2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces

2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
102
2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces
complejas conjugadas)
En ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes como
ay´´+by´+cy = 0
(1)
Como en las Ecuaciones Diferenciales Lineales de primer orden de la forma y´+ ay = 0 ,
donde nuestra solución era una función del tipo exponencial , aquí podemos suponer que
las soluciones también serán del tipo exponencial, y en realidad, también lo son.
Para la ecuación (1), si utilizamos
Como una solución y = e mx
(2)
Su primera derivada y´= me mx
(3)
Segunda derivada y´´= m 2 e mx
(4)
Y sustituimos (2), (3) y (4) en la ecuación diferencial de orden dos, (1), tenemos
2 mx
mx
mx
am
e + b me
N
N + c eN = 0
y´´
ý´
(5)
y
Como la solución e mx ≠ 0 ∀ x ∈ \ o sea nunca es cero.
Factorizando, obtenemos
( am
2
O sea
+ bm + c ) e mx = 0
( am
2
(6)
+ bm + c ) y = 0
La ecuación se satisface si se maneja como una ecuación cuadrática
am 2 + bm + c = 0
(7)
También llamada ecuación característica o auxiliar, cuyas raíces serían
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
m1,2 =
103
− b ± b 2 − 4 ac
2a
De tal manera que los valores de m1 , m2 , pueden clasificarse en tres categorías, de acuerdo
al valor del discriminante
•
b 2 − 4ac > 0
donde m1 , m2 son raíces reales distintas
•
b 2 − 4ac = 0
donde m1 , m2 son raíces reales e iguales
•
b 2 − 4ac < 0
donde m1 , m2 son raíces imaginarias (complejas conjugadas)
La solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden sería
y = c1 y1 + c2 y2
(8)
Donde las soluciones y1 y y2 estarían basadas en
Caso I. Raíces reales distintas
Las soluciones serían y1 = c1e m1x y y2 = c2 e m2 x
Y la solución general
y = c1e m1x + c2 e m2x
(9)
Caso II. Raíces reales repetidas
Las soluciones serían y1 = c1e m1x y y2 = c2 xem1x
La solución general
y = c1e m1x + c2 xe m1x
(10)
Observar que se agrega un factor de multiplicación ( x ), si tenemos ecuaciones de orden
superior, ese factor depende de cuantas raíces sean las repetidas.
Si m1 = m2 sólo existe y1 = e m1x , ya que de acuerdo a la función cuadrática
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
m1,2 =
104
− b ± b 2 − 4 ac
,
2a
Para tener raíces repetidas el término como b 2 − 4ac = 0 , entonces m1,2 = −
b
.
2a
b
Y la segunda solución [13] se obtendría por reducción de orden, siendo − p( x) = − .
a
O bien 2m1 = −
− p ( x ) dx
− −2 am1dx
b
=e ∫
= − p ( x) , entonces con el factor de integración e ∫
a
Obtenemos que y2 = y1 ∫
− p ( x ) dx
e ∫
( y1 )
2
dx , o sea y2 = e m1x ∫
e 2 m1x
dx , y2 = e m1x ∫ dx
2 m1 x
e
De tal manera que
y2 = c2 xe m1x
(11)
Caso III. Raíces complejas conjugadas
Los valores de m1 = α − β i y m2 = α + β i
La solución sería y1 = c1e(α + β i ) x y y2 = c2 xe(α − β i ) x , donde α y β son mayores de cero y
reales .
Ya que eiθ = cos (θ ) + isen (θ ) donde θ es un número real
Entonces la forma trigonométrica sería y1 = c1eα x cos( β x) y y2 = c2 eα x sen( β x)
Y la solución general tendría la forma
y = eα x c1 cos ( β x ) + c2 cos ( β x ) 
(12)
Caso IV. Raíces complejas conjugadas y repetidas
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
105
Si tenemos ecuaciones de orden superior, y si resultaran raíces complejas y repetidas.
Entonces manejamos un factor de repetición igual que en el caso II y las soluciones serían
y1 = c1eα x cos( β x) y y2 = c2 eα x sen( β x)
(13)
y3 = c3 xeα x cos( β x) y y4 = c4 xeα x sen( β x)
(14)
La solución general
y = eα x [ c1 cos( β x) + c2 sen( β x) ] + xeα x [ c3 cos( β x) + c4 xsen( β x) ]
(15)
En ecuaciones de orden superior, como veremos mas adelante, si las raíces son reales y
diferentes, tendríamos una solución del tipo
y = c1e m1x + c2 e m2x + ... + cn e mnx
(16)
Suponiendo que m1 = m2 = m3 , raíces reales iguales la solución sería
y = c1e m1x + c2 xe m1x + c3 x 2 e m1x
Ejemplo 2.6.2.2.1
(17)
Resolver y´´+ y´−6 y = 0
Escribiríamos la ecuación como ( D 2 + D − 6 ) y = 0 , utilizando el operador diferencial D
indicado en la sección 2.6.2.
( D − 2 )( D + 3)  y = 0 . indicando la ecuación característica tendríamos
m 2 + m − 6 = 0 , por lo que m1 = 2 y m2 = −3 , son raíces reales diferentes y la solución
Factorizando
y = c1e2 x + c2 e−3 x
Ejemplo 2.6.2.2.2 Determinar la solución de la ecuación lineal diferencial homogénea
y´´+5 y´−6 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 + 5m − 6 = 0
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
106
Factorizando ( m + 6 )( m − 1) = 0 , raíces reales diferentes dado que m1 = −6 y m2 = 1
Por lo tanto la solución sería y = c1e m1x + c2 e m2 x o sea
y = c1e −6 x + c2 e x
Ejemplo 2.6.2.2.3 Determinar la solución de la ecuación lineal diferencial homogénea
2 y´´−5 y´−3 y = 0
Determinando la ecuación característica como 2m 2 − 5m − 6 = 0
Factorizando ( 2m + 1)( m − 3) = 0 , raíces reales diferentes dado que m1 = −
Por lo tanto la solución sería y = c1e m1x + c2 e m2 x o sea y = c1e
1
− x
2
1
y m2 = 3
2
+ c2 e3 x
Ejemplo 2.6.2.2.4 Determinar la solución de la ecuación diferencial y´´+2 y´− y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 + 2m − 1 = 0 , utilizando la fórmula
general de una función cuadrática para obtener las raíces m1,2 =
m1,2 =
−2 ±
( 2)
2
− 4 (1)( −1)
2 (1)
diferentes, la solución sería
y = c1e
( −1+ 2 ) x
+ c2 e
− b ± b 2 − 4 ac
, o bien
2a
, dado que m1 = −1 + 2 y m2 = −1 − 2 son raíces reales
( −1− 2 ) x
Ejemplo 2.6.2.2.5 Determinar la solución de la ecuación diferencial y´´− y´−11 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 − m − 11 = 0
Utilizando la fórmula general m1,2 =
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− ( −1) ±
( −1) − 4 (1)( −11)
2 (1)
2
, m1,2 =
1 ± 45
2
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
Dado que m1 =
y = c1e
 1+ 3 5 

