Descomposición de una Variedad en Componentes Irreducibles

Descomposición de una Variedad en Componentes Irreducibles
Variedades algebraicas afines tienen una representación única como unión finita de
“componentes irreducibles”. Contemplando la existencia de tal representación uno se
puede preguntar si para variedades en general podemos también tener tal descomposición
y de esta manera poder simplificar su estudio. Desarrollaremos en esta sección dicha
teorı́a para espacios topológicos. Dado que para las variedades algebraicas la topologı́a
en cuestión es la topoloı́a de Zariski, aplicaremos los resultados para variedades y para
espacios que estén relacionados con la geometrı́a algebraica. En la sección consideraremos
a X como un espacio topologico arbitrario. Daremos por conocidos algunos resultados de
topolgicos.
Definición 0.1 El espacio X se dice irreducible si para A1 y A2 subconjuntos cerrados
de X tales que X = A1 ∪ A2 entoces X = A1 o X = A2 . Un subconjunto X 0 ⊂ X se dice
irreducible si es irreducible como espacio topológico con la topologı́a relativa.
Es fácil ver que espacios topológicos irreducibles son conexos. Un espacio topólogico
de Hausdorff X es irreducible si y sólo si está formado por un único punto. Tomando
complementos en 0.1 tenemos de inmediato la siguiente caracterización de irreduciblilidad
con subconjuntos abiertos.
Lema 0.2 Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) X es irreducible.
b) Dados U1 , U2 abiertos de X donde Ui 6= ∅ (i = 1, 2), entonces U1 ∩ U2 6= ∅.
c) Todo abierto no vacio de X es denso.
Corolario 0.3 Para un subconjunto X 0 de X las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) X 0 es irreducible.
b) Dados U1 , U2 abiertos de X para los cuales Ui ∩X 0 6= ∅ (i = 1, 2) entonces U1 ∩U2 ∩X 0 6=
∅.
c) La cerradura X̄ 0 de X 0 es irreducible.
Uno puede observar de la definición de cerradura topológica que un conjunto abierto
interseca a X 0 si y sólo si enterseca a X̄ 0 .
Una componente irreducible de X es un subconjunto irreducible máximo de X.
De 0.3 tenemos que componentes irreducibles son cerradas y para el caso de variedades
inclusive subvariedades.
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Teorema 0.4 a) Todo subconjunto irreducible de X está contenido en una componente
irreducible de X.
b) X es la unión de sus componentes irreducibles.
Demonstración: Para P ∈ X el conjunto {P } es irreducible, ası́ tenemos que b) se
sigue de a).
La afirmación a) se sigue del Lema de Zorn. Para un subconjunto irreducible X 0 ⊂ X
sea M la familia de todos los subconjuntos irreducibles de X que contengan a X 0 . Este
es un conjunto parcialmente ordenado bajo la relación de contención. Para un subconjunto totalmente ordenado {Xλ }λ∈Λ de elementos Xλ ∈ M entonces Y := ∪λ∈Λ Xλ
también es un elemento de M . Esto sucede ya que si U1 , U2 ⊂ X son abiertos tales que
Ui ∩ Y 6= ∅ (i = 1, 2) entonces existe λi ∈ Λ de tal forma que Ui ∩ Xλi 6= ∅, (i = 1, 2).
Supongamos, sin perdida de generalidad, que Xλ2 ⊂ Xλ1 . Tenemos U1 ∩ U2 ∩ Xλ1 6= ∅ de
donde deducimos que U1 ∩ U2 ∩ Y demostrando por (0.3 ) que Y es irreducible. Aplicando
lema de Zorn tenemos que M tiene un elemento máximo, es decir que X 0 esta contenido
en una componente irreducible de X.
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Definición 0.5 Un espacio topologico X se dice espacio de Noether si para toda cadena
descendiente A1 ⊃ A2 ⊃ ... de subconjuntos cerrados de X se estaciona, es decir, existe
i0 ∈ N para el cual Aj = Ai0 (j ≥ i0 ).
Es claro que un espacio X es de Noether si y sólo si toda cadena ascendente de subconjuntos abiertos se estaciona. Esto es equivalente a decir que propiedades de maximalidad
para subconjuntos abiertos (resp. condiciones de minimalidad para subconjuntos cerrados) se satisfacen. De ?? g) tenemos que toda variedad algebraica afin con la topologia
de Zariski es un espacio de Noetheriano.
Teorema 0.6 Un espacio topolǵico de Noether tiene únicamente un número finito de
componentes irreducibles. Ninguna componente está contenida en la unión de las componentes restantes.
