)
serie armónica
x = −1 ⇒ ∑
n
n
n
n=1
n=1
n=1
alternada convergente
∞
∞ n
∞
xn
1
1
=∑ =∑
serie armónica divergente
x =1 ⇒ ∑
n
n
n
n=1
n=1
n=1
Entonces el intervalo de convergencia es x ∈ ⎡⎣−1,1)
n
∞
nx n−1 ∞ n−1
ii) f ' ( x ) = ∑
= ∑ x = 1+ x + x 2 + " + x n−1 + "
n
n=1
n=1
an+1
xn
lim
= lim n−1 = x
n→∞ a
n→∞ x
n
∞
x <1 ⇒
− 1< x < 1
convergencia absoluta
x >1 ⇒
x < −1∪ x > 1
divergencia
x =1 ⇒
⎧ x = −1
⎨
⎩ x =1
no hay información
∞
∑x
x = −1 ⇒
n−1
n=1
∞
= ∑ ( −1)
n=1
n−1
= 1− 1+ 1− 1+ " + ( −1)
n−1
+"
divergente
x =1 ⇒
∞
∑x
n−1
n=1
∞
= ∑1n−1 = 1+ 1+ 1+ 1+ " + 1n−1 + "
n=1
divergente
Luego el intervalo de convergencia de esta serie de
potencias es x ∈ ( −1,1)
x n+1
x2 x3 x4
x n+1
iii) ∫ f ( x ) dx = ∑
=
+
+
+"+
+"
n
n
n
n
+
1
2
6
12
+
1
)
( )
n=1 (
∞
a
lim n+1 = lim
n→∞ a
n→∞
n
x n+ 2
( n + 1)( n + 2 )
n+1
x
n ( n + 1)
= lim
n→∞
n ( n + 1) x n+ 2
( n + 1)( n + 2 ) x n+1
n2 + n
= lim 2
x = x
n→∞ n + 3 n + 2
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x <1 ⇒
− 1< x < 1
convergencia absoluta
x >1 ⇒
x < −1∪ x > 1
divergencia
x =1 ⇒
⎧ x = −1
⎨
⎩ x =1
no hay información
x = −1 ⇒
∞
= ∑ ( −1)
n=1
n+1
∞
( −1)
x n+1
=
∑
∑
n=1 n ( n + 1)
n=1 n ( n + 1)
n+1
∞
1
1 1 1
1
= − +
−
+"
n ( n + 1) 2 6 12 20
⎧
⎪
⎪
⎨
1
⎪f ( y ) = 2
y +y
⎪
⎩
convergente
1
=0
n→∞ n n + 1
( )
lim
⇒
f '( y ) = −
2y + 1
(y
2
+y
)
2
<0
∀ y ≥1
⇒
∞
∞
x n+1
1n+1
1
x =1 ⇒ ∑
=∑
=∑
n=1 n ( n + 1)
n=1 n ( n + 1)
n=1 n ( n + 1)
1 1 1
1
= + +
+
+"
2 6 12 20
que es una serie telescópica y por lo tanto convergente.
Luego el intervalo de convergencia de la serie de potencias
es x ∈ ⎡⎣−1,1⎤⎦
∞
Queda comprobado que el radio de convergencia es el
mismo, pero el intervalo varía en sus extremos.
TEOREMA. SERIE DE TAYLOR
∞
Sea " f " una función tal que f ( x ) = ∑ an ( x − c)
n
para toda
n= 0
" x " en un intervalo abierto que contiene a " c " . Entonces es
posible construir la serie
n
f '' ( c)
f ( ) ( c)
2
n
f ( x ) = f ( c) + f ' ( c )( x − c ) +
( x − c) + " +
( x − c) + "
2!
n!
que se conoce como “Serie de Taylor para f ( x ) en ' c ' ”.
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17
COROLARIO. SERIE DE MACLAURIN
Sea " f " una función tal que f ( x ) = ∑ a x n para toda " x " en
n
un intervalo abierto ( − r , r ) , entonces se construye la serie
f ( x ) = f (0) + f '(0) x +
f '' ( 0 )
2
x +"+
f(
n)
( 0 ) xn + "
2!
n!
que se conoce como “Serie de Maclaurin para f ( x ) ”.
