Tesis - Diseño de un sistema emulando el movimiento

cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecatrónica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Diseño de un Sistema Emulando el Movimiento
Articulado de una Mano, Brazo y Antebrazo
presentada por
Carlos Hernández Santos
Ing. en Mecánica por el I. T. de Pachuca
Carlos Francisco Montoya Mejía
Ing. en Electrónica por el I. T. de Los Mochis
como requisito para la obtención del grado de:
Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecatrónica
Director de tesis:
Dr. Marco Antonio Oliver Salazar
Co-Director de tesis:
Dr. Jorge Bedolla Hernández
Jurado:
Dr. José Ruiz Ascencio
Dr. Abraham Claudio Sánchez
Dr. Marco Antonio Oliver Salazar
Cuernavaca, Morelos, México.
28 de agosto de 2007
Dedicatoria
A mis padres: Rosa Amelia Mejía y Francisco Javier Montoya Barnoín, por el amor y
el apoyo que me brindan sin importar la condición y el lugar en que me encuentre. Sin ese
apoyo y esfuerzo esto sería sólo un sueño, uno que ahora es una realidad que comparto con
ustedes y me emociona saber que están ahí para compartir mis triunfos y alentarme en los
momentos difíciles. Muchas gracias por ser como son, ¡Se los dedico a ustedes!
A mis hermanas: Magnolia y Amelia, que siempre han creído en mí y me creen capaz
de lograr lo que me proponga, por difícil que parezca.
A mis compañeros y amigos de la maestría, que supieron soportarme y ser amigos
reales en momentos difíciles. En especial al Barney, a Ciego y al tío Cuau, que fueron mis
amigos sinceros en esta etapa de mi vida.
A Carlos Hernández Santos, mi gran amigo, que ha compartido conmigo las
experiencias derivadas de la maestría y ha sido parte fundamental en mi vida personal estos
últimos años. Muchas gracias Ciego. Espero que nuestra amistad trascienda a pesar del
tiempo y la distancia.
A Denakerim Sarahí Parra Flores, el amor de mi vida, que me ha apoyado en los
momentos difíciles de mi vida y ha sido cómplice en mis acciones, muchas gracias por ser
la niña que eres y haber entrado a mi vida. Has sido mi más grande inspiración y aliento de
pensar que hay algo bueno que me espera y me exhorta a seguir adelante ¡Te quiero mucho!
Muchas gracias a todas las personas y organizaciones que no menciono, pero que sin
su existencia no sería posible que esté en el lugar donde estoy: a mis maestros, al cenidet, a
cosnet y dgeti.
¡La felicidad sólo existe en el presente, preocúpate de ser feliz
sólo este momento… el futuro se preocupará de sí mismo!
A ni nadrc,-Rosa
fanm y a ni podre,Sds Manrclllemdnfu por su a6or y
flpoyo.qr!e
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CalosH@fod€z Smtos.
Culos FraosisooModoya Mejfa
Resumen
Este documento presenta el diseño de un sistema robótico antropomórfico, que consta de un
brazo de 7 grados de libertad (gdl) y una mano con 15 gdl, cuya finalidad es reproducir algunos
de los movimientos que realizan el brazo y la mano humanas. Los rangos de movilidad y las
dimensiones del sistema completo son las de un humano promedio.
El propósito de este proyecto es continuar la investigación de sistemas robóticos que
emulan el movimiento de partes humanas, en este caso de las extremidades superiores, que
dotan al ser humano de una gran capacidad de manipular y modificar su entorno.
El brazo diseñado cuenta con 7 gdl de libertad, 3 para el hombro, 2 para el codo y 2
para la muñeca. Estos gdl permiten que la movilidad y destreza del brazo sea muy parecida a la
de un brazo humano. La mano tiene 15 gdl, cuenta con 5 dedos con 3 gdl en cada uno de ellos.
Esto le permite realizar la mayoría de los movimientos que realiza una mano humana.
Los gdl implementados se actúan con motores de CD. La reducción de movimiento y el
incremento del par mecánico es a base de reductores armónicos (Harmonic Drive®), y en
algunos casos se emplean bandas y poleas.
El objetivo principal de este trabajo es que el diseño final del sistema robótico tenga
movimientos muy similares a los humanos y que sea capaz de manipular 0.5kg. en su efector
final (mano antropomórfica).
Abstract
This document presents the design of an anthropomorphic robotic system whit a 7 degrees of
freedom (dof) arm and a 15 dof hand, whose purpose is to reproduce some of the movements
performed by the human arm and hand. The ranges of mobility and dimensions of the whole
system are the same as those of an average human.