 x
 2 
107
1+ 3 5
1− 3 5
y m2 =
son raíces reales diferentes, la solución sería
2
2
+ c2 e
Ejemplo 2.6.2.2.6
 1−3 5 

 x
 2 
Determinar la solución de la ecuación lineal diferencial homogénea
y´´+5 y´+6 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 + 5m + 6 = 0
Factorizando ( m + 3)( m + 2 ) = 0 , raíces reales diferentes dado que m1 = −3 y m2 = −2
Por lo tanto la solución sería y = c1e m1x + c2 e m2 x o sea
y = c1e −3 x + c2 e−2 x
Ejemplo 2.6.2.2.7 Determinar la solución de la ecuación lineal diferencial homogénea
y´´+5 y´+6 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 + 5m + 6 = 0 ,
( m + 3)( m + 2 ) = 0 , raíces reales diferentes dado que m1 = −3 m2 = −2 .
factorizando
Por lo tanto la solución sería y = c1e m1x + c2 e m2 x o sea
y = c1e −3 x + c2 e−2 x
Ejemplo 2.6.2.2.8 Determinar la solución de la ecuación diferencial z´´+ z´− z = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 + m − 1 = 0
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108
Utilizando la fórmula general de una función cuadrática para obtener las raíces
m1,2
−1 ±
− b ± b 2 − 4 ac
=
, o bien m1,2 =
2a
Dado que m1 =
y = c1e
 −1+ 5 
x
 2 


