Flujo por la curvatura media en variedades con densidad

Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Flujo por la curvatura media en variedades con densidad
Franscisco Viñado-Lereu
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a
Universidad de Valencia
Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO)
Flujo por la curvatura media en variedades con densidad.
Referencias
Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Contenido
1 Geometrı́a con densidad
Conceptos elementales
Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme
Curvatura media
Otros conceptos geométricos en densidad
2 Flujos geométricos
Nociones básicas
Pasos a seguir en su estudio
3 Flujo por la curvatura media en densidad
El flujo
Caso antigaussiano en el plano
Caso gaussiano en el plano
4 Referencias
Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO)
Flujo por la curvatura media en variedades con densidad.
Referencias
Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Referencias
Conceptos elementales
Conceptos elementales
Definición
Llamaremos n-variedad riemanniana con densidad a la terna (M n , g, eψ ),
donde:
(M n , g) es una n-variedad riemanniana,
ψ ∈ C ∞ (M n ).
Dado Ω ⊂ M n subonjunto suficientemente regular, tendremos dos
conceptos de volumen para el mismo:
R
R
V (Ω) := Ω dvg , Vψ (Ω) := Ω eψ dvg .
Ası́ como dos conceptos de área para su borde ∂Ω (supuesto integrable):
R
R
A(∂Ω) := ∂Ω dag , Aψ (∂Ω) := ∂Ω eψ dag ,
donde dag = ιN dvg , daψ ≡ eψ dag = eψ ιN dvg = ιN eψ dvg ≡ ιN dψ v.
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Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Referencias
Conceptos elementales
Conceptos elementales
Definición
Llamaremos n-variedad riemanniana con densidad a la terna (M n , g, eψ ),
donde:
(M n , g) es una n-variedad riemanniana,
ψ ∈ C ∞ (M n ).
Dado Ω ⊂ M n subonjunto suficientemente regular, tendremos dos
conceptos de volumen para el mismo:
R
R
V (Ω) := Ω dvg , Vψ (Ω) := Ω eψ dvg .
Ası́ como dos conceptos de área para su borde ∂Ω (supuesto integrable):
R
R
A(∂Ω) := ∂Ω dag , Aψ (∂Ω) := ∂Ω eψ dag ,
donde dag = ιN dvg , daψ ≡ eψ dag = eψ ιN dvg = ιN eψ dvg ≡ ιN dψ v.
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Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Referencias
Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme
Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme
Definición
Dada (M n , g) una variedad riemanniana, llamaremos variedad riemanniana
conforme (M n , e2ϕ g); donde ϕ ∈ C ∞ (M n ).
Tomando g := e2ϕ g, se tiene:
dvg = e(n+1)ϕ dvg , dag = enϕ dag ,
el elemento de volumen y el elemento de área están multiplicados por
un factor distinto, lo cual no ocurre en la geometrı́a con densidad:
dvψ = eψ dvg , daψ = eψ dag .
Además en la geometrı́a con densidad la métrica no se ve alterada.
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Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Referencias
Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme
Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme
Definición
Dada (M n , g) una variedad riemanniana, llamaremos variedad riemanniana
conforme (M n , e2ϕ g); donde ϕ ∈ C ∞ (M n ).
Tomando g := e2ϕ g, se tiene:
dvg = e(n+1)ϕ dvg , dag = enϕ dag ,
el elemento de volumen y el elemento de área están multiplicados por
un factor distinto, lo cual no ocurre en la geometrı́a con densidad:
dvψ = eψ dvg , daψ = eψ dag .
Además en la geometrı́a con densidad la métrica no se ve alterada.
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Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme
Geometrı́a con densidad vs Geometrı́a conforme
Lema
Sea (M n , g, eψ ) una variedad con densidad, mediante transformaciones
conformes podemos obtener:
2ψ
Sea g 1 := e (n+1) g, entonces Vψ = Vg1 y Aψ 6= Ag1 .
Sea g 2 := e
2ψ
n
g, entonces Vψ 6= Vg2 y Aψ = Ag2 .
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Referencias
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Referencias
Curvatura media
Curvatura media estándar y ψ-curvatura media.
n+1
una inmersión de una hipersuperficie diferenciable
Sea F : M n −→ M
n+1
en M
, consideremos los funcionales de área:
R
Area(F ) := M dag ,
R
Areaψ (F ) := M daψ .
∂F
Tomando variaciones a soporte compacto, X =
, de la inmersión F
∂t
obtenemos:
R
∂
Area(Ft ) = − M H < X, N > dag ,
∂t
R
∂
Areaψ (Ft ) = − Hψ < X, N > daψ ,
∂t
donde Hψ = H− < ∇ψ, N >.
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Curvatura media
Curvatura media estándar y ψ-curvatura media.
En decir,
−
→
H := −gradA,
donde el gradiente del funcional se considera respecto de la métrica:
R
n+1
g(X, Y ) := M n g(X, Y )dag , ∀X, Y ∈ X(M
).
Y
−
→
H ψ := −gradψ Aψ ,
donde el gradiente del funcional se considera respecto de la métrica:
R
n+1
g(X, Y ) := M n g(X, Y )daψ , ∀X, Y ∈ X(M
).
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Geometrı́a con densidad
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Flujo por la curvatura media en densidad
Referencias
Otros conceptos geométricos en densidad
Divergencia y laplaciano en la geometrı́a con densidad.
Definición
Sea (M n , g, eψ ) una variedad riemanniana con densidad, llamaremos
divergencia en densidad o ψ-divergencia de X ∈ X(M n ) a:
divψ (X) = div(X)+ < ∇ψ, N >
dicho concepto surge de forma natural desde la igualdad:
divψ (X)dvψ = LX dvψ ,
Este concepto de divergencia coincide con la divergencia riemannaniana de
la métrica conforme:
2ψ
g 1 := e (n+1) g.
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Otros conceptos geométricos en densidad
Divergencia y laplaciano en la geometrı́a con densidad.
Definición
Sea (M n , g, eψ ) una variedad riemanniana con densidad, llamaremos
laplaciano en densidad o ψ-laplaciano de f ∈ C(M n ) a:
∆ψ f := ∆f + < ∇ψ, ∇f >
dicho concepto surge desde la igualdad:
∆ψ f = divψ (∇f ).
Este concepto no coincide con el laplaciano de ninguna de las posibles
métricas conformes de g.
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Referencias
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Referencias
Otros conceptos geométricos en densidad
Divergencia y laplaciano en la geometrı́a con densidad.
Definición
Sea (M n , g, eψ ) una variedad riemanniana con densidad, llamaremos
laplaciano en densidad o ψ-laplaciano de f ∈ C(M n ) a:
∆ψ f := ∆f + < ∇ψ, ∇f >
dicho concepto surge desde la igualdad:
∆ψ f = divψ (∇f ).
Este concepto no coincide con el laplaciano de ninguna de las posibles
métricas conformes de g.
Teorema (de la divergencia)
Sea M n una subvariedad riemanniana compacta orientada en la variedad
n+1
n+1
riemanniana con densidad (M
, g, eψ ). Dado X ∈ X(M
), entonces:
R
R
divψ (X)dvψ = ∂M < X, N >g daψ
M
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Referencias
Otros conceptos geométricos en densidad
Divergencia y laplaciano en la geometrı́a con densidad.
Definición
Sea (M n , g, eψ ) una variedad riemanniana con densidad, llamaremos
laplaciano en densidad o ψ-laplaciano de f ∈ C(M n ) a:
∆ψ f := ∆f + < ∇ψ, ∇f >
dicho concepto surge desde la igualdad:
∆ψ f = divψ (∇f ).
Este concepto no coincide con el laplaciano de ninguna de las posibles
métricas conformes de g.
