Teoría local de Cauchy

CAPÍTULO 6
Teorı́a local de Cauchy
6.1
INTRODUCCIÓN
Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parangón en la teorı́a de
funciones de una o varias variables reales. La llave: la fórmula de Cauchy, que al
expresar el valor en un punto de una función holomorfa —en abiertos estrellados, de
momento— como una especie de promedio integral de sus valores sobre un camino
cerrado que rodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la función
como una integral dependiente de un parámetro, con consecuencias adivinables en
algunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisibles
en otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del álgebra, . . . )
La fórmula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy. Reflexionando a posteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultados
se sustenten, finalmente, en algo que podrı́a parecer una simple curiosidad: la integral de una función holomorfa en un disco (o, con la misma demostración, en
un abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (también si la función deja
de ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta será nuestra
primera versión del teorema de Cauchy: más adelante nos ocuparemos de extender
su alcance (comenzando por ampliar el ámbito de validez de la fórmula de Cauchy
en la denominada “teorı́a global de Cauchy”).
Sin embargo, el examen de la demostración del teorema de Cauchy revela la
causa de esta pequeña maravilla, situándonos en terreno más conocido. Basta encontrar una primitiva de la función dada para saber que la integral es nula, y esto reduce
el problema a probar la anulación de la integral sobre el contorno de un triángulo
(teorema de Cauchy-Goursat). Una exposición inmejorable de este planteamiento
puede verse en Open University: Integration/Cauchy’s Theorem I/Taylor Series.
The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa página se
encuentra perfectamente desglosada y explicada la demostración, si bien bajo la
hipótesis de derivabilidad en todos los puntos.
Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentran
básicamente en
Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,
Madrid (1987).
Como complemento en algunos detalles,
Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New
York (1978).
93
94
6.2
Teorı́a local de Cauchy
TEOREMA Y FÓRMULA DE CAUCHY
1 Teorema. Sea un abierto no vacı́o de C, f : → C continua. Son equivalentes:
(1.1) existe una primitiva de f en , es decir, una función F ∈ H() tal que
F = f ;
(1.2) para todo camino cerrado γ contenido en ,
f (z) dz = 0;
γ
(1.3) para dos caminos cualesquiera γ1 , γ2 contenidos en que tengan los
mismos orı́genes e iguales extremos,
f (z) dz =
f (z) dz.
γ1
γ2
Demostración. (Recuérdese el teorema de los campos conservativos para formas
diferenciales reales).
(1.1) ⇒ (1.2) Visto.
(1.2) ⇒ (1.3) γ1 ∪ (−γ2 ) es un camino cerrado contenido en .
(1.3) ⇒ (1.1) Si no es conexo, las componentes conexas de son abiertos
disjuntos dos a dos cuya unión es . Por tanto, para construir una primitiva de f
en es suficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de
.
Sea, pues, G una componente conexa de . Fijado a ∈ G, definimos F :
G → C haciendo
F(z) =
f (w) dw,
γz
donde γz es cualquier camino contenido en G con origen a y extremo z (la función
F está entonces bien definida por ser la integral independiente del camino). Esta
función F es derivable, y para cada z 0 ∈ G es F (z 0 ) = f (z 0 ). En efecto: dado
z 0 ∈ G, tomemos ε de modo que D(z 0 ; ε) ⊆ G; si γ0 es un determinado camino
contenido en G con origen a y extremo z 0 , para cada z ∈ D(z 0 ; ε) sea γz la unión
de γ0 con el segmento [z 0 , z], que por ser un camino contenido en G con origen a
y extremo z nos permite escribir
F(z) − F(z 0 )
1
=
f (w) dw −
f (w) dw
z − z0
z − z0
γz
γ0
1
f (w) dw
=
z − z 0 [z0 ,z]
Teorı́a local de Cauchy
95
y por tanto
1
F(z) − F(z 0 )
− f (z 0 ) = z−z
z−z
0
0
≤
sup
w∈sop[z 0 ,z]
[z 0 ,z]
1
f (w) dw −
z − z0
[z 0 ,z]
f (z 0 ) dw | f (w) − f (z 0 )| ,
que tiende a 0 cuando z tiende a z 0 por la continuidad de f en z 0 .
2 Teorema de Cauchy para un triángulo (Cauchy-Goursat). Sea un abierto
no vacı́o de C, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \ { p}).
Para cualquier triángulo cerrado contenido en ,
f (z) dz = 0.
∂
Demostración. Rudin, loc. cit., Teor. 10.13, pp. 232–234.
3 Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de
C, p un punto de , f : → C continua tal que f ∈ H( \ { p}). Para cualquier
camino cerrado γ contenido en ,
f (z) dz = 0.
γ
Demostración. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.14, p. 234.
