Examen Final MATE1207 Cálculo Vectorial 1 Solución y Pautas de

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Examen Final MATE1207 Cálculo Vectorial 1
AD
OR
Instrucciones:
Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. En caso
de necesitar más espacio puede continuar al final del cuadernillo. Durante el
examen no puede usar calculadora, celular, apuntes, cuadernos o textos.
Escriba todo su análisis si desea recibir el máximo puntaje. Buena suerte.
Tiempo: 120 minutos.
Points
1
10
2
5
3
10
4
10
5
10
6
5
Total:
50
Score
RR
Question
Solución y Pautas de corrección
1. La manera para obtener las soluciones correctas a los problemas propuestos no es única.
Aquı́ se muestra una manera.
BO
2. Las pautas de corrección están basadas en la forma mostrada de obtener los resultados. Si
un estudiante tiene su análisis correcto y obtiene el mismo resultado el profesor evaluador
establecerá los criterios previamente, los cuales mostrará al estudiante el dı́a de revisión
del examen final.
3. En las pautas de corrección solo se indica en el caso que esté correcto. El profesor
evaluador decidirá los créditos parciales por errores aritméticos o algebraicos.
Bogotá, Mayo 24, 2011
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
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1. Sea C la elipse definida por la intersección del cilindro x2 +y 2 = 1 y el plano x+2y +3z = 4.
(a) (6 points) Hallar los puntos de la elipse que están más alejados del plano xy.
AD
OR
(b) (4 points) Determinar la distancia entre esos puntos y el plano xy. Recuerde que
determinar la distancia de un punto al plano xy es lo mismo que determinar la altura
del punto.
Solution: Usaremos el método de multiplicadores de Lagrange.
f (x, y, z) = z
Función objetivo (a optimizar)
2
g1 (x, y, z) = x + y 2 − 1 = 0 Una restricción
g2 (x, y, z) = x + 2y + 3z − 4 = 0 Otra restricción