The purpose of this project is to continue the research of robotic systems that emulate
movements of the human body parts, in this case the movement of the superior extremities, that
provide the human a great capacity to handle and modify his environment.
The designed arm has 7 dof, 3 for the shoulder, 2 for the elbow and 2 for the wrist.
These dof allow such a movility to the prototype to reproduce some of the human arm
movements. The hand has 15 dof and 5 fingers with 3 dof for each one of them. This allows the
hand to perform the most of the movements that a human’s hand performs.
The implemented dof are acted by DC motors. The reduction of the movement and the
increase of mechanical torque is carried out by an harmonic drive system, and in some cases
strips and pulleys are used.
The main goal of this work is a final design of the arm with similar movements to those
of the human’s movements. The system must handle 0.5kg in the anthropomorphic hand.
I
Índice
Lista de figuras
Lista de tablas
Lista de símbolos
1
2
Introducción
1.1.
Estado del arte
1.2.
Planteamiento del problema
1.3.
Justificación
1.4.
Objetivos generales y particulares
1.4.1.
Objetivo general
1.4.2.
Objetivos particulares
1.5.
Alcance y limitación del proyecto
1.5.1.
Alcance
1.5.2.
Limitaciones
1.6.
Organización de la tesis
1.7.
Bibliografía
1-1
1-2
1-11
1-12
1-12
1-12
1-12
1-12
1-12
1-13
1-13
1-14
Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
Características del brazo humano
2.1.1.
El brazo humano
2.1.2.
Anatomía del hombro
2.1.3.
El codo
2.1.4.
La muñeca
2.2.
Diseño del brazo robótico antropomórfico
2.2.1.
Especificaciones
2.2.2.1.
Actuadores
2.2.2.
Estructura
2.2.2.1.
Espacio de trabajo
2.2.3.
Sistema de transmisión y reducción
2.3.
Detalles del brazo robótico antropomórfico
2.4.
Resumen
2.5.
Bibliografía
2-1
2-2
2-2
2-2
2-2
2-2
2-4
2-4
2-5
2-5
2-6
2-7
2-9
2-11
2-12
2.1.
3
III
IV
V
Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
3.1.
Características de la mano humana
3.1.1.
La mano humana
3.1.2.
Anatomía de la mano
3.1.3.
Movimientos de la mano humana
3.2.
Diseño de la mano robótica antropomórfica
3.2.1.
Especificaciones
3.2.2.1.
Actuadores
3.2.2. Estructura
3.2.2.1.
Estructura de un dedo
3.2.2.2.
Sistema de transmisión
3-1
3-2
3-2
3-2
3-2
3-4
3-4
3-4
3-5
3-5
3-5
II
3.2.2.3.
Estructura de la palma
Detalles de la mano robótica antropomórfica
3.3.1.
Detalles de un dedo
3.4.
Resumen
3.5.
Bibliografía
3-7
3-7
3-8
3-9
3-10
Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
Representación de Denavit-Hartenberg del brazo robótico
Cinemática directa del sistema robótico antropomórfico
4.2.1.
Cinemática directa del brazo
4.2.2.
Cinemática directa de la mano
4.3.
Cinemática inversa del sistema robótico antropomórfico
4.3.1.
Cinemática inversa del brazo
4.3.2.
Cinemática inversa de la mano
4.4.
Cálculos de carga del sistema robótico antropomórfico
4.4.1.
Modelo dinámico de un robot de 3 gdl
4.4.2.
Análisis estructural del sistema
4.5.
Verificación de movilidad del sistema
4.6.
Resumen
4.7.
Bibliografía
4-1
4-2
4-3
4-3
4-5
4-6
4-6
4-8
4-9
4-9
4-11
4-12
4-14
4-14
3.3.
4
4.1.
4.2.