4 Fórmula de Cauchy en abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de C
y f ∈ H(). Si γ es un camino cerrado contenido en , para cualquier z de que no esté en el soporte de γ es
f (w)
1
dw.
f (z) · Indγ (z) =
2πi γ w − z
Demostración. Adaptar la de Rudin, loc. cit., Teor. 10.15, pp. 234–235.
5 Corolario (Fórmula de Cauchy en un disco). Sea un abierto no vacı́o de C,
D(a; r ) un disco cerrado contenido en , f una función holomorfa en . Entonces,
para cada z ∈ D(a; r ),
1
f (w)
dw.
f (z) =
2πi ∂ D(a;r ) w − z
Demostración. Puesto que D(a; r ) ⊆ , la distancia d(a, c ) de a al complementario de es estrictamente mayor que r . Si r < R < d(a, c ), el disco D(a; R)
es un abierto estrellado contenido en , en el que f será holomorfa.
Llamando γ a la circunferencia ∂ D(a; r ), γ es un camino cerrado contenido
en D(a; R) y para cada z ∈ D(a; r ) es Indγ (z) = 1, luego basta aplicar el resultado
anterior para obtener la fórmula del enunciado.
96
6.3
Teorı́a local de Cauchy
CONSECUENCIAS DE LA FÓRMULA DE CAUCHY
1 Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda función holomorfa
abierto no vacı́o de C y f ∈ H(), para
es analı́tica. Precisando más: Si es un n
c
cada a ∈ existe una serie de potencias ∞
n=0 an (z − a) con radio R ≥ d(a, )
(donde d(a, c ) es la distancia de a al complementario de , considerada +∞ si
c = ∅, o sea, si = C) tal que
f (z) =
∞
an (z − a)n
n=0
siempre que |z − a| < d(a, c ).
Informalmente, “la misma serie representa a f hasta la frontera”.
Demostración. Elegido a, sea z tal que |z − a| < d(a, c ). Tomando r de modo
que |z − a| < r < d(a, c ), el disco cerrado D(a; r ) está contenido en , y puesto
que |z − a| < r , la fórmula de Cauchy nos da
1
f (z) =
2πi
∂ D(a;r )
f (w)
dw.
w−z
Pero el teorema de construcción de funciones analı́ticas nos dice que
1
2πi
∂ D(a;r )
∞ f (w)
f (w)
1 dw =
dw (z − a)n
n+1
w−z
2πi n=0 ∂ D(a;r ) (w − a)
con tal que z no esté en la circunferencia |w − a| = r , y ası́
f (z) =
∞
an (z − a)n
n=0
donde
1
an =
2πi
∂ D(a;r )
f (w)
dw.
(w − a)n+1
En principio los an parecen depender de r ; sin embargo no es éste el caso, ya que
f (n) (a)
.
an =
n!
Teorı́a local de Cauchy
97
Ejemplos.
1. La función f definida en = (C \ 2πiZ) ∪ {0} por
z
f (z) = e z − 1 si z ∈ y z = 0
1
si z = 0
es holomorfa en , luego será analı́tica en y en particular existirán coeficientes
Bn (los llamados números de Bernoulli) de modo que
f (z) =
∞
Bn
n=0
n!
zn
al menos siempre que |z| < 2π. De hecho, el radio de convergencia de la serie es
exactamente 2π, ya que si fuese mayor f admitirı́a una extensión continua en 2πi,
lo que es falso.
2. En el ejemplo anterior, la serie de potencias que representa a f en el entorno del
punto a = 0 resulta tener por radio exactamente la distancia d(a, c ). ¿Siempre
vamos a encontrar esta situación? La respuesta, en general, es NO: basta tomar
= C \ (−∞, 0] y f : z ∈ → f (z) = Log z ∈ C; para cualquier a ∈ el desarrollo de f en serie de potencias de z − a tiene radio |a|, mientras que si
e a < 0 es d(a, c ) = |m a| < |a|.
La fórmula de Cauchy permite obtener una representación de las derivadas
de una función holomorfa en términos de la propia función, de la que podremos
extraer consecuencias importantes, que no tienen su correspondiente en la teorı́a
de funciones en R.
2 Fórmula de Cauchy para las derivadas. Sea un abierto no vacı́o de C y
f ∈ H(). Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D(a; r ) ⊆ . Entonces, si |z − a| < r ,
para cada n ∈ N,
n!
f (w)
f (n) (z) =
dw.
2πi ∂ D(a;r ) (w − z)n+1
Demostración. Para cada z ∈ D(a; r ) es
f (w)
1
dw.
f (z) =
2πi ∂ D(a;r ) w − z
Aplicando reiteradamente el teorema de derivación bajo el signo integral se obtiene
la fórmula deseada.
Un corolario es que el tamaño de las derivadas sucesivas en un punto no puede
crecer “descontroladamente”.
98
Teorı́a local de Cauchy
3 Desigualdades de Cauchy. Sea un abierto no vacı́o de C y f ∈ H().
Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D(a; r ) ⊆ . Entonces, poniendo M(r ) =
sup|w−a|=r | f (w)|, para cada n ∈ N se tiene la acotación
| f (n) (a)| ≤
n! M(r )
.
rn
Demostración. Obviamente
n!
n! M(r )
f
(w)
(n)
≤
dw
| f (a)| = 2π r n+1 2πr.
2πi ∂ D(a;r ) (w − a)n+1
4 Teorema de Liouville. Sea f una función entera, es decir, f ∈ H(C). Si f está
acotada, necesariamente es constante.
Demostración. Supongamos que para algún K > 0 es | f (z)| ≤ K cualquiera que
sea z ∈ C. Entonces, dado a ∈ C, para todo R > 0 se tendrá
1
f
(w)
≤ 1 K 2π R = K ,
dw
| f (a)| = 2π R 2
2πi ∂ D(a;R) (w − a)2
R
expresión que tiende a 0 cuando R → +∞. Por tanto f (a) = 0 en todo a ∈ C,
para lo que f debe ser constante.
5 Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio no constante tiene al menos
una raı́z en C.
Demostración. En caso contrario, si P(z) = a0 z n + . . . + an fuese un polinomio
no constante (a0 = 0, n ≥ 1) que no se anulase nunca, la función definida por
f (z) =
1
P(z)
serı́a una función entera no nula. Pero como
lim f (z) = lim
z→∞
z→∞
1
= 0,
z n (a0 + . . .)
se deduce que f debe estar acotada. (En efecto: tomando ε = 1 en la definición
de lı́mite, existirá un R > 0 tal que si |z| > R se tiene | f (z)| < 1; y para
|z| ≤ R, f se mantiene acotada por el teorema de Weierstrass.) Según el teorema
de Liouville, f tiene que ser constante (no nula), e igualmente serı́a constante
1/ f = P, contradiciendo la hipótesis de partida.
Teorı́a local de Cauchy
99
6 Principio del módulo máximo. Sea f una función holomorfa en una región de C. Si su módulo | f | tiene algún máximo local, entonces f es constante.
Demostración. Supongamos que para algún a ∈ sea posible encontrar un R > 0
tal que D(a; R) ⊆ y | f (a)| ≥ | f (z)| para todo z ∈ D(a; R). Esto obliga a que
| f (a)| = | f (z)| para todo z ∈ D(a; R), puesto que si 0 < |z − a| = r < R, como
1
f (a) =
2πi
∂ D(a;r )
1
f (w)
dw =
w−a
2π
2π
f (a + r eit ) dt
0
se deduce que
1
| f (a)| ≤
2π
2π
1
| f (a + r eit )| dt ≤
2π
0
con lo cual
1
2π
2π
2π
| f (a)| dt = | f (a)|,
0
(| f (a)| − | f (a + r eit )|) dt = 0.
0
El integrando es una función continua no negativa, luego | f (a)| = | f (a + r eit )|
para todo t ∈ [0, 2π] y en particular | f (a)| = | f (z)|.
Pero si | f | es constante en D(a; R), f tiene que ser constante en D(a; R)
(consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann) y finalmente f es constante
en (por el principio de prolongación analı́tica).
Hay otras lecturas equivalentes de este enunciado:
— o bien f es constante o, en caso contrario, su módulo | f | no tiene máximos
locales;
— si f no es constante, su módulo | f | no tiene máximos locales.
7 Teorema de Morera. Sea f una función continua en un abierto no vacı́o de
C tal que para todo triángulo cerrado ⊆ se tenga
∂
Entonces f ∈ H().
f = 0.
100
Teorı́a local de Cauchy
Demostración. Hemos de probar que cada a ∈ posee un entorno en el que f es
derivable. Para verlo, consideremos cualquier disco D(a; r ) ⊆ ; en él, f admite
una primitiva F que podemos construir poniendo
F(z) =
f (w) dw,
z ∈ D(a; r ).
[a,z]
(La comprobacion de que F es una primitiva de f es estándar: usando la hipótesis
del enunciado, para cada z 0 ∈ D(a; r ) tenemos
1
F(z) − F(z 0 )
=
f (w) dw,
0 < |z − z 0 | < r − |z 0 − a|,
z − z0
z − z 0 [z0 ,z]
lo que implica que por ser f continua
1
F(z) − F(z 0 )
f
(w)
−
f
(z
−
f
(z
)
=
)
dw
0 0
z − z0
z − z 0 [z0 ,z]
≤ max | f (w) − f (z 0 )|
w∈[z 0 ,z]
tiende a 0 cuando z → z 0 .)
Pero si F ∈ H(D(a; r )), es analı́tica y en particular su derivada f es a su vez
derivable en D(a; r ).
