Teorema: Sea f(z) una función continua en un dominio D. Las

Teorema: Sea f(z) una función continua en un
dominio D. Las siguientes proposiciones son
equivalentes:
i) f(z) tiene una primitiva F(z) en D
ii) las integrales de f(z) sobre contornos
contenidos en D, con punto inicial z1 y punto
final z2 , tienen todas el mismo valor
iii) Las integrales de f(z) sobre contornos
cerrados contenidos en D tiene valor cero
Integración (Teorema de Cauchy)
Teorema de Cauchy
Este teorema establece que si f(z) es una función
analítica y su derivada f '(z) es continua en cada
punto dentro y sobre el contorno cerrado simple
C, entonces
Teorema de Stokes (Teorema de Green en 2D)
●
Teorema de Green (recordatorio).
Supongamos que tenemos un vector
bidimensional V con componentes V1(x,y) y
V2(x,y) continuas y con derivadas parciales
también continuas en un dominio simplemente
conexo.
Entonces la integral de línea de V sobre un
contorno cerrado C satisface:
donde R es el área formada por el interior de C
Integración (Teorema de Cauchy)
Teorema de Cauchy-Goursat
La condición sobre la continuidad f '(z) puede
omitirse como lo demostró Goursat:
●
Si f es función analítica en un dominio
simplemente conexo D y C cualquier contorno
cerrado en D, entonces
●
●
Dominios simplemente conexos
Dominio no simplemente conexo o
multiplemente conexo:
Integración (Teorema de Cauchy)
●
●
Notemos que se ha quitado también la
condición de que el contorno C sea
simplemente cerrado.
N: Número (finito) de contornos cerrados
el dominio D
D
en
Integración (Teorema de Cauchy)
●
Corolario:
Toda función analítica en un dominio
simplemente conexo tiene una primitiva, con
integrales de contorno independientes del
camino e integrales sobre contornos cerrados
iguales a cero.
Integración (Teorema de Cauchy)
●
Teorema (extensión a dominios multiplemente
conexos).
Supongamos que C es un camino cerrado
simple con orientación positiva y Ck (k=1,2,...n)
caminos cerrados simples dentro de C y
orientados positivamente y disjuntos. Entonces
C
C2
C1
Integración (Teorema de Cauchy)
●
Corolario
Sea C1 y C2 caminos cerrados simples
orientados positivamente, donde C2 es interior
a C1 . Si f es analítica en la región encerrada
por los dos contornos, entonces
C
1
C2
A este corolario se le conoce también como
principio de deformación
Integración (Teorema de Cauchy)
●
Teorema de Morera (recíproco del T. de
Cauchy-Goursat)
Sea f continua en un dominio D. Si
para todo camino cerrado C contenido en D,
entonces f es analítica.
Fórmula integral de Cauchy
●
Fórmula integral de Cauchy.
Sea f una función analítica en un dominio
simplemente conexo D y en el contorno
cerrado simple C, que contiene a D.
Entonces, si z0 es un punto dentro de C, se
tiene que
Fórmula integral de Cauchy
●
Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno
puede conocer el valor de f dentro del entorno,
conociendo únicamente los valores que toma f
en el contorno C !