Representaciones irreducibles

Representaciones irreducibles y carácter de una representación:
Gran teorema de la ortogonalidad (GTO):
Sean µ y ν dos representaciones irreducibles de dimensiones nµ ,nν :
∑ Dikµ ( R) Dνjl ( R)* = ( g n µ ) δ µν δ ijδ kl
R
donde
Dikµ (R )
corresponde al elemento i,k de la matriz asociada a la
operación de simetría R de la representación irreducible µ y g es el
orden del grupo correspondiente.
Carácter de una representación:
La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz recibe
el nombre de carácter (o traza) de la matriz.
El conjunto de caracteres de las matrices de una representación
matricial es el carácter de la representación.
Se usa {χA(R)}. para representar el carácter de una representación A (ya
sea reducible o irreducible).
Podemos entenderlo como un vector de dimensión igual al numero de
operaciones de simetría del grupo (orden del grupo).
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Si en vez de trabajar con las representaciones matriciales irreducibles
tal cual, lo hacemos con los caracteres de la representación, el GTO nos
dice que:
nµ
µ
ii
nν
ν
jj
n µ nν
∑ ∑ D ( R ) ∑ D ( R ) = ( g n µ ) δ µν ∑ ∑ δ ijδ ij ⇒
R
i
*
j
µ
i
ν
j
nµ
⇒ ∑ χ ( R ) χ ( R) = ( g n µ ) δ µν ∑1 ⇒
*
R
i
⇒ ∑ χ µ ( R ) χ ν ( R)* = gδ µν
R
Así, si µ = ν tenemos que
2
∑ χ µ ( R) = g
(1)
R
Es decir que la suma por todas las operaciones de simetría de los
módulos al cuadrado de los caracteres de
una
representación
irreducible es igual al orden del grupo.
Pero si µ ≠ ν tenemos que
∑ χ ν ( R) χ µ ( R) * = 0
(2)
R
Es decir que la suma por todas las operaciones de simetría de los
productos de los caracteres de dos representaciones irreducibles es
igual a 0.
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Esto ultimo implica (no lo demostramos) que
2
∑ nµ = g
(3)
µ
osea, que la suma de los cuadrados de las dimensiones de las posibles
representaciones irreducibles de un grupo es igual al orden del grupo.
Además, puesto que los caracteres de las matrices asociadas a
operaciones de simetría que pertenecen a la misma clase son iguales,
utilizaremos un solo carácter para cada clase dentro del grupo.
Finalmente se demuestra que:
El numero de representaciones irreducibles diferentes de un grupo
es igual al numero de clases.
Recapitulando:
Para
cada
grupo
puntual
disponemos
de
un
conjunto
pueden
ser
mono,
de
representaciones matriciales irreducibles.
En
general,
estas
representaciones
bi
o
tridimensionales.
Sin embargo en lugar de trabajar con la representación matricial lo
haremos con su respectivo carácter .
Cualquier representación matricial del grupo puede expresarse de
manera
única
como
suma
directa
de
las
correspondientes
representaciones irreducibles del grupo.
Γ red = aµ Γ µ ⊕ aν Γν ⊕ ... ⊕ aω Γω
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Tablas de caracteres:
El
listado
de
las
posibles
representaciones
irreducibles de un grupo puntual se recopila en la
tabla de caracteres del grupo. A continuación
vemos la correspondiente al grupo C4v .
El orden del grupo es 8
Puesto que hay tres pares de operaciones de simetría que forman
una misma clase dos a dos (y por tanto tienen los mismos caracteres
para todas las representaciones), el numero de clases es 5.
Hay por tanto 5 (y solo 5) representaciones irreducibles, que se
escriben en filas y que reciben un nombre determinado. En este caso
tenemos las representaciones A1, A2, B1, B2 y E.
Las representaciones tipo A o B son monodimensionales, las E son
bidimensionales y las T tridimensionales.
La
suma
de
los
cuadrados
de
las
dimensiones
de
las
representaciones irreducibles es igual al orden del grupo. En este
caso
12 +12 +12 +12 +22 = 8
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Las representaciones irreducibles son ortogonales entre si. Por
ejemplo, para las representaciones A2 y B2 tenemos:
(1)·(1) + (1)·(1) + 2·(1)·(-1) + 2·(-1)·(-1) +2·(-1)·(1) = 0
La suma de los cuadrados de los caracteres de una representación
irreducible es igual al orden del grupo. Por ejemplo, para la
representación B1 tenemos:
(1)2·+ (1)2·+ 2(-1)2 + 2(1)2 + 2(-1)2 = 8
En cada grupo siempre existe una representación totalmente
simétrica que es monodimensional y cuyos caracteres son 1 para
cada operación de simetría (o clase).
Al final de cada representación se incluyen las funciones que son
base para la representación correspondiente. Por ejemplo, las
funciones
x
e
y
(juntas)
son
base
para
la
representación
bidimensional E.
Éstas funciones podemos entenderlas también como orbitales del
átomo central, de manera que las funciones x, y, z representan los
orbitales px, py y pz del átomo central (también representan vectores
en la dirección x y y z).
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Reducción de un representación reducible:
Puesto que
χ red ( R ) = ∑ aµ χ µ ( R)
µ
si multiplicamos por
χ ν (R )*
y sumamos por todas las operaciones de
simetría (R) tenemos
∑ χ red ( R ) χ ν ( R)* = ∑ aµ ∑ χ µ ( R) χ ν ( R )* = ∑ aµ gδ µν = aν g
R
µ
µ
R
por tanto
aν = g −1 ∑ χ red ( R) χ ν ( R)*
R
Así pues, para determinar el numero de veces que una representación
irreducible (ν) esta presente en una representación reducible Γred
Se multiplica el carácter de la representación reducible por el
correspondiente carácter de la representación irreducible de
referencia, se suma por todas las operaciones de simetría del grupo
y finalmente se divide por el orden del grupo
También se puede expresar la formula anterior en función de las clases
(C) del grupo de manera que
aν = g −1 ∑ g C χ red (C ) χ ν (C )*
C
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