Teorema de valor medio para derivadas y Regla de L`Hôpital
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Centro de Matemática Facultad de Ciencias Matemática I. Curso 2011 Práctico 7: Teorema de valor medio para derivadas y Regla de L’Hôpital Teorema de valor medio para derivadas 1. Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones: 2 a) x2 − 1 b) xex d) log(x2 + 1) e) (x − 1)(x + 1) g) x3 −x x≤1 −x2 + 2x x > 1 c) x2 ex f) (sen x)2 x ≤ −π x+π sen x x ∈ (−π, π) h) x−π x≥π 2. Sea f una función derivable en R. Si f no es una función inyectiva demostrar que en algún punto x ∈ R se tiene f 0 (x) = 0. 3. Sea f (x) = 1 − x2/3 . Probar que se cumple f (1) = f (−1) = 0, pero que f 0 (x) nunca es cero en el intervalo [−1, 1]. Explicar por qué este resultado contradice aparentemente el teorema de Rolle. 4. ¿Es aplicable el teorema de valor medio a la función f (x) = x3 en [−1, 2]? En caso afirmativo, determinar los valores medios dados por el teorema. 3−x2 x≤1 2 . 5. Consideremos la función f dada por f (x) = 1 x>1 x a) Graficar la función f (x) en el intervalo [0, 2]. b) Probar que f satisface las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2] y determinar todos los valores medios dados por el teorema. Regla de L’Hôpital 1. Calcular los siguientes lı́mites usando la regla de L’Hôpital: ex − 1 x→0 x x→0 1 − cos x ; lı́m x→0 x2 x − ln(1 + x) lı́m ; x→0 x2 lı́m lı́m ln(1 + x) ; x lı́m x→0 sen x ; x √ ex − cos(x) + 2 x lı́m . x→0 x 2. Calcular los lı́mites x2 − 1 x→1 x2 − 3x + 2 lı́m sen(ax) x→0 sen(bx) lı́m b 6= 0 x3 − a3 x→a x − a lı́m 1 − cos(x − 1) . x→1 (log x)2 lı́m