Nota. Para analizar la convergencia en ambas series, se
puede utilizar el criterio del cociente o de D’Alembert.
Ejemplo. Obtener la serie de Maclaurin para las funciones
f ( x ) = sen x y f ( x ) = cos x y probar que representan a las
funciones para todo valor real de " x " . Mencionar cómo se
haría utilizando derivación e integración de series de
potencias.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
18
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
19
Ejemplo. Obtener el valor de sen ( 0.1) mediante la serie de
Maclaurin y estimar el error que se comete si para ello se
utilizan sus dos primeros términos.
Solución
La serie ya obtenida es:
x 3 x 5 x7
x 2 n+1
n
+
−
+ " + ( −1)
+"
senx = x −
3! 5! 7!
2
1
!
+
n
(
)
Se sustituye " x " por el valor de 0.1 y se llega a:
0.001 0.00001
sen ( 0.1) = 0.1−
+
−"
6
120
Como se sabe, el error que se comete al usar los primeros
dos términos, y su suma como aproximación, es menor que
0.00001
. Por lo que el valor aproximado de sen ( 0.1) , con 6
120
cifras decimales de exactitud, es de 0.099833
Resulta interesante expresar que es factible utilizar la fórmula
x3
polinomial sen x = x −
donde el error que se comete es
6
x5
.
menor que
5!
Ejemplo. Obtener la serie de potencias de Maclaurin para
representar a las funciones:
i) f ( x ) = x cos x
;
ii) f ( x ) = sen x
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
20
Ejemplo.
Obtener la serie de Taylor para representar a la
función f ( x ) = senx en potencias de x −
Solución
Al derivar y sustituir se tiene que:
π
6
.
⎛π ⎞ 1
f⎜ ⎟ =
⎝6⎠ 2
3
⎛π ⎞
f ' ( x ) = cos x ⇒ f ' ⎜ ⎟ =
⎝6⎠ 2
1
⎛π ⎞
f '' ( x ) = − senx ⇒ f '' ⎜ ⎟ = −
2
⎝6⎠
f ( x ) = senx
⇒
f ''' ( x ) = − cos x
de donde
⇒
3
⎛π ⎞
f ''' ⎜ ⎟ = −
2
⎝6⎠
#
2
4
1
3⎛
π⎞
1 ⎛
π⎞
3 ⎛
π⎞
−
−
−
−
−
+"
senx = +
x
x
x
2 2 ⎜⎝
6 ⎟⎠ 2 ( 2!) ⎜⎝
6 ⎟⎠ 2 ( 3!) ⎜⎝
6 ⎟⎠
El término general de esta serie está dado por:
n
n
⎧
1
π
⎛
⎞
si n = 0,2,4.6,...
⎪ ( −1) 2
⎜x− 6 ⎟
2
!
n
⎪
⎝
⎠
un = ⎨
n
n−1
3
π
⎛
⎞
⎪
2
si n = 1,3,5,7,...
⎪( −1) 2n! ⎜ x − 6 ⎟
⎝
⎠
⎩
Se puede probar que esta serie de potencias de Taylor
representa a la función para todo valor real de " x " .
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
21
EJEMPLO. Utilizar la serie de Maclaurin para aproximar a
cuatro cifras decimales la integral:
∫
1
0
sen x 2 dx
Solución
Aquí se pude ver una gran utilidad de las series de potencias
como representaciones de funciones, ya que la función del
integrando no es integrable por los métodos tradicionales de
integración. Y resulta sencillo integrar los términos de la serie
de potencias que la representa.
Para obtener la serie de Maclaurin para la función sen x 2
bastará con sustituir, en la serie que representa a sen x , a la
" x " por " x 2 " . Así,
x 3 x 5 x7 x9 x11
x 2 n+1
n
sen x = x −
+
−
+
−
+ " + ( −1)
+"
n
3! 5! 7! 9! 11!
2
1
!
+
(
)
x6 x10 x14 x18 x 22
x 4 n+ 2
n
sen x = x −
+
−
+
−
+ " + ( −1)
+"
n
3! 5! 7! 9! 11!
2
1
!
+
(
)
2
2
⎛ 2 x6 x10 x14
⎞
=
−
+
−
+
"
sen
x
dx
x
⎜
∫0
∫0 ⎝ 3! 5! 7! ⎟⎠ dx
1
1
2
1
⎡ x 3 x7
x11
x15 ⎤
2
∫0 sen x dx = ⎢⎣ 3 − 42 + 1320 − 75600 ⎥⎦
0
Si se utilizan los primeros tres términos se obtiene
1
1 1
1
2
sen
x
dx
=
−
+
≈ 0.310281
∫0
3 42 1320
El cuarto término es igual a
1
≈ 0.0000132275
75600
Como el error que se comete al tomar los primeros tres
términos es menor que el cuarto término, entonces la integral
pedida es exacta en sus cuatro primero términos como:
1
∴
∫
1
0
sen x 2 dx = 0.3102
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
22
Ejemplo. Obtener la serie de Taylor para la función
1
f ( x) =
centrada en c = 1 y decir para qué valores de " x "
1+ x
la representa.
Solución
Se obtienen las derivadas respectivas y se sustituye en ellas
el valor de c = 1.
1
1
f ( x) =
f (1) =
⇒
1+ x
2
1
1
⇒
=
−
f '( x ) = −
f
'
1
(
)
2
4
(1+ x )
2
2
f '' ( x ) =
⇒
f
=
''
1
(
)
3
8
(1+ x )
6
6
⇒
=
−
f ''' ( x ) = −
f
'''
1
(
)
4
16
(1+ x )
24
24
iv
( iv )
f( ) ( x ) =
⇒
f
=
1
(
)
5
32
(1+ x )
120
120
v
( v)
f( ) ( x ) = −
⇒
f
=
−
1
(
)
6
64
(1+ x )
Ahora se sustituyen los valores obtenidos en la serie de Taylor
y se llega a:
n
f '' (1)
f ( ) (1)
1
2
n
= f (1) + f ' (1)( x − 1) +
( x − 1) + " +
( x − 1) + "
1+ x
2!
n!
1
1 1
2
6
24
2
3
4
= − ( x − 1) +
( x − 1) −
( x − 1) +
( x − 1) −
1+ x 2 4
8 ⋅ 2!
16 ⋅ 3!
32 ⋅ 4!
n!
n
n
" + ( −1) n+1 ( x − 1) + "
2 n!
1
1 1
1
1
1
2
3
4
= − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) +
( x − 1) −
1+ x 2 4
8
16
32
n 1
n
" + ( −1) n+1 ( x − 1) + "
2
∞
1
n 1
n
∴
= ∑ ( −1) n+1 ( x − 1)
1+ x n = 0
2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
23
Se aplica el Criterio de la razón y se obtiene:
a
lim n+1 = lim
n→∞ a
n→∞
n
( x − 1)
n+1
2 n+1 ( x − 1)
n+1
x −1
1
2
lim
lim
1
=
=
−
=
x
n
n
2
( x − 1) n→∞ 2n+ 2 ( x − 1) n→∞ 2
n+ 2
2 n+1
x −1
2
x −1
2
x −1
2
<1 ⇒
⇒
⇒
− 2 < x − 1< 2
− 1< x < 3 ∴ convergente
>1 ⇒
⇒
x −1 < 2
x −1 > 2
x < −1 ∪
x −1 = 2
=1 ⇒
⇒
x − 1 < −2
∪
x − 1> 2
x > 3 ∴ divergente
⇒
⎧ x − 1 = −2 ⇒
⎨
⎩ x − 1= 2 ⇒
x = −1
x=3
∞
n
1
1
x = −1 ⇒ ∑ ( −1) n+1 ( −2 ) =∑
∴ divergente
2
2
n= 0
n= 0
∞
∞
n 1
n
n 1
x = 3 ⇒ ∑ ( −1) n+1 ( 2 ) =∑ ( −1)
∴ divergente
2
2
n= 0
n= 0
1
centrada en c = 1 es
Por lo tanto, la función f ( x ) =
1+ x
∞
n 1
n
representada por la serie de potencias ∑ ( −1) n+1 ( x − 1) en
2
n= 0
el intervalo x ∈ ( −1,3 ) .
∞
n
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