−1 + 5
2
+ c2 e
m2 =
(1)
2
− 4 (1)( −1)
2 (1)
1
5
, m1,2 = − ±
2 2
−1 − 5
raíces reales diferentes, por lo tanto la solución
2
 −1− 5 
x
 2 


Ejemplo 2.6.2.2.9 Determinar la solución de la ecuación diferencial 2u´´+7u´−4u = 0
Determinando la ecuación característica como 2m 2 + 7m − 4 = 0
Utilizando la fórmula o bien m1,2 =
Resultando m1 =
y = c1e
1
x
2
−7 ±
(7)
2
− 4 ( 2 )( −4 )
2 ( 2)
, m1,2 =
−7 ± 49 + 32
4
1
y m2 = −4 son raíces reales diferentes, por lo tanto la solución sería
2
+ c2 e −4 x
Ejemplo 2.6.2.2.10 Determinar la solución de la ecuación lineal diferencial homogénea
y´´+2 y´−15 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 + 2m − 15 = 0
Factorizando ( m − 3)( m + 5 ) = 0 , raíces reales diferentes dado que m1 = 3 m2 = −5
Por lo tanto la solución sería y = c1e3 x + c2 e −5 x
Con Condiciones iniciales
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109
Ejemplo 2.6.2.2.11 Determinar la solución de la ecuación diferencial y´´+2 y´−8 y = 0 con
condiciones iniciales y ( 0 ) = 3 y y´( 0 ) = −12
La ecuación característica sería m 2 + 2m − 8 = 0 , factorizando ( m + 4 )( m − 2 ) = 0 , por lo
que m1 = −4 y m2 = 2 son raíces reales diferentes, por lo tanto la solución general sería
y = c1e −4 x + c2 e −2 x
(18)
Derivándola nos queda
y´= −4c1e −4 x − 2c2 e 2 x
(19)
Sustituyendo las condiciones iniciales y ( 0 ) = 3 y y´( 0 ) = −12 , en (18) (la solución)
3 = c1e
−4( 0 )
+ c2 e
−2( 0 )
, tenemos
3 = c1 + c2
(20)
O bien c1 = 3 − c2
Sustituyendo las condiciones iniciales en la primera derivada (19)
−12 = −4c1e
−4( 0 )
+ 2c2 e
2( 0 )
Tenemos −12 = −4c1 + 2c2 o bien dividiéndola entre 2 nos queda
−6 = −2c1 + c2
(21)
Sustituyendo c1 = 3 − c2 en (21), obtenemos −6 = −2 ( 3 − c2 ) + c2
Obtenemos −6 = −6 + 6c2 + c2 o c2 = 0 , resulta que c1 = 3 , por lo tanto la solución es
y = 3e( −4) x
Ejemplo 2.6.2.2.12 Determinar la solución de la ecuación diferencial y´´+2 y´− y = 0 con
condiciones iniciales y ( 0 ) = 0 y y´( 0 ) = −1
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
110
Determinando la ecuación característica como m 2 + 2m − 1 = 0
Utilizando la fórmula general de una función cuadrática para obtener las raíces
m1,2 =
−2 ±
( 2)
2
− 4 (1)( −1)
resultando m1,2 =
2 (1)
−2 ± 8
, dado que m1 = −1 + 2
2
y
m2 = −1 − 2 son raíces reales diferentes, por lo tanto la solución general sería
y = c1e
( −1+ 2 ) x
+ c2 e
( −1− 2 ) x
(22)
Obteniendo la primera derivada de (22)
(
)
y´= −1 + 2 c1e
( −1+ 2 ) x
(
)
+ −1 − 2 c2 e
( −1− 2 ) x
(23)
Sustituyendo las condiciones iniciales (22), tenemos
0 = c1e
( −1+ 2 )0
+ c2 e
( −1− 2 )0
o bien
0 = c1 + c2
(24)
de tal manera que c1 = −c2
Sustituyendo las condiciones iniciales en la primera derivada (23),
(
)
(
)
Tenemos −1 = −1 + 2 c1e( 0) x + −1 − 2 c2 e( 0) x o bien
(
)
(
)
−1 = −1 + 2 c1 + −1 − 2 c2
(25)
(
)
(
)
Sustituyendo c1 = −c2 en (25), resulta −1 = +1 − 2 c2 + −1 − 2 c2
Finalmente c2 =
y=−
1
2 2
o c2 =
2
2
de tal manera que c1 = −
, por lo tanto
4
4
2 ( −1+ 2 ) x
2 ( −1− 2 ) x
e
+
e
4
4
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111
Raíces reales repetidas
Ejemplo 2.6.2.2.13 Determinar la solución de la ecuación y´´−10 y´+25 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 − 10m + 25 = 0 , factorizando
( m − 5)( m − 5) = 0 , raíces reales idénticas dado que m1,2 = 5 , por lo tanto la solución
sería de la forma y = c1e m1x + c2 xem1x , o sea
y = c1e5 x + c2 xe5 x
Ejemplo 2.6.2.2.14 Determinar la solución de la ecuación lineal diferencial homogénea
y´´+8 y´+16 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 + 8m + 16 = 0 , factorizando
( m + 4 )( m + 4 ) = 0 , raíces reales repetidas dado que m1,2 = −4 , por lo tanto la solución
sería y = c1e m1x + c2 xem1x o sea
y = c1e −4 x + c2 xe −4 x
Ejemplo 2.6.2.2.15 Determinar la solución de la ecuación 4 w´´+20 w´+25w = 0
Determinando la ecuación característica como 4m 2 + 20m + 25 = 0 dividiendo entre 4
m 2 + 5m +
5 
5
25