5
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
6
Diseño electrónico del sistema robótico antropomórfico
Electrónica de control
Electrónica de potencia
Resumen
Bibliografía
Conclusiones finales y trabajos futuros
6.1. Objetivos cubiertos
6.2. Conclusiones de la parte mecánica
6.3. Conclusiones de la parte de simulación
6.4. Conclusiones de la parte de electrónica
6.5. Aportaciones
6.6. Limitantes
6.7. Sugerencias para trabajos futuros
5-1
5-2
5-3
5-5
5-5
6-1
6-1
6-1
6-2
6-3
6-3
6-4
6-4
Anexo A Características de los actuadores y reductores del brazo robótico
A-1
Anexo B Características de poleas y bandas del brazo robótico antropomórfico
B-1
Anexo C Cinemática directa e inversa del sistema robótico antropomórfico
C-1
Anexo D Modelo dinámico de un robot de 3 gdl con controlador PD+g
D-1
Anexo E Características de los módulos de National Instruments®
E-1
Anexo F Justificación de las especificaciones de diseño
F-1
III
Lista de figuras
Figura 1.1. Robot antropomórfico IROS
Figura 1.2. Robot antropomórfico con estructura similar a la de los humanos
Figura 1.3. Robot antropomórfico con capacidades para comportamiento autónomo
Figura 1.4. Robot basado en los rangos de movimientos del brazo humano
Figura 1.5. Robot construido con Powercubes
Figura 1.6. Robot construido con 5 gdl
Figura 1.7. Robot construido con 6 gdl
Figura 1.8. Robot humanoide COG con 6 gdl
Figura 1.9. Robot humanoide WHOLE con 6 gdl
Figura 1.10. Robot humanoide WF-4R con 7 gdl
Figura 1.11. Robot humanoide WE-4RII con 7 gdl
Figura 1.12. Brazo humanoide con 7 gdl
Figura 1.13. Brazo humanoide ROBONAUTA con 7 gdl
Figura 2.1. Huesos y músculos del brazo humano y grados de libertad implementados
Figura 2.2. Motor marca Faulhaber®
Figura 2.3. Articulaciones, eslabones y dimensiones del brazo robótico antropomórfico
Figura 2.4. Espacio de trabajo del brazo
Figura 2.5. Sistema de transmisión del brazo
Figura 2.6. Reductor armónico comercial
Figura 2.7. Detalles del brazo robótico antropomórfico, parte 1
Figura 2.8. Detalles del brazo robótico antropomórfico, parte 2
Figura 3.1. Huesos que conforman la mano y la muñeca
Figura 3.2. Movimientos de aducción y abducción
Figura 3.3. La mano humana y sus articulaciones
Figura 3.4. Diseño de un dedo de la mano antropomórfica
Figura 3.5. Sistema de transmisión para los dedos
Figura 3.5a. Cálculo de fuerza de apriete del sistema de transmisión
Figura 3.6. Presión ejercida en un dedo
Figura 3.7. Mano robot antropomórfica (palma y dedos)
Figura 3.8. Vista isométrica de la mano robótica antropomórfica
Figura 3.9. Detalles de la mano robótica antropomórfica
Figura 3.10. Detalles de un dedo la mano robótica antropomórfica
Figura 4.1. Diagrama de relación entre cinemática inversa y directa
Figura 4.2. Representación de Denavit-Hartenberg del brazo robótico antropomórfico
Figura 4.3. Dedo de la mano diseñada
Figura 4.4. Robot de 3 gdl
Figura 4.5. Par requerido por θ1 para llegar a la posición π rad
Figura 4.6. Análisis estructural del sistema
Figura 4.7. Diagrama en Simulink® para verificar la movilidad del sistema robótico
Figura 4.8. Desarrollo de una secuencia de movimientos programada
Figura 5.1. Etapas de control y potencia para el sistema robótico
Figura 5.2. Tarjeta PCI-7831R y módulo SCB-68
Figura 5.3. Esquema de control
Figura 5.4. Etapa de potencia para 2 motores con L298N
Figura 5.5. Etapa de potencia para 1 motores con L298N, para alta corriente
1-2
1-2
1-4
1-4
1-5
1-6
1-6
1-7
1-8
1-8
1-9
1-10
1-11
2-3
2-5
2-5
2-6
2-7
2-7
2-9
2-9
3-2
3-3
3-3
3-5
3-6
3-6
3-6
3-7
3-8
3-8
3-9
4-1
4-2
4-8
4-10
4-11
4-12
4-13
4-13
5-1
5-2
5-3
5-4
5-4
IV
Lista de tablas
Tabla 1.1. Características del brazo robótico IROS
Tabla 1.2. Características del brazo robótico antropomórfico
Tabla 1.3. Características del brazo robótico
Tabla 1.4. Características del brazo robótico con 5gdl
Tabla 1.5. Características del brazo robótico con 6 gdl
Tabla 1.6. Características del brazo robótico COG
Tabla 1.7. Características del brazo robótico WHOLE
Tabla 1.8. Características del brazo robótico WF-4R
Tabla 1.9. Características del brazo robótico WE-4RII
Tabla 1.10. Características del brazo robótico
Tabla 1.11. Características del brazo robótico ROBONAUTA