Demostración (por recursión noetheriana): Sea X noetheriano y sea M el conjunto de
subconjuntos cerrados de X que no se pueden escribir como unión finita de subconjuntos
irreducibles. En el caso de que M sea no vacio por la propiedad de minimalidad tendriamos
que existe un elemento mı́nimo Y ∈ M . Ya que Y pertenece a M este no puede ser
irreducible por lo que se descompone como la unión de dos cerrados propios Y = Y1 ∪ Y2 .
Por ser Y mı́nimo en M tenemos que Yi (i = 1, 2) no pertenecen a M por lo que se
pueden descomponer como la unión finita de subconjuntos irreducibles teniendo la misma
implicación para Y llegando ası́ a una contradicción. Tenemos entonces que M = ∅ y que
X es la unión finita de subconjuntos irreducibles. De 0.4 a) tenemos una descomposición
X = X1 ∪ · · · ∪ Xm
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(1)
en componentes irreducibles Xi de X (i = 1, ..., m). Podemos suponer que Xi 6= Xj para
i 6= j.
Si Y es una componente irreducible arbitraria de X, de (1) tenemos Y = ∩m
i=1 (Y ∩Xi ),
de donde vemos que Y = Y ∩ Xi para algún i ∈ {1, ..., m} y ası́ que Y = Xi . Tenemos
que todas las componentes irreducibles aparecen en 1 y su cardinalidad es por lo tanto
finita. Tampoco puede suceder que Xi ⊂ ∩j6=i Xj ya que con un razonamiento parecido
que el dado para Y tendriamos que Xi = Xj para algún j 6= i.
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Regresemos de nuevo a trabajar con variedades algebraicas. Sea L/K una extensión
de campos. Como una aplicación directa de 0.4 para K−variedades algebraicas en AnL
tenemos el siguiente
Corolario 0.7 Toda variedad algebraica afı́n V tiene sólo un número finito de componentes irreducibles V1 , ..., Vm . Podemos escribir V = V1 ∪ · · · ∪ Vm donde cada Vi es
indispensable.
Variedades algebraicas irreducibles poseen la siguiente caracterización en la teorı́a de
ideales.
Teorema 0.8 a) Una K−variedad algebraica V ⊂ AnL con V 6= ∅ es irreducible si y sólo
si
J (V ) ∈ Spec K[X1 , ..., Xn ]
b) Para L algebraicamente cerrado la correspondencia V 7→ J (V ) induce una biyección
entre K−variedades irreducibles no vacias en AnL y elementos de Spec K[X1 , ..., Xn ].
Demonstración: a) Sea V irreducible y sean f1 , f2 ∈ K[X1 , ..., Xn ] dos polinomios
para los cuales f1 f˙2 ∈ J (V ). Si Hi := V(fi ) (i = 1, 2) tenemos entonces que V =
(V ∩ H1 ) ∪ (V ∩ H2 ) y de esta forma V = V ∩ H1 o V = V ∩ H2 . Si V ⊂ H1 se sigue que
f1 ∈ J (V ) y en caso contrario, de V ⊂ H2 tenemos que f2 ∈ J (V ) implicando que J (V )
es primo.
Inversamente, sea J (V ) ideal primo. Supongamos que existen dos variedades V1 , V2
para las cuales V = V1 ∪ V2 , V 6= Vi (i = 1, 2). De ??e) tenemos J (V ) = J (V1 ) ∩ J (V2 )
donde J (V ) 6= J (V2 ) (i = 1, 2) y existen polinomios fi ∈ J (Vi )\J (V ) (i = 1, 2).
Tenemos que f1 f˙2 ∈ J (V1 ) ∩ J (V2 ) = J (V ) dandonos una contradicción.
b) Dado que para todo ideal primo en un anillo este es un ideal radical tenemos que b)
se sigue de a) y del Teorema ??.
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Ejemplo 0.9 Sea C : f = 0 y sea D : g = 0 dos curvas algebraicas en el plano afı́n.
Sus componentes irreducibles correspondientes son curvas algebraicas que corresponden
biyectivamente con factores irreducibles de f y g respectivamente. La intersección C ∩ D
es finita si y sólo si C y D no comparten ninguna componenete irreducible (??).
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Nota 0.10 En la mayor parte de libros la palabra “variedad” es utilizada para variedades
irreducibles. Nuestra definición de variedad corresponde en ese caso a “conjuntos algebraicos”.
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