= 0 y factorizando tenemos  m +   m +  = 0 ,
4
2 
2

O bien utilizando la ecuación cuadrática general m1,2 =
−20 ±
( 20 ) − 4 ( 4 )( 25 )
2 ( 4)
2
5
−20 ± 400 − 400
resultando también que m1,2 = − , raíces reales idénticas por lo
8
2
tanto la solución sería
m1,2 =
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
y = c1e
5
− x
2
+ c2 xe
112
5
− x
2
Con condiciones iniciales
Ejemplo 2.6.2.2.16 Determinar la solución de la ecuación y´´+2 y´+ y = 0 con las
condiciones iniciales y ( 0 ) = 1 y y´( 0 ) = −3
Determinando la
( m + 1)( m + 1) = 0 ,
ecuación característica como m 2 + 2m + 1 = 0 , factorizando
raíces reales idénticas dado que m1,2 = −1 , por lo tanto la solución
sería
y = c1e − x + c2 xe − x
(26)
Derivándola
y´= −c1e − x + c2 e− x − c2 xe − x
(27)
Sustituyendo condiciones iniciales en la (26) y (27) (la solución y su derivada)
1 = c1e −( 0) + c2 ( 0 ) e−( 0)
Obtenemos c1 = 1
(28)
−3 = −c1e( 0) + c2 e( 0) − c2 ( 0 ) e( 0)
Resultando −3 = −c1 + c2
(29)
Sustituyendo el valor obtenido c1 = 1 en (29), nos queda −3 = −1 + c2 por lo que c2 = −2
De tal manera que la solución particular sería
y = e − x − 2 xe − x
Raíces imaginarias
Ejemplo 2.6.2.2.17 Resolver y´´−9 y = 0
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
Aplicando el operador diferencial D , obtenemos
m1,2 = 1 ± 3i
complejas,
por
lo
que
(D
la
2
113
− 9 ) y = 0 , donde las raíces son
solución
tendría
la
forma
y = c1eα x cos( β x) + c2 eα x sen( β x) , o sea
y = e x c1 cos ( 3 x ) + c1 cos ( 3 x ) 
Ejemplo 2.6.2.2.18 Determinar la solución de la ecuación diferencial y´´+4 y´+7 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 + 4m + 7 = 0
Utilizando
m1 = −2 +
m1,2 =
( 3)i
−4 ±
( 4)
2
− 4 (1)( 7 )
2 (1)
y m2 = −2 −
( 3 ) i son
entonces
m1,2 = −2 ± −3 ,
dado
que
raíces imaginarias donde α = −2 y β = 3
Por lo tanto la solución sería y = c1eα x cos( β x) + c2 eα x sen( β x) , o bien
y = e −2 x  c1 cos