0 = 2λ1 x + λ2





0 = 2λ1 y + 2λ2
∇f = λ1 ∇g1 + λ2 ∇g2 ⇒ 1 = 3λ2



x2 + y 2 − 1 = 0



x + 2y + 3z − 4 = 0
(2)
RR
R/:
√

1
5


λ2 = , λ1 =



3
6

1
x = ±√

5


2


y = ± √
5
(1)
BO
!
!
√
√
1
2 4 5+5
1 2 4 5−5
√
√
; P2 − √ , − √ ,
(a) P1 √ , √ ,
5 5 3 5
5
5 3 5
√
4 5−5
√ . La distancia entre P2 y el plano
(b) La distancia entre P1 y el plano xy es:
3
5
√
4 5+5
√ .
xy es:
3 5
Pautas de corrección
1. Planteamiento (ecuaciones (1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pts.X
2. Soluciones (ecuaciones (2)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts.X
3. Resultados del ı́tem (b) (ambos puntos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pts.X
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2. (5 points) Evaluar la integral doble cambiando el orden de integración.
Z
Solution:
Z
1
0
Z
1
√
3
y
Pautas de corrección
Z
1
√
3
1
dxdy
1 + x4
y
AD
OR
0
1
1
dxdy =
1 + x4
Z
0
1
Z
x3
0
1
1
dydx
=
ln(2)
1 + x4
4
1. Cambio del orden de integración (los cuatro lı́mites correctos) . . . . . . . . . . . 3 pts.X
2. Solución de la integral doble planteada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts. X
3. (10 points) Evaluar
Z
2xyzdx + x2 zdy + x2 ydz
C
donde C es el pedazo de hélice x = cos t, y = sin t, z = 2πt, 0 ≤ t ≤ 2π.
C
RR
Solution: Denotemos el punto inicial y final por A(1, 0, 0) y B(1, 0, 4π 2) respectivamente. El campo F~ (x, y, z) = [2xyz, x2 z, x2 y] es un campo vectorial conservativo, porque
es irrotacional, ∇ × F~ , y su dominio es todo el espacio R3 . Su potencial escalar es
f (x, y, z) = x2 yz + C.
Z
2xyzdx + x2 zdy + x2 ydz = f (B) − f (A) = x2 yz|B
A = 0−0 = 0
Pautas de corrección
BO
1. Justifica que F~ es conservativo, por cualquier método . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 pts.X
2. Encuentra la función potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pts. X
3. Evalúa correctamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts. X
4. (10 points) Sea F~ el campo vectorial
F~ (x, y, z) = y~i − x~j + z~k
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AD
OR
y C la curva definida por la intersección de las superficies,
(
Σ1 : x2 + y 2 + z 2 = 2, (esfera)
C = Σ1 ∩ Σ2 ;
Σ2 : x2 + y 2 = z 2 , (z ≥ 0), (medio cono)
(Orientación de C contraria a las manecillas del reloj vista desde arriba).
Hallar,
I
F~ · d~r
C
Solution: La intersección de la esfera y el medio cono es la circunferencia x2 + y 2 = 1
ubicada sobre el plano z = 1. Como el campo F~ y la curva C satisfacen las hipótesis
del teorema de Stokes lo usaremos de la siguiente manera:
1. F~ = [0, 0, −2]
2. La superficie Σ que tomaremos es el disco x2 + y 2 ≤ 1 ubicado en el plano z = 1
porque tiene el mismo borde (frontera) la curva C y es más rápido integrar.
3. La normal unitaria compatible con la orientación de C es: n̂ = [0, 0, 1].
C
F~ · d~r =
ZZ
Σ
∇ × F~ · n̂dS = −2
ZZ
Σ
dS = −2(Area de (Σ)) = −2π
(3)
RR
I
Pautas de corrección
1. Encuentra bien el rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts. X
2. Escoge bien la superficie Σ acorde con la curva y su orientación . . . . . . . 2 pts. X
3. Escoge bien el vector normal n̂ de la superficie escogida Σ . . . . . . . . . . . . . 2 pts. X
4. Aplica correctamente el teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts. X
BO
5. Calcula bien la integral de superficie, (en el caso del disco si identifica que es su
área no es necesario exigir el cálculo de la integral de superficie, solo comprobar
que su resultado es correcto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts. X
5. Sea Σ la superficie parametrizada
~r(u, v) = [v cos u, v sin u, v],
(u, v) ∈ [0, 2π) × (0, 4)
(a) (5 points) Hallar la ecuación del plano tangente a Σ en el punto P (1, 0, 1).
Problema 5 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 5 cont.. . .
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(b) (5 points) Hallar el área de la superficie Σ.
Solution:
AD
OR
1. Las coordenadas (u, v) correspondientes al punto P (1, 0, 1) son (0, 1), es decir
P = ~r(0, 1).
2. Un vector normal en el punto P es ~n(P ) = [1, 0, −1].
3. La ecuación del plano tangente a la superficie dada en P es
x−z = 0
(4)
4. Sea D el rectángulo en el plano uv, D = (0, 2π) × (0, 4).
5. El área de la superficie A(Σ) es:
ZZ
ZZ
√ Z
A(Σ) =
dS =
k~ru × ~rv kdvdu = 2
0
S
Pautas de corrección
D
2π
Z
4
0
√
v dvdu = 16 2π
(5)
1. Identifica las coordenadas (u, v) del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt. X
2. Vector normal en P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts. X
RR
3. Ecuación del plano tangente (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pts.
√
4. Vector normal general a la superficie y k~ru × ~rv k = 2v . . . . . . . . . . . . . . . 3 pts. X
5. Evaluación de la integral doble hasta obtener el resultado correcto (5) . . . . 2 pts.
6. (5 points) Calcular el flujo del campo vectorial
F~ (x, y, z) = x~i − y~j + z~k
BO
a través de la superficie S cerrada y acotada por las superficies del paraboloide z = 4−x2 −y 2
y del disco en el plano xy (z = 0): x2 + y 2 ≤ 4. (Orientación de S hacia afuera).
Solution: Lo resolveremos usando el teorema de Gauss dado que el campo F~ y la
superficie S satisfacen las hipótesis del teorema.
1. La superficie S encierra un sólido E.
2. La divergencia ∇ · F~ = 1
Problema 6 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 6 cont.. . .
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3.
F~ · n̂dS
ZSZ Z
AD
OR
Flujo a través de S =
ZZ
=
∇ · F~ dV
E
= Volumen (E)
Z 2π Z 2 Z 4−r2
=
r dzdrdθ = 8π
0
Pautas de corrección
0
0
1. Cálculo de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt.X
2. Plantea la integral de volumen correctamente con sus 6 lı́mites en cualquier tipo
de coordenadas, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pts. X
BO
RR
3. Resuelve la integral de volumen planteada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pt. X