Tabla 2.1. Rango de movilidad del brazo humano
Tabla 2.2. Especificaciones del brazo antropomórfico
Tabla 2.3. Selección de motores de la marca Faulhaber®
Tabla 2.4. Algunas propiedades físicas de la aleación 6061
Tabla 2.5. Selección de reductores Harmonic Drive®
Tabla 2.6. Cálculo de bandas de la marca Misumi®
Tabla 2.6a. Selección de poleas y bandas de la marca Misumi®
Tabla 2.7. Partes del brazo robótico antropomórfico
Tabla 3.1. Rango de movilidad de un dedo humano
Tabla 3.2. Especificaciones de la mano antropomórfica
Tabla 3.3. Selección de motores de la marca Faulhaber®
Tabla 3.4. Partes de la mano
Tabla 3.5. Partes de un dedo de la mano
Tabla 4.1. Parámetros de Denavit y Hartenberg del brazo
Tabla 4.2. Parámetros de Denavit y Hartenberg para la mano
Tabla 4.3.Resultados de análisis estructurales del sistema diseñado
1-2
1-3
1-5
1-6
1-7
1-7
1-8
1-9
1-9
1-10
1-11
2-3
2-4
2-5
2-6
2-8
2-8
2-8
2-10
3-4
3-4
3-4
3-8
3-9
4-2
4-3
4-12
V
Lista de abreviaturas y símbolos
CENIDET
gdl
dof
CD
gr
IFR
SCARA
N
m
kg
Pa
A
s
pzas
HD
Fig
AMF
AIP
AID
VCD
W
D-H
αi
ai
θi
di
Ai
p
r
q
a
Tb
Td
vND
CAD
L θ , θ
( )
K (θ , θ )
U (θ )
τi
n
PWM
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Grados de libertad
Degrees of freedom (grados de libertad)
Corriente directa
Gramos
Federación Internacional de Robótica
Selective Compliance Assembly Robot Arm
Newtons
Metros
Kilogramos
Pascales
Amperes
Segundos
Piezas
Harmonic Drive®, reductor armónico
Figura
Metacarpofalangeal
Interfalange proximal
Interfalange distal
Volts de corriente directa
Watts
Denavit-Hartenberg
Ángulos entre ejes z
Distancia entre ejes z
Ángulos entre ejes x
Distancia entre ejes x
Matriz de transformación homogénea
Vector de posición del efector final
Vector de posición de la punta de los dedos
Vector de coordenadas generalizadas del brazo robótico
Matriz de transformación homogénea del eslabón a al eslabón b
Matriz de transformación homogénea deseada
visualNastran Desktop®
Diseño Asistido por Computadora
Lagrangiano
Energía cinética del robot
Energía potencial del robot
Fuerzas y pares ejercidos externamente en cada articulación
Número de articulaciones del robot
Modulación por Ancho de Pulso
VI
NI
PID
PD+g
ON
OFF
National Instruments®
Proporcional-Integral-Derivativo
Proporcional-Derivativo con compensación de gravedad
Encendido
Apagado
VII
Capítulo 1
Introducción
Introducción
En la industria, los robots se emplean para elaborar trabajos de pintura, soldadura, ensamble
de piezas, etc. En el área espacial, como rescatadores de satélites, recolección de muestras,
exploración de terrenos y para labores de mantenimiento de las estaciones espaciales. En el
área de la agricultura se usan en la inspección y recolección en los campos de alfalfa. En
campos como la medicina, para dispositivos de ayuda a discapacitados y para transporte de
medicamentos. En el área de la química, para el manejo de elementos radioactivos.
Los robots entraron a los hogares elaborando trabajos muy sencillos, como barrer,
aspirar alfombras y cortar el césped, incluso pueden traer a sus espaldas un carrito de
bebidas por toda la casa; suben escaleras con la facilidad de una persona, poseen capacidad
de interpretar cualquier orden por medio de voz y obedecerlas fielmente, hasta compiten
con las mascotas hogareñas. En fin, sus aplicaciones son casi ilimitadas.
La robótica forma parte de nuestra vida cotidiana. Muchas aplicaciones que hace
décadas se consideraban imposibles de realizar son una realidad.
Actualmente está surgiendo una nueva clase de robots, que tienden a realizar las
actividades humanas, tales como caminar, tomar objetos y tomar decisiones en diversas
circunstancias, mostrando las nuevas habilidades dotadas de cierta inteligencia. Los robots
evolucionan más rápido que los humanos, es por eso que vemos cómo cambian
rápidamente.
Dada la importancia y la cobertura de la robótica, surgió la necesidad de desarrollar
esta tecnología en el CENIDET, con el diseño de un sistema que emula el movimiento
articulado de una mano, brazo y antebrazo, para asimilar y crear conocimientos en este
ramo de la investigación científica.
1-1
Capítulo 1: Introducción
1.1.