Teorema (de la divergencia)
Sea M n una subvariedad riemanniana compacta orientada en la variedad
n+1
n+1
riemanniana con densidad (M
, g, eψ ). Dado X ∈ X(M
), entonces:
R
R
divψ (X)dvψ = ∂M < X, N >g daψ
M
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Referencias
Nociones básicas
Noción de flujo geométrico
n+1
Sea F0 : M n → (M
, g) una inmersión diferenciable. El objetivo es
n+1
estudiar familias uniparametricas F : M n × [0, T ] → (M
, g) de
hipersuperficies Mtn := F (·, t)(M n ) satisfaciendo el problema de valor
inicial (PVIf ):
∂F
(p, t) = f N (p, t),
∂t
F (p, 0) = F0 ,
p ∈ M n,
p ∈ M n,
donde N (p, t) es el normal unitario interior de Mtn en F (p, t) y f (p, t) es
una función diferenciable homogéneamente simétrica de las curvaturas
principales de la hipersuperficie Mtn en F (p, t).
Los problemas de valor inicial considerados son sistemas no lineales
parabólicos de segundo orden. Ya que en general la existencia de solución
para tiempos cortos solo puede ser esperada para sistemas parabólicos.
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Referencias
Nociones básicas
Existencia de solución para tiempos cortos
MCF: Flujo por la curvatura media f = H.
GCF: Flujo por la curvatura de Gauss f = G.
IMCF: Flujo por la curvatura media inversa f = 1/H.
Teorema (Hamilton)
Si F0 : M n → (M
n+1
, g) es una hipersuperficie diferenciable cerrada tal que:
−
∂f
(p) > 0, 1 ≤ i ≤ n,
∂λi
en todo punto de F0 (M n ), entonces el PVIf tiene una solución diferenciable
al menos en algún intervalo de tiempo corto [0, ), > 0.
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Referencias
Nociones básicas
Existencia de solución para tiempos cortos
MCF: Flujo por la curvatura media f = H.
GCF: Flujo por la curvatura de Gauss f = G.
IMCF: Flujo por la curvatura media inversa f = 1/H.
Teorema (Hamilton)
Si F0 : M n → (M
n+1
, g) es una hipersuperficie diferenciable cerrada tal que:
−
∂f
(p) > 0, 1 ≤ i ≤ n,
∂λi
en todo punto de F0 (M n ), entonces el PVIf tiene una solución diferenciable
al menos en algún intervalo de tiempo corto [0, ), > 0.
MCF: −(∂f /∂λi ) = 1 ⇒ para cualquier condición inicial.
GCF: −(∂f /∂λi ) = λ−1
i G ⇒ si la condición inicial es convexa.
IMCF: −(∂f /∂λi ) = H −2 ⇒ para cualquier condición inicial (H 6= 0).
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Referencias
Nociones básicas
Existencia de solución para tiempos cortos
MCF: Flujo por la curvatura media f = H.
GCF: Flujo por la curvatura de Gauss f = G.
IMCF: Flujo por la curvatura media inversa f = 1/H.
Teorema (Hamilton)
Si F0 : M n → (M
n+1
, g) es una hipersuperficie diferenciable cerrada tal que:
−
∂f
(p) > 0, 1 ≤ i ≤ n,
∂λi
en todo punto de F0 (M n ), entonces el PVIf tiene una solución diferenciable
al menos en algún intervalo de tiempo corto [0, ), > 0.
MCF: −(∂f /∂λi ) = 1 ⇒ para cualquier condición inicial.
GCF: −(∂f /∂λi ) = λ−1
i G ⇒ si la condición inicial es convexa.
IMCF: −(∂f /∂λi ) = H −2 ⇒ para cualquier condición inicial (H 6= 0).
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Referencias
Nociones básicas
Evolución de los diversos objetos geométricos
Teorema
Dada una solución Mtn = F (·, t)(M n ) del PVIf se cumplen las siguientes
ecuaciones de evolución:
∂
g = −2f α,
∂t
∂
(dag ) = −f H(dag ),
∂t
∂
N = −∇f ,
∂t
∂
α = ∇2 f − f α(A(·), ·) − R(N, ·, N, ·) ,
∂t
∂
H = ∆f + f |A|2 + Ric(N, N ) .
∂t
Donde α es la segunda forma fundamental vectorial, A es la aplicación de
Weingarten y ∆ es el operador de Laplace-Beltrami con respecto a la
métrica dependiente del tiempo inducida en la hipersuperficie.
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Flujos geométricos
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Referencias
Pasos a seguir en su estudio
Estudio de un flujo geométrico
Existencia de solución para tiempos cortos.
Unicidad de la solución.
Preservación de la propiedad de ser embebida a lo largo de la evolución.
Verificación del principio de inclusión.
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Referencias
Pasos a seguir en su estudio
Estudio de un flujo geométrico
Existencia de solución para tiempos cortos.
Unicidad de la solución.
Preservación de la propiedad de ser embebida a lo largo de la evolución.
Verificación del principio de inclusión.
Determinación del intervalo máximal de existencia:
Tmax = ∞,
Convergencia a una hipersuperficie lı́mite.
Tmax < ∞ ⇒ aparición de algún tipo de singularidad.
Clasificación de los posibles tipos de singularidades que pueden darse en
la evolución del flujo.
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Referencias
Pasos a seguir en su estudio
Estudio de un flujo geométrico
Existencia de solución para tiempos cortos.
Unicidad de la solución.
Preservación de la propiedad de ser embebida a lo largo de la evolución.
Verificación del principio de inclusión.
Determinación del intervalo máximal de existencia:
Tmax = ∞,
Convergencia a una hipersuperficie lı́mite.
Tmax < ∞ ⇒ aparición de algún tipo de singularidad.
Clasificación de los posibles tipos de singularidades que pueden darse en
la evolución del flujo.
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Referencias
El flujo
Flujo por la curvatura media en densidad
n+1
Sea F0 : M n → (M
, g, eψ ) una inmersión diferenciable de una variedad
diferenciable n-dimensional M n en la variedad riemanniana con densidad
n+1
(M
, g, eψ ). El flujo por la curvatura media en densidad de F0 es una
n+1
familia de inmersiones diferenciables Ft : M n → M
para t ∈ [0, T ) tal
que tomando F (p, t) ≡ Ft (p), la aplicación:
F : M n × [0, T ) → M
n+1
,
es una solución diferenciable del siguiente sistema de PDE’s:
∂
F (p, t) = Hψ (p, t)N (p, t) = −gradψ Aψ ,
∂t
F (p, 0) = F0 (p),
donde Hψ (p, t) y N (p, t) son respectivamente la ψ-curvatura media escalar
y el normal unitario interior de la hipersuperficie Ft en el punto p ∈ M n .
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Flujos geométricos
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Referencias
El flujo
Principales propiedades
Existencia y unicidad de solución para tiempos cortos para cualquier
condición inicial (sistema de ecuaciones parabólicas cuasilineal).
Preservación de la propiedad ser embebida a lo largo del flujo.
Principio de inclusión.
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Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Caso antigaussiano en el plano
Caso antigaussiano en el plano
1
2 2
Variedad ambiente (R2 , gEucl , e 2 µ
1
r
).
2
Valor inicial γ0 : S → R curva embebida.
ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R:
1
+ µ2 R > 0, ∀ R > 0
Hψ =
R
⇒ Tmax < ∞ para cualquier curva embebida.
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Referencias
Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Referencias
Caso antigaussiano en el plano
Caso antigaussiano en el plano
1
2 2
Variedad ambiente (R2 , gEucl , e 2 µ
1
r
).
2
Valor inicial γ0 : S → R curva embebida.
ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R:
1
+ µ2 R > 0, ∀ R > 0
Hψ =
R
⇒ Tmax < ∞ para cualquier curva embebida.
Toda curva colapsa a un punto.
Toda curva colapsa a un punto redondo (equivalencia con el flujo
estándar).
Toda curva acaba siendo convexa antes del colapso (equivalencia con el
flujo estándar).
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Referencias
Caso antigaussiano en el plano
Caso antigaussiano en el plano
1
2 2
Variedad ambiente (R2 , gEucl , e 2 µ
1
r
).
2
Valor inicial γ0 : S → R curva embebida.
ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R:
1
+ µ2 R > 0, ∀ R > 0
Hψ =
R
⇒ Tmax < ∞ para cualquier curva embebida.
Toda curva colapsa a un punto.
Toda curva colapsa a un punto redondo (equivalencia con el flujo
estándar).
Toda curva acaba siendo convexa antes del colapso (equivalencia con el
flujo estándar).