El teorema de Morera da una especie de recı́proco del teorema de CauchyGoursat.
8 Corolario. Sea un abierto no vacı́o de C, p ∈ , f : → C continua en y holomorfa en \ { p}. Entonces f es holomorfa en .
Demostración. Del teorema de Cauchy-Goursat se deduce que
f =0
∂
para todo triángulo ⊆ , y el teorema de Morera asegura entonces que f es
holomorfa.
Podemos incluso rebajar exigencias:
9 Corolario. Sea un abierto no vacı́o de C, p ∈ , f una función holomorfa
en \ { p} y acotada para algún r > 0 en el disco reducido D∗ ( p; r ) = {z ∈ C :
0 < |z − p| < r }. Entonces f admite una extensión holomorfa en .
Demostración. La función h definida en por
(z − p)2 f (z) si z ∈ \ { p}
h(z) =
0
si z = p
Teorı́a local de Cauchy
101
es holomorfa en y h ( p) = 0 por la hipótesis de acotación de f , con lo cual
podremos escribir
∞
cn (z − p)n ,
h(z) =
z ∈ D( p; r ),
n=2
y ası́
f (z) =
∞
cn+2 (z − p)n ,
z ∈ D∗ ( p; r ),
n=0
de manera que basta extender f a p definiendo f ( p) = c2 .
6.4
AVANCE: El teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales.
Como aperitivo de procedimientos que posteriormente desarrollaremos de manera
más completa y sistemática, veamos cómo el uso de la integración compleja permite
el cálculo de ciertas integrales reales que, de otro modo, resulta difı́cil de calcular.
Nos proponemos demostrar la tan repetida igualdad
+∞
sen x
π
dx = ,
x
2
0
teniendo en cuenta que la integral debe ser entendida como integral impropia, es
decir,
R
+∞
sen x
sen x
dx =
lim
d x.
r →0+ , R→+∞ r
x
x
0
iR
-R
-r
r
R
Comencemos por considerar la función f ∈ H(), donde
= C \ {i y : y ∈ (−∞, 0]}
y
ei z
f (z) =
,
z
z ∈ .
102
Teorı́a local de Cauchy
Sea γ (r, R) el camino cerrado de la figura, obtenido uniendo el segmento
[r, R], la semicircunferencia γ R : t ∈ [0, π ] → γ R (t) = R eit ∈ C, el segmento
[−R, −r ] y la semicircunferencia opuesta de γr : t ∈ [0, π ] → γr (t) = r eit ∈ C.
Puesto que es un abierto estrellado y sop γ (r, R) ⊆ , teniendo en cuenta el
teorema de Cauchy podemos escribir
f (z) dz
0=
γ (r,R)
f (z) dz +
f (z) dz +
f (z) dz −
f (z) dz
=
=
[r,R]
R ix
e
dx +
x
r
=
r
R
γR
γR
γR
γr
e
dx −
f (z) dz
−R x
γr
f (z) dz −
f (z) dz;
f (z) dz +
ei x − e−i x
dx +
x
[−R,−r ]
−r i x
γr
equivalentemente,
r
R
ei x − e−i x
dx =
x
γr
f (z) dz −
γR
f (z) dz.
(∗ )
Ahora bien:
γr
f (z) dz =
0
π
it
ei r e
r i eit dt = i
it
re
π
ei r (cos t+i sen t) dt,
0
y para cada t ∈ [0, π ] la función del integrando tiene lı́mite (cuando r → 0+ ) igual
a e0 = 1. Además, la acotación
i r (cos t+i sen t e
= e−r sen t ≤ e0 = 1,
t ∈ [0, π ],
muestra que el integrando está dominado por una función (constante) integrable
en [0, π] que no depende de r , luego aplicando el teorema de la convergencia
dominada se obtiene
π
lim+
f (z) dz = i
dt = i π.
r →0
Análogamente
γr
γR
0
f (z) dz = i
0
π
ei R (cos t+i sen t) dt,
Teorı́a local de Cauchy
103
pero ahora, para t ∈ (0, π ), es
lim ei R (cos t+i sen t = lim e−R sen t = 0,
R→+∞
R→+∞
−R sen t = e−R sen t < e0 = 1,
e
y por la misma razón de antes
lim
R→+∞ 0
π
e−R sen t dt = 0.
(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan,
se
πprueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotación
π
2t
(1 − e R ), deducida de la desigualdad sen t ≥
para
e−R sen t dt ≤
R
π
0
π
0 ≤ t ≤ .)
2
Como consecuencia,
lim
f (z) dz = 0,
R→+∞ γ
R
y llevando los resultados obtenidos a la igualdad (∗ ) y pasando al lı́mite para
r → 0+ , R → +∞, queda
+∞
2i
0
luego
0
sen x
d x = i π + 0,
x
+∞
π
sen x
dx = .
x
2