1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos.

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Curvas planas. Solución de los ejercicios
propuestos.
1. Se considera el lugar geométrico de los puntos del plano tales
√ que la
suma del
√ cuadrado de las distancias a los puntos P1 = (− 2, 0) y
P2 = ( 2, 0) vale 6. Se pide:
- Determinar la curva de forma implı́cita. ¿Qué figura geométrica
representa?
- Dar una parametrización de la curva.
- Determinar los puntos de dicha curva para los cuales existe un
entorno de dicho punto en que la curva determina un arco de
curva regular.
- Estudiar el mismo lugar geométrico sustituyendo la palabra ”suma”
por ”diferencia” en el enunciado.
Solución:
A partir de la definición de la curva dada en el enunciado, un punto
P = (x, y) en R2 pertenece a la curva si y sólo si
(d(P, P1 ))2 + (d(P, P2 ))2 = 6,
es decir,
(x +
√
2)2 + y 2 + (x −
√ 2
2) + y 2 = 6.
Simplificando la anterior ecuación llegamos a x2 + y 2 = 1. Por tanto, la
curva del enunciado no es otra que la circunferencia de radio 1 y centro el
origen de coordenadas (0, 0) en R2 .
C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}.
Para la segunda parte del ejercicio hacemos referencia al Ejercicio 1.
Para determinar los puntos regulares de la curva del enunciado se puede,
bien observar que las parametrizaciones dadas en el apartado anterior son
regulares y homeomorfas a un intervalo de la recta real (α0 (t) 6= 0 para
todo t en el intervalo de la parametrización, y además que α(I) es ” como”
un segmento moldeado) o bien viendo que ∇f (P ) 6= 0 para cada P en la
circunferencia. Esto ya ha sido resuelto a lo largo del capı́tulo, obteniendo
1
que todos los puntos en la circunferencia son regulares, y, por tanto, para
todos ellos existe un entorno en que la curva determina un arco de curva
regular.
Al sustituir la palabra ”suma” por ”diferencia” en el enunciado, la
ecuación que se obtiene es
3
x= √ .
4 2
De aquı́ se deduce que los puntos P = (x, y) que forman la curva son aquellos
cuya primera componente es constantemente igual a 4√3 2 , es decir, una recta
vertical con abscisa en dicho valor. La parametrización más sencilla de esta
curva es (R, α), donde
3
α(t) := ( √ , t),
4 2
t ∈ R.
Como se ha visto en el capı́tulo, ésta es una curva regular por lo que para
cualquiera de sus puntos podemos encontrar un entorno en el cual la curva
determina un arco de curva regular.
2. Sea f : I → R una función de clase C ∞ en I. Comprobar que el grafo
de la función es una curva regular y dar una parametrización de dicha
curva. Nota: el grafo de f es un subconjunto de R2 que se define como
{(x, f (x)) : x ∈ I}. Comprobar que esta parametrización es natural
sólo cuando la función es una función constante.
Solución:
Basta considerar la parametrización (I, α) dada por
α(t) = (t, f (t)),
t ∈ I.
Ésta es una parametrización regular ya que α0 (t) = (1, f 0 (t)) para todo
t ∈ I. Este vector no puede ser, en ningún caso, el vector nulo.
Para que ésta sea una parametrización natural, debemos tener
p
kα0 (t)k = 1 + (f 0 (t))2 = 1,
para todo t ∈ I, es decir, 1 + (f 0 (t))2 = 1 ⇔ f 0 (t) = 0 para todo t ∈ I, por
lo que la función debe ser constante.
3. Dar una parametrización de los puntos en la circunferencia de centro
(0, 0) y radio r, con segunda coordenada positiva:
2
- considerándo esta curva como una función de x.
- con ayuda de coordenadas polares.
Solución:
El conjunto de puntos de la circunferencia de segunda coordenada positiva pueden considerarse como el grafo de la función que queda al despejar
2
2
2
la variable y de la ecuación
√ x + y = r . Mediante este procedimiento, la
función a tratar es y = r2 − x2 , con x siendo un parámetro entre −r y r.
La parametrización buscada es
√
α(t) = (t, r2 − t2 ), t ∈ (−r, r).
Las coordenadas polares (θ, ρ) son las coordenadas relacionados con las
coordenadas (x, y) de esta forma
x = ρ cos(θ),
y = ρ sin(θ).
En estas nuevas coordenadas, un punto queda determinado por su ángulo
de giro θ con respecto a la semirrecta {(x, 0) : x ≥ 0} y por la distancia ρ
de dicho punto al origen de coordenadas.
En el caso del ejercicio, los puntos de la curva corresponden a θ ∈ (0, π)
y ρ = r. La curva queda dada por la parametrización (I, α) con I = (0, π)
y α(θ) = (r cos(θ), r sin(θ)).