Estado del arte
[1] En el Instituto Politécnico de Setúbal, Portugal se diseñó un robot antropomórfico
denominado IROS, que combina una cabeza binocular, un brazo y una mano, para
investigación en coordinación de un “visuomotor” y aprendizaje por imitación. El objetivo
fue producir un sistema semejante a la cinemática del brazo y mano. Los movimientos del
hombro de este robot fueron modelados a base de tres GDL, el codo con dos GDL y la
muñeca del brazo tiene un GDL. La cinemática inversa de este robot fue realizada en dos
partes: posición de la muñeca y orientación de la mano, donde los tres primeros GDL sirven
para posicionar la muñeca y los otros tres para orientar la mano.
Figura 1.1. Robot antropomórfico IROS que aprende por imitación.
Tabla 1.1. Características del brazo robótico IROS
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
6
Motores de CD
Polea – correa
Mano antropomórfica
[2] Forschungszentrum Informatik Karlsruhe. Se diseñó un robot con un torso y dos brazos
con una estructura similar a la de los humanos. Los brazos tienen siete grados de libertad
(GDL): tres en el hombro, dos en el codo y tres en la muñeca. La longitud del brazo es de
65 cm. (incluyendo la pinza); el peso total del brazo es de 45kg. Lo novedoso de la pinza es
que es de peso ligero y sus movimientos se realizan con un solo actuador.
En este brazo robótico, la estructura física del brazo antropomórfico (tamaño, forma
y cinemática) se desarrolló tan cerca como fue posible al brazo humano, en términos de
longitudes, eje de la rotación y espacio de trabajo.
El control de los motores se realizó a base de un microcontrolador C-167 y una PC
estándar. Los microcontroladores trabajan en conjunto con tarjetas de potencia especiales;
1-2
Capítulo 1: Introducción
cada tarjeta controla 4 motores. Las tarjetas de los microcontroladores se conectan vía BusCAN con un índice de transferencia máximo de 1 Mbit/s a la PC.
Figura 1.2. Robot antropomórfico con estructura similar a la de los humanos.
Tabla 1.2. Características del brazo robótico antropomórfico.
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
7
Motores de CD
Polea – correa
Mano antropomórfica
[3] En el “Institute of Robotics and Mechatronics German Aerospace Center” se desarrolló
un sistema de mano y brazo con características antropomórficas con algunas capacidades
para comportamiento autónomo. El sistema se basa en principios de construcción de peso
ligero del brazo y una mano articulada con cuatro dedos. El sistema realiza análisis de
escenas en tiempo real por visión, control de par adaptable y una interfaz hombre-máquina
intuitiva.
El brazo tiene siete GDL. Cada articulación se compone de un motor de CD sin
escobillas y un reductor armónico. Cuenta con un freno magnético de emergencia por GDL.
Para lograr el peso ligero del brazo, cada uno de sus eslabones se diseñó en fibra de
carbón. El brazo tiene 13 kg de peso total y es capaz de sostener en su efector final cargas
de 15kg.
1-3
Capítulo 1: Introducción
Figura 1.3. Robot antropomórfico con capacidades para comportamiento autónomo.
[4] La Universidad de Karlsruhe desarrolló un brazo robot antropomórfico llamado brazoFZI. El diseño se basó en la observación de los rangos de movimiento del brazo humano. El
mecanismo consta de siete GDL: tres en el hombro, dos en el codo y dos en la muñeca. Lo
novedoso de este brazo fue la utilización de motores ultrasónicos de alto par en la parte del
hombro y de la muñeca.
Las ventajas son que tiene tamaño pequeño, peso ligero (aproximadamente 20 kg.) y
alto par a baja velocidad; trabaja a una velocidad de 80°/s. La carga máxima que puede
sostener en su efector final es de 4 kg.
Figura 1.4. Robot basado en los rangos de movimiento del brazo humano.
1-4
Capítulo 1: Introducción
Tabla 1. 3. Características del brazo robótico
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
7
Motores ultrasónicos
Cables, poleas, correas
Pinza
[5] Department of Electrical Engineering University of Washington, Seattle. Diseñaron,
construyeron y realizaron pruebas de una réplica del brazo humano, el cual tenía como
meta obtener la máxima precisión dinámica y cinemática del brazo robótico.
El brazo es actuado con músculos neumáticos artificiales, controlados mediante
sistemas de procesamiento de señales digitales.
[6] Institute of Process Control and Robotics, University of Karlsruhe, Germany. Diseñaron
un brazo robótico que consta de seis, así llamados, “Powercubes” por AMTEC y tiene siete
GDL en una configuración de forma humana.
Tres cubos representan una junta esférica del hombro; otros dos cubos se usan como
las juntas rotatorias para el codo y para el antebrazo; un módulo llamado muñeca consta de
dos juntas ortogonales que representan las últimas dos uniones localizadas en la muñeca del
brazo del robot, cada módulo rota con una velocidad máxima de 180°/s. El brazo tiene una
masa de 14.2 kg. y la carga máxima que puede levantar en el efector final es de 2 kg.