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Referencias
Caso gaussiano en el plano
Caso gaussiano en el plano
1
2 2
Variedad ambiente (R2 , gEucl , e− 2 µ
1
r
).
2
Valor inicial γ0 : S → R curva embebida.
ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R:
µ2 1
Hψ =
− R2 ),
(
R µ2
luego:
Hψ > 0, ∀ R <
Hψ < 0, ∀ R >
Hψ = 0, R =
1
µ
1
µ
1
µ
⇒ contraen al origen de coordenadas (Tmax < ∞).
⇒ expanden hacia el infinito (Tmax = ∞).
⇒ se mantiene invariante por el flujo (Tmax = ∞).
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Flujos geométricos
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Caso gaussiano en el plano
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1
2 2
Variedad ambiente (R2 , gEucl , e− 2 µ
1
r
).
2
Valor inicial γ0 : S → R curva embebida.
ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R:
µ2 1
Hψ =
− R2 ),
(
R µ2
luego:
Hψ > 0, ∀ R <
Hψ < 0, ∀ R >
Hψ = 0, R =
1
µ
1
µ
1
µ
⇒ contraen al origen de coordenadas (Tmax < ∞).
⇒ expanden hacia el infinito (Tmax = ∞).
⇒ se mantiene invariante por el flujo (Tmax = ∞).
Las soluciones existen para todo tiempo o colapsan a un punto en
tiempo finito (Teorı́a de EDP’s en 2-variedades, Angenent).
Toda curva que colapsa lo hace a un punto redondo y se hace convexa
antes de que se produzca (equivalencia con el flujo estándar).
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Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
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Caso gaussiano en el plano
Caso gaussiano en el plano
1
2 2
Variedad ambiente (R2 , gEucl , e− 2 µ
1
r
).
2
Valor inicial γ0 : S → R curva embebida.
ψ-curvatura de las esferas centradas en el origen de radio R:
µ2 1
Hψ =
− R2 ),
(
R µ2
luego:
Hψ > 0, ∀ R <
Hψ < 0, ∀ R >
Hψ = 0, R =
1
µ
1
µ
1
µ
⇒ contraen al origen de coordenadas (Tmax < ∞).
⇒ expanden hacia el infinito (Tmax = ∞).
⇒ se mantiene invariante por el flujo (Tmax = ∞).
Las soluciones existen para todo tiempo o colapsan a un punto en
tiempo finito (Teorı́a de EDP’s en 2-variedades, Angenent).
Toda curva que colapsa lo hace a un punto redondo y se hace convexa
antes de que se produzca (equivalencia con el flujo estándar).
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Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Referencias
Caso gaussiano en el plano
Caso gaussiano en el plano
Sea Ωt la región acotada por γt (S1 ), entonces:
dAg
(Ωt ) = −2π + 2µ2 Ag (Ωt ),
dt
de modo que:
π
⇒ la curva colapsa a un punto en tiempo finito.
µ2
π
Si Ag (Ω0 ) > 2 ⇒ la curva expande para todo tiempo de forma
µ
acelerada.
π
Si Ag (Ω0 ) = 2 ⇒ el área se mantiene constante, la curva existe para
µ
todo tiempo.
Si Ag (Ω0 ) <
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Flujo por la curvatura media en variedades con densidad.
Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Referencias
A. Borisenko, V. Miquel
Gaussian Mean curvature flow
Journal of Evolution Equations, 2010
K.S. Chou and X.P. Zhu
The curve shortening problem
Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001
G. Huisken, A. Polden
Geometric evolution equations for hypersurfaces.
C. Mantegazza
Lecture Notes on Mean Curvature Flow
Birkhäuser, Progress in Mathematics, Volume 290, 2011
F. Morgan
Manifolds with density
Notices Am. Math. Soc. 52, (2005), 853858.
Francisco Viñado-Lereu (Ayudas FPI 2011, subprograma MINECO)
Flujo por la curvatura media en variedades con densidad.
Referencias
Geometrı́a con densidad
Flujos geométricos
Flujo por la curvatura media en densidad
Gracias por su atención.
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Flujo por la curvatura media en variedades con densidad.
Referencias