4. La lemniscata se define como el lugar geométrico de los puntos P del
plano tales que el producto de sus distancias a dos puntos fijos P1 y
P2 es constante. Se pide:
- Sea a > 0. Determinar la curva definida por la lemniscata dada
de forma implı́cita cuando se consideran los puntos P1 = (a, 0)
y P2 = (−a, 0), y donde k > 0 es la distancia constante que se
considera.
- Determinar una parametrización de la lemniscata para los valores
a = 1 y k = 1 de los parámetros.
- Determinar los puntos de la lemniscata en torno a los cuales, la
lemniscata determina un arco de curva regular.
3
Solución:
Consideramos un punto genérico P = (x, y) en la lemniscata. Se tiene
que
d(P1 , P )d(P2 , P ) = k,
por lo que
p
p
(x − a)2 + y 2 (x + a)2 + y 2 = k.
Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad y simplificando la expresión se obtiene que un punto en la lemniscata verifica ((x−a)2 +y 2 )((x+
a)2 + y 2 ) = k 2 ,, por lo que la lemniscata es la curva
C = {(x, y) ∈ R2 : ((x − a)2 + y 2 )((x + a)2 + y 2 ) = k 2 }.
Para los valores a = 1 y k = 1, la lemniscata viene dada por
C = {(x, y) ∈ R2 : ((x − 1)2 + y 2 )((x + 1)2 + y 2 ) = 1}.
(1)
Realizaremos una parametrización de la lemniscata realizando un cambio a
coordenadas polares, como en el ejercicio anterior. Este cambio de coordenadas nos permitirá definir una parametrización sencilla de la lemniscata.
Las coordenadas (x, y) se sustituyen por las coordenadas (θ, ρ), siendo la
relación entre ambas
x = ρ cos(θ),
y = ρ sin(θ).
Sustituyendo la expresión de las nuevas coordenadas en la ecuación implı́cita
que define la curva en (1) se llega a
((x − 1)2 + y 2 )((x + 1)2 + y 2 ) = 1
⇔ (x2 + 1 − 2x + y 2 )(x2 + 1 + 2x + y 2 ) = 1
⇔ (ρ2 cos2 (θ) + 1 − 2ρ cos(θ) + ρ2 sin2 (θ))(ρ2 cos2 (θ) + 1 + 2ρ cos(θ) + ρ2 sin2 (θ)) = 1
⇔ (ρ2 + 1 − 2ρ cos(θ))(ρ2 + 1 + 2ρ cos(θ)) = 1
⇔ (ρ2 + 1)2 − (2ρ cos(θ))2 = 1
⇔ ρ2 + 2 − 4 cos2 (θ) = 0.
p
Por tanto, ρ = 4 cos2 (θ) − 2. Una parametrización de la lemniscata es la
siguiente:
4
α(θ) = (x(θ, ρ), y(θ, ρ)) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ))
p
p
= ( 4 cos2 (θ) − 2 cos(θ), 4 cos2 (θ) − 2 sin(θ)),
con θ ∈ (0, 2π).
Por último, los puntos singulares de la lemniscata son los pares (x, y)
cumpliendo que
∂
∂
f (x, y) =
f (x, y) = 0.
∂x
∂y
Por un lado,
∂
f (x, y) = 4y(x2 + y 2 ),
∂y
que se anula sólo cuando y = 0. Por otro lado,
∂
f (x, y) = 4x(x2 + y 2 − 1) = 0
∂x
si y sólo si x = 1, x = −1 o bien x = 0. Los únicos posibles puntos singulares
son (1, 0), (−1, 0) y (0, 0). Los dos primeros no verifican la ecuación implı́cita
que define la lemniscata (luego no son puntos en la lemniscata), ası́ que el
único punto singular en la lemniscata es (0, 0). En torno a cualquier otro
punto de esta curva, la lemniscata determina un arco decurva regular.
5. Calcular la recta tangente a la curva considerada en el ejercicio 3 en
un punto genérico de la curva a partir de una de las parametrizaciones
del ejercicio y a partir de su forma implı́cita. Comprobar que son la
misma recta. Calcular la recta normal a dicha curva en cada punto y
comprobar que todas pasan por el origen de coordenadas.
Solución:
p
Un punto genérico de la curva viene dado por α(t0 ) = (t0 , r2 − t20 ). El
vector velocidad en dicho punto viene dado por α0 (t0 ) = (1, √−t2 0 2 ). De
r −t0
aquı́ se deduce que la recta tangente a la curva en α(t0 ) está dada por
q
−t0
(x, y) = (t0 , r2 − t20 ) + s(1, p
), s ∈ R
r2 − t20
o lo que es lo mismo:
x = t0 + s,
5
q
−t0
y = r2 − t20 + s p
,
r2 − t20
para s ∈ R.