Figura 1.5. Robot construido con “Powercubes”.
[7] École Polytechnique Fédérale de Lausanne diseñó un brazo mecánico de cinco grados
de libertad. El proyecto se desarrolló con la meta de hacer un juguete educativo para los
niños normales o discapacitados. Este proyecto se basa en la comunicación y el
entrenamiento por la vista y los gestos.
1-5
Capítulo 1: Introducción
Figura 1.6. Robot con 5 GDL.
Tabla 1.4. Características del brazo robótico con 5 GDL.
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
5
Motores de CD
Engranes – cables
Mano antropomórfica
[8] El Instituto de Tecnología de Massachussets diseñó un brazo de seis grados de libertad;
el objetivo principal fue que el brazo fuera pasiva y activamente adaptable y capaz de
sensar y dominar fuerzas de torsión en cada grado de libertad.
Figura 1.7. Robot de 6 GDL.
1-6
Capítulo 1: Introducción
Tabla 1.5. Características del brazo robótico con 6 GDL.
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
6
Motores sin escobillas de CD
Cables-poleas
Pinza
[9] La Universidad de Oxford diseñó un humanoide con 2 brazos. Cada brazo tiene seis
grados de libertad y están dispuestos de manera similar y tienen aproximadamente la misma
longitud que el brazo humano.
La cinemática de los brazos esta diseñada para ser similar a un brazo humano, con
dos uniones tanto para el hombro, codo y muñeca. Cada unión es actuada mediante una
serie de actuadores elásticos, que consisten en un motor de CD ordinario con una caja
reductora y un resorte en serie con la salida del motor.
Figura 1.8. Robot humanoide COG con 6 GDL.
Tabla 1. 6. Características del brazo robótico COG.
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
6
Motores de CD
Cables, poleas, resortes
Pinza
[10] La Universidad de Southampton diseñó un brazo robótico con seis GDL. Su objetivo
principal fue obtener conocimientos sobre las características del brazo y mano humana y que
sea capaz de maniobrar 4 kg. en su efector final.
1-7
Capítulo 1: Introducción
Figura 1.9. Robot humanoide WHOLE con 6 GDL.
Tabla 1.7. Características del brazo robótico WHOLE.
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
6
Motores de CD
Harmonic drive
Mano antropomórfica
[11] La Universidad de Waseda diseñó el robot antropomórfico WF-4R. Los brazos de este
robot tienen siete GDL; la parte superior del brazo tiene cuatro GDL y el antebrazo tiene
tres GDL.
La parte superior del brazo fue diseñada para incrementar el rango de movimientos
para posicionar una flauta. En este robot se utilizan reductores armónicos para lograr una
alta precisión de posicionamiento.
Figura 1.10. Robot humanoide WF-4R con 7 GDL.
Lo novedoso en este robot es que el posicionamiento de la muñeca se realiza
mediante un mecanismo de dos eslabones paralelos, teniendo una alta precisión y rigidez
mecánica. El mecanismo tiene dos GDL a lo largo del antebrazo y los movimientos de la
muñeca se realizan, ya sea moviendo ambos eslabones en el mismo sentido, o moviéndolos
en sentido contrario.
1-8
Capítulo 1: Introducción
Tabla 1.8. Características del brazo robótico WF-4R.
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
7
Motores de CD
Harmonic drive
Mano antropomórfica
[12] En la Universidad de Waseda se diseñó un brazo de 7 grados de libertad donde el
rango móvil de cada unión es como la de un humano, esto con el objetivo de obtener una
expresión más emocional como la humana. Se diseñó el robot para tener las mismas
dimensiones que un varón promedio y tener una apariencia natural.
Figura 1.11. Robot humanoide WE-4RII con 7 GDL.
Tabla 1.9. Características del brazo robótico WE-4RII.
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
7
Motores de CD
Harmonic drive
Mano antropomórfica
[13] Universidad de Tokio. Se diseñó un brazo de siete grados de libertad; el objetivo
principal fue desarrollar el brazo robótico para un sistema combinado maestro-esclavo para
mantener una “tele-existencia mutua”, con lo cual realiza comunicación física cercana con
otras personas usando gestos y las tareas diestras de manipulación.
1-9
Capítulo 1: Introducción
Lo novedoso de este brazo fue que el diseño se realizó muy ligero con el objetivo de
moverlo muy rápido, lo cual se logra a base de reductores armónicos, motores de CD y
bandas para cada GDL. El brazo tiene una masa total de 7.3 kg. y puede sostener una carga
de 0.5 kg. en su efector final, alcanzando velocidades de 1.2 m/s.
