Reparametrización de curvas: Consideremos la curva f : [−1,1]

Reparametrización de curvas: Consideremos la curva f : [−1, 1] → R2 dada por f (t) = (t, t2 )
la cual describe un arco de la parábola y = x2 entre -1 y 1. Sea ϕ : [0, 2π] → [−1, 1] la
función t = ϕ(s) = − cos(s)
Tenemos que ϕ(0) = − cos(0) = −1, ϕ(π) = − cos(π) = 1 y ϕ(2π) = − cos(2π) = −1 por
lo que ϕ recorre 2 veces la curva descrita por por f . Ahora bien
g(s) = f (ϕ(s)) = f (− cos(s)) = (− cos(s), cos2 (s)) s ∈ [0, 2π]
y el vector velocidad
g 0 (s) = (sen(s), −2 sen(s) cos(s)) = ϕ0 (s)f 0 (ϕ(s))
el cual se anula para s = 0 mientras que
f 0 (t) = (1, 2t)
el cual no se anula ∀t ∈ [−1, 1]. Ademas la longitud de la curva g es el doble de la
longitud de la curva f, y aunque ambas funciones vectoriales representan el mismo lugar
geometrico, la función g tiene longitud 2 veces la longitud de f, y tratamos de encontrar
otra representación de una función vectorial (curva) que no pierda las caracteristicas de
la original.
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Definición Sea f : [a, b] ⊂ Rn una curva con derivada distinta de cero. Sea ϕ : [c, d] →
[a, b] una función con derivada continua sobreyectiva tal que ϕ0 6= 0 ∀s ∈ [a, b].
Entonces la curva g = f ◦ ϕ : [c, d] → Rn se llama reparametrización de la curva f
Observación: La condición ϕ0 6= 0 nos conduce a ϕ0 > 0 o ϕ0 < 0. Si ϕ0 > 0 entonces
ϕ es una función creciente en [c,d] de modo que ϕ(c) = a y ϕ(c) = b y asi los
puntos inicial y final de g coinciden con los respectivos de f
g(c) = f ◦ ϕ(c) = f (ϕ(c)) = f (a) g(d) = f ◦ ϕ(d) = f (ϕ(d)) = f (b)
como g 0 (s) = ϕ0 (s)f 0 (ϕ(s)) entonces f 0 y g 0 tienen la misma dirección y en este
caso, entonces, el camino g recorre la curva descrita por f en la misma dirección.
En este caso g es una reparametrización que conserva la orientación
Ejemplo: Obtenga una reparametrización de la curva f : [0, 2] → R2 dada por f (t) =
(3t + 2, t3 + 3)
Solución: Proponemos t = ϕ(s) = 2s para la cual ϕ0 (s) = 2 > 0 no se anula para
ningun valor. Ahora bien si t = 0 ⇒ s = 0 y t = 2 → s = 1 por lo tanto
ϕ : [0, 1] → [0, 2] mientras que
g(s) = f (ϕ(s)) = f (2s) = (3(2s) + 2, (2s)3 + 3) = (6s + 2, 8s3 + 3) s ∈ [0, 1]
tenemos entonces que g es una reparametrización de f. Vamos a comprobar que
representan el mismo lugar geométrico. Para f (t) se tiene x = 3t+2 → t = x−2
y
3
3
+3 mientras que para g(s) x = 6s+2 → s = x−2
si y = t3 +3 entonces y = x−2
3
6
x−2 3
3
por tanto si y = 8s + 3 entonces y = 6
igualando coordenadas
x−2
3
3
+3=
x−2
6
3
⇒
8
1
= 3
3
3
6
lo cual es cierto por lo tanto representan el mismo lugar geometrico
Ejemplo: Obtenga una reparametrización de la curva f : [0, 3] → R3 dada por f (t) =
(tet , e−t , t)
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Solución: Proponemos t = ϕ(s) = 3s para la cual ϕ0 (s) = 3 > 0 no se anula para
ningun valor. Ahora bien si t = 0 ⇒ s = 0 y t = 3 → s = 1 por lo tanto
ϕ : [0, 1] → [0, 3] mientras que
g(s) = f (ϕ(s)) = f (3s) = (3se3s , e−3s , 3s) s ∈ [0, 1]
tenemos entonces que g es una reparametrización de f. Vamos a comprobar que
representan el mismo lugar geométrico. Para f (t) se tiene y = e−t → t = − ln(y)
y si x = tet entonces x = − ln(y)e− ln(y) ⇒ x =
− ln(y)
y
mientras que para g(s)
y = e−3s → s = − ln(y)
por tanto si x = 3se3s entonces
3
ln(y)
ln(y) 3(− ln(y)
3 ) = − ln(y)e− ln(y) = −
x=3 −
e
3
y
por lo tanto representan el mismo lugar geometrico en el plano, mientras que
para la coordenada en z, hay una correspondencia biunivoca entre f3 (t) = t para
t ∈ [0, 3] y g3 (s) = 3s para s ∈ [0, 1] y por lo tanto f y g representan el mismo
lugar geometrico
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