La recta normal viene dada por la parametrización
x = t0 + s p
t0
r2
− t20
,
q
y = r2 − t20 + s,
para s ∈ R.
A partir de la ecuación implı́cita, poniendo f (x, y) = x2 + y 2 , se tiene
que la recta tangente en un punto (x0 , y0 ) viene dada por la ecuación
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ) = 0,
∂x
∂y
es decir,
x0 (x − x0 ) + y0 (y − y0 ) = 0.
(2)
Para comprobar que la recta tangente definida a partir de una parametrización
y a partir de la ecuación implı́cita coinciden, basta poner (x0 , y0 ) = α(t0 ) y
sustituir en (2), viendo que se cumple dicha ecuación.
6. Se considera la espiral logarı́tmica dada por la siguiente parametrización:
α(t) = (et cos(t), et sin(t)),
t ∈ R.
Se pide:
- Comprobar que la espiral logarı́tmica es una curva regular.
- Calcular la longitud de arco entre dos puntos cualquiera de la
espiral logarı́tmica.
- Sean a, b > 0 dos parámetros fijos. Realizar el mismo estudio
para la espiral logarı́tmica
α(t) = (aebt cos(t), aebt sin(t)),
t ∈ R.
- Sean a, b > 0. Realizar el mismo estudio para la espiral, parametrizada
por
α(t) = (at cos(bt), at sin(bt)), t ∈ R.
6
¿Son parametrizaciones naturales? Determinar el sistema de referencia móvil asociado a dicha parametrización. Determinar una parametrización
natural para la espiral y la espiral logarı́tmica en el caso de que no lo
sean las encontradas en los apartados anteriores.
Solución:
Para comprobar que la espiral logarı́tmica es una curva regular basta
ver que α0 (t) 6= 0 para todo t ∈ R. El vector derivada en P = α(t)
viene dado por
α0 (t) = (−et sin(t) + et cos(t), et cos(t) + et sin(t)).
Este vector se anula cuando sin(t) = cos(t) = 0 para cierto t ∈ R.
Esto nunca puede ocurrir, luego la curva definida es regular.
La longitud de arco entre los puntos α(t0 ) y α(1 ) viene dada por
Z t1
Z t1 p
0
e2s (cos(s) − sin(s))2 + e2s (cos(s) + sin(s))2 ds
L=
kα (s)k ds =
t0
t0
Z
t1
es ds = (t1 − t0 ).
=
t0
Puesto que
e2s (cos(s) − sin(s))2 + e2s (cos(s) + sin(s))2
se escribe como
e2s (cos2 (s)+sin2 (s)−2 sin(s) cos(s)+cos2 (s)+sin2 (s)+2 sin(s) cos(s)) = 2e2s ,
se concluye que
Z
t1
L=
√
2es =
√
2(et1 − et0 ).
t0
Dado que kα0 (t)k =
6 1 para todo t ∈ R, la parametrización del enunciado no está dada por longitud de arco. De hecho,
q
kα0 (t)k = e2t cos2 (t) + e2t sin2 (t) = et , t ∈ R.
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De ahı́, podemos escribir
Tα (t) =
cos(t) − sin(t) cos(t) + sin(t)
α0 (t)
√
√
=(
,
).
0
kα (t)k
2
2
Nα (t) = (
− cos(t) − sin(t) cos(t) − sin(t)
√
√
,
),
2
2
y el sistema de referencia móvil viene dado por {α(t), (Tα (t), Nα (t))}.
Los demás apartados se resuelven de manera similar. Para el segundo,
L=
a√ 2
b + 1(ebs0 − ebt0 ),
b
mientras que para el tercero
q
q
1
1
1
1
L = s0 1 + s20 + arcsinh(s0 ) − t0 1 + t20 − arcsinh(t0 ).
2
2
2
2
2
Otros ejercicios propuestos.
1. Se considera el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la
distancia a la recta x = 0 y al punto P1 = (2, 0) es igual. Se pide:
- Determinar la curva de forma implı́cita. ¿Qué figura geométrica
representa?
- Dar una parametrización de la curva.
- Determinar los puntos de dicha curva para los cuales existe un
entorno de dicho punto en que la curva determina un arco de
curva regular.
2. Dar una parametrización regular del grafo de la función f (x) = x3 .
Determinar la recta tangente a la curva en el punto P = (1, 1).
Nota: Observar que la recta tangente a la curva coincide con la recta
tangente a la función en el punto x = 1. Este hecho se puede generalizar a cualquier punto de la curva.
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