Figura 1.12. Brazo humanoide con 7 GDL.
Tabla 1.10. Características del brazo robótico
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
7
Motores de CD
Harmonic drive
-
[14] La NASA desarrolló un humanoide metálico al que llamó “Robonauta”: Un robot para
ser utilizado en el espacio que podrá reparar satélites y estaciones espaciales. A diferencia
de los robots construidos hasta ahora, el Robonauta tiene el tamaño de un astronauta con
traje espacial. Tiene brazos y manos más flexibles que los humanos, sus muñecas giran más
1-10
Capítulo 1: Introducción
para tomar herramientas de trabajo. Su cuerpo es más robusto y tiene una cabeza equipada
con dos cámaras que funcionan como ojos.
Figura 1.13. Brazo humanoide ROBONAUTA con 7 GDL.
Tabla 1.11. Características del brazo robótico ROBONAUTA.
Grados de libertad
Tipo de actuadores
Tipo de transmisión
Efector final
7
Motores de CD
Harmonic drive
Mano antropomórfica
De los brazos desarrollados y estudiados se observa que para emular de manera
antropomórfica el brazo humano se requieren, al menos siete GDL. Se observa también que
los reductores más utilizados, en casos donde se requiere mayor precisión, son los
reductores armónicos.
1.2.
Planteamiento del problema
Se han diseñado y construido diversos brazos alrededor del mundo. En México este
tipo de desarrollos está en su etapa de crecimiento, es por ello que es importante estudiarlos
y desarrollarlos.
Para el CENIDET es importante, dentro de la línea de investigación en Robótica,
incrementar el conocimiento que permita el desarrollo y perfeccionamiento de los sistemas
que emulan los movimientos de algunas partes del cuerpo humano, con el objetivo de
diseñar sistemas robóticos que realicen actividades que el ser humano no puede desarrollar,
ya sea por limitaciones físicas, por la existencia de ambientes hostiles o manejo de
sustancias peligrosas, que ponen en riesgo su seguridad. También, el estudio de estos
sistemas obedece a la necesidad de mecanismos que realicen operaciones repetitivas o
incluso para desarrollar prótesis que pudieran ser una alternativa para personas que las
requieran.
1-11
Capítulo 1: Introducción
1.3.
Justificación
En el área de Robótica del CENIDET se cuenta con algunas investigaciones relacionadas
con el desarrollo de manipuladores que reproducen algunos movimientos de extremidades
superiores humanas. Con este proyecto se busca incrementar dicho conocimiento en esta
línea de investigación. Su beneficio es aportar diferentes alternativas de solución para
problemas específicos que involucran la integración de las áreas de Electrónica, Mecánica y
Computación desde un punto de vista mecatrónico. En este proyecto se abordan los
problemas que surgen en el estudio de los movimientos del brazo humano.
1.4.
Objetivos generales y particulares
1.4.1.
Objetivo general
Diseñar un sistema que emule el movimiento articulado de una mano, brazo y antebrazo
capaz de reproducir algunos de los movimientos del brazo humano, a base de motores de
CD que emulan los músculos para los movimientos del brazo y antebrazo.
1.4.2.
•
Objetivos particulares
•
Diseñar un sistema mecánico que emule la acción de tomar y mover un objeto
rígido, sin romperlo o deformarlo significativamente.
Diseñar el brazo con siete grados de libertad: tres en la parte del hombro, dos en la
parte del codo y dos en la muñeca.
Simular el movimiento del sistema mecánico diseñado.
Conocer la cinemática involucrada en el sistema.
•
•
1.5.
Alcance y limitación del proyecto
1.5.1.
Alcance
Diseñar un sistema emulador de algunos de los movimientos de las partes humanas: mano,
brazo y antebrazo. El brazo robótico debe de contar con 7 GDL, así como poder manipular
una carga de 0.5 kg. en su efector final, así como obtener la cinemática involucrada en el
sistema.
1.5.2.
Limitaciones
La construcción del sistema diseñado estuvo condicionada a los recursos materiales con los
que se contaban. Otra limitación es que el brazo antropomórfico tiene siete grados de
libertad, de los cuales sólo tres de ellos están en acoplamiento directo y los restantes son a
base de bandas y poleas dentadas, esto con el objetivo de que con la trasmisión mencionada
se pueda obtener un par mayor.
1-12
Capítulo 1: Introducción
Los cálculos estructurales se realizaron en forma estática, ya que se consideraron
bajas velocidades en el movimiento del brazo robótico, por lo que se desprecian las
dinámicas asociadas. El sistema se diseñó para manipular una carga máxima en su efector
final de 500 gr. Otra limitante importante ha sido el tiempo disponible para el desarrollo del
proyecto.
1.6.
Organización de la tesis
Esta tesis se estructura de acuerdo al procedimiento seguido para el diseño del brazo
robótico antropomórfico y consta de 6 capítulos. A continuación se da una breve
descripción de ellos.
Capítulo 1. “Introducción”. Este capítulo presenta una introducción al estado actual de
sistemas robóticos antropomórficos diseñados y construidos a la fecha en el
mundo. Se definen los objetivos de esta investigación, su alcance y sus
limitaciones.
Capítulo 2. “Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico”. Se inicia con el
estudio anatómico del brazo humano y se continúa con el diseño del brazo
robot, definiendo sus especificaciones (estructura, espacio de trabajo, forma,
material, etc.) y el sistema de transmisión utilizado.
Capítulo 3.
“Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica”. Se inicia con el
estudio anatómico de la mano humana y se continúa con el diseño de la mano
robótica, definiendo sus especificaciones (estructura, forma, material, etc.) y
el sistema de transmisión utilizado.
Capítulo 4.
“Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico”. Se
inicia con el análisis cinemático directo e inverso del sistema robótico y se
continúa con un análisis dinámico del sistema para encontrar los pares
necesarios por los actuadores y realiza un análisis estructural en forma
estática para verificar que el material seleccionado soporte los esfuerzos que
se generan en el sistema robótico; por último se verifica la movilidad del
sistema.
Capítulo 5. “Diseño electrónico del sistema robótico antropomórfico”. En este capítulo
se analizan las variables necesarias a medir y controlar para manipular el
brazo robot. Se diseña la electrónica para adquisición de datos y
acondicionamiento de señales, así como la electrónica de control y de
potencia.
Capítulo 6. “Conclusiones finales y trabajos futuros”. Se mencionan las conclusiones de
la tesis y se hace hincapié en las aportaciones y limitaciones del trabajo
realizado. También se citan posibilidades para trabajos futuros y mejoras del
sistema diseñado.
1-13
Capítulo 1: Introducción
1.7.
Bibliografía
[1] Manuel López, Ricardo Beira, Miguel Praca y José Santos. Instituto Politécnico de
Setúbal, Portugal ‘An anthropomorphic robot torso for imitation: design and experiments’.
Proceedings of 2004 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and
Systems, September 28 – October 2, 2004, sedai, Japan
[2] Tamim Asfour, Karsten Berns, y Rüdiger Dillmann, Forschungszentrum Informatik
Karlsruhe,
‘The
Humanoid
Robot
ARMAR:
Design
and
Control’.
http://wwwipr.ira.uka.de/asfour/armar.
[3] Ulrich Hillenbrand, Bernhard Brunner, Christoph Borst, y Gerd Hirzinger. Institute of
Robotics and Mechatronics German Aerospace Center. ‘The Robutler: a Vision- Controlled
Hand-Arm System for Manipulating Bottles and Glasses ‘. 82234 Wessling, Germany,
[email protected]
[4] T. Asfour y R. Dillman, Institute For Process Control And Robotics. La Universidad
de Karlsruhe ‘Design and Control Architecture of an Anthropomorphic Robot Arm’. The
1st intern. Workshop on Humanoid Robots and Human Friendly Robots. (IARP’98), Japan,
Oct. 1998
[5] Blake Hannaford, Jack M. Winters*, Ching-Ping Chou y Pierre-Henry Marbot,
Department of Electrical Engineering University of Washington Seattle, ‘The Anthroform
Biorobotic Arm: A system for the study of spinal circuits’. Annals of Biomedical
Engineering, vol 23, pp. 399-408, March, 1995.
[6] Oliver Kerpa, Dirk Osswald, Sadi Yigit, Catherina Burghart y Heinz Woern, Institute of
Process Control and Robotics, University of Karlsruhe, Germany, ‘Arm-Hand-Control by
Tactile Sensing for Human Robot Co-operation’. In A. Zelinsky (ed): field and service
robotics. Springer, London, 1998, pp. 485 - 492.
[7] Florent Günter, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, ‘Construction et contrôle
d’un bras mécanique pour le robot humanoïde Robota.’ Project de diplome 2003-2004
[8] Aaron Edsinger, Massachusetts Institute of Technology ,’ Manipulating Machines:
Designing Robots to Grasp Our World’ Proposal for Thesis Research In Partial Fulfillment
of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy.
[9] Matthew M. Williamson, University of Oxford, S.M Massachusetts Institute of
Technology (1995) ‘Robot Arm Control Exploiting Natural Dynamics’, Submