Sea X una va con distribución exponencial de parámetro θ. Calcular

Sea X una v.a. con distribución exponencial de parámetro θ. Calcular la función de distribución,
la de densidad y la función cuantı́lica de la v.a. Y = θX 1/3 .
Solución: La función de densidad de X es fθ (x) = θe−θx , si x > 0. Por tanto, la función de
distribución de X es
Z x
f (t)dt = 1 − e−θx .
F (x) = P{X ≤ x} =
0
Función de distribución de Y :
y 3
Gθ (y) = P{Y ≤ y} = P θX 1/3 ≤ y = P{X ≤
}=F
θ
y 3
3 2
= 1 − e−y /θ
θ
Función de densidad de Y :
3 2 −y3 /θ2
y e
θ2
Función cuantı́lica de Y : Por definición de función cuantı́lica, G−1
θ (p) = ı́nf{y : Gθ (y) ≥ p}. Como
la distribución de Y es absolutamente continua y la función de distribución Gθ es estrictamente
−1
creciente, en realidad G−1
θ es simplemente la inversa de la función de distribución, es decir, Gθ (p)
es el punto y tal que Gθ (y) = p. Por tanto,
gθ (y) = G0θ (y) =
−y
G−1
θ (p) = y ⇔ p = Gθ (y) = 1 − e
3 /θ 2
Despejando y, obtenemos
2
1/3
y = G−1
.
θ (p) = (−θ log(1 − p))
.