( 3x ) + c sen ( 3x )
2
Ejemplo 2.6.2.2.19 Determinar la solución de la ecuación diferencial y´´− y´+ y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 − m + 1 = 0
Utilizando m1,2 =
β=
1±
( −1)
2
− 4 (1)(1)
2 (1)
m1,2 =
1
3
1
±
i raíces imaginarias donde α = y
2 2
2
3
, por lo tanto la solución sería de la forma y = c1eα x cos( β x) + c2 eα x sen( β x)
2
O bien
y=e
1
x
2
c1 cos

( 3x ) + c sen ( 3x )
2
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
114
Ejemplo 2.6.2.2.20 Determinar la solución de la ecuación diferencial y´´−4 y´+13 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 − 4m + 13 = 0
Utilizando m1,2 =
4±
( −4 )
2
− 4 (1)(13)
2 (1)
o bien m1,2 = 2 ± −9
Dado que m1 = 2 + 3i y m2 = 2 − 3i raíces imaginarias donde α = 2 y β = 3 , la solución
sería
y = e 2 x  c1 cos ( 3x ) + c2 sen ( 3 x ) 
Ejemplo 2.6.2.2.21 Determinar la solución de la ecuación diferencial y´´+25 y = 0
Determinando la ecuación característica como m 2 + 25 = 0
Utilizando m1,2 = ± −25 o bien m1,2 = ±5i , raíces imaginarias donde α = 0 y β = 5
La solución sería y = e0 x c1 cos ( 5 x ) + c2 sen ( 5 x )  , o bien y = c1 cos ( 5 x ) + c2 sen ( 5 x )
Con condiciones iniciales
Ejemplo 2.6.2.2.22 Determinar la solución de la ecuación diferencial 4 y´´+4 y´+17 y = 0
con condiciones iniciales y ( 0 ) = −1 y y´( 0 ) = 2
Determinando la ecuación característica como 4m 2 + 4m + 17 = 0
Utilizando m1,2 =
−4 ±
( 4)
2
− 4 ( 4 )(17 )
2 ( 4)
, m1,2 =
1
−4 ± −272
, o m1,2 = − ± 2i
2
8
1
1
1
Dado que m1 = − + 2i y m2 = − − 2i son raíces imaginarias donde α = − y β = 2
2
2
2
Por lo tanto la solución sería
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2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces complejas conjugadas)
y=e
1
− x
2
115
c1 cos ( 2 x ) + c2 sen ( 2 x ) 
(30)
Sustituyendo las condiciones iniciales y ( 0 ) = −1 y y´( 0 ) = 2 en (30)
−1 = e
−
1
( 0)
2
c1 cos ( 2 ( 0 ) ) + c2 sen ( 2 ( 0 ) )  o bien c1 = −1 dado que sen(0) = 0 y cos(0) = 1
Derivando (30)
 −1 x 
 1 −1 x 
y´=  e 2   −2c1 sen ( 2 x ) + 2c2 cos ( 2 x )  +  − e 2  c1 cos ( 2 x ) + c2 sen ( 2 x ) 


 2

(31)
Sustituyendo las condiciones iniciales en (31)
 − 1 ( 0) 
 1 − 1 ( 0) 
2 = e 2  −2c1 sen  2 ( 0 )  + 2c2 cos  2 ( 0 )  +  − e 2  c1 cos  2 ( 0 )  + c2 sen  2 ( 0 ) 


 2

{
}
{
}
1
Quedando 2 = 2c2 − c1
2
(32)
como c1 = −1 entonces sustituyendo en (32), tenemos que 2 = 2c2 +
c2 =
1
de tal manera que
2
3
4
Y por consiguiente la solución particular sería y = e
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1
− x
2
3


 − cos ( 2 x ) + 4 sen ( 2 x ) 
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