Solución de los ejercicios del tema 13

TEMA 13. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
DE UN ESTADÍSTICO
SOLUCIONES DE EJERCICIOS DEL TEMA XIII
EJERCICIO 1
En la población:
X = { 0, 1, 2 }
Se extraen muestras de 2 elementos.
a) Determine los elementos de las posibles muestras (con y sin reposición):
Posibles muestras (con reposición):
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M9
(0, 0)
(0, 1)
(0, 2)
(1, 0)
(1, 1)
(1, 2)
(2, 0)
(2, 1)
(2, 2)
M5
M6
M7
M8
M9
(1, 2)
(2, 0)
(2, 1)
Posibles muestras (sin reposición):
M1
M2
M3
M4
(0, 1)
(0, 2)
(1, 0)
b) Obtenga los estadísticos descriptivos (medias y varianzas) para cada muestra
Medias:
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M9
0
0,5
1
0,5
1
1,5
1
1,5
2
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M9
0
0,25
1
0,25
0
0,25
1
0,25
0
Varianzas:
c) Obtenga los parámetros (media y varianza) poblacionales.
Media =  = (0 + 1 + 2) / 3 = 1
Varianza = 2 = [(0 + 1 + 2 ) / 3] - 1 = 0,67
2
2
2
2
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TEMA 13. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
DE UN ESTADÍSTICO
d) Distribución muestral de la media de X:
Xi
0
0,5
1
1,5
2
f( X )
1/9
2/9
3/9
2/9
1/9
- Parámetros de la distribución muestral de X i :
Media:
E ( X )   X i  f ( X i )  (0)(1/ 9)  ...  (2)(1/ 9)  1
=
2

Varianza:  2 ( X )    X i  f ( X i )   E ( X ) 2  (02 )(1/ 9)  ...  (22 )(1/ 9)   (1) 2  0,33 


N
2
- ¿Cuál es la probabilidad de que la media tome su valor verdadero?
P( X  1)  3 / 9  0,33
- ¿Cuál es la probabilidad de que la media sea mayor de 1?
P ( X  1)  1  F (1)  1- 6 / 9  3 / 9  0,33
- Representación gráfica
.40
f (x)
.30
.20
.10
0.00
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
X
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TEMA 13. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
DE UN ESTADÍSTICO
EJERCICIO 2
X  N (  ;  / N )  N (1,69; 0,0225)
Y  N (  ;  / N )  N (68, 2; 0,45)
a). P(1,66  X  1,70) = P( X  1,70) – P( X  1,66).
1, 7 0  1, 6 9
X1  
Tipificando: z 1 

 0, 4 4
0, 02 2 5
 / N
z2 

1, 66  1, 69

  1, 33
0, 0225
 / N
X
2
0 ,6 7 0 0
N (0 ; 1 )
0 ,0 9 1 8
-1 ,3 3
0 ,4 4
zi
P(1,65  X  1,70) = P(-1,33 z  0,44) = F(0,44) - F(-1,33) = 0,6700 – 0,0918 = 0,5782.
b). P( X 1,72) = P(z 
P( Y 67) = P(z 
1, 72  1, 69
) = P (z 3) = 0,0918
0 , 0225
67  68 , 2
) = P(z 2,67) = 0,9962
0 , 45
Se pide P( X  Y ). Como X e Y son independientes, X e Y también lo son. Por tanto:
P( X  Y ) = 0,0918 · 0, 9962 = 0,0914
c). Sabemos que P(z1 z  z2) = 0,50:
Según las tablas de la normal:
z -0,67 y
0,25 1=
Sustituyendo en la fórmula: z 
z = 0,67
0,75 1
X  
:
 / N
X 1  68, 2 ;
X 1 = 67,90
 0, 67 
0, 45
0, 6 7 
X
2
 6 8, 2 ; X = 68,50
2
0, 4 5
0,75
N (0; 1)
0,25
z1
0,50
z2
Z
Por tanto, el 50% central de los sujetos tienen una media en peso entre 67,9 y 68,5 kg.
d). Sabemos que P( X 1,71) = 0,67.
Por tanto: P(z  zi) = 0,67. Donde, zi = 0,44
1, 7 1  1, 6 9
. Despejando, N = 3,92.
0, 0 9 / N
Por tanto, para que la probabilidad de que la media en estatura sea mayor que 1,71 sea 0,67 el tamaño
de la muestra ha de ser de 4 sujetos.
Si X  N (1, 69; 0,09) , para que z sea 0,44: 0, 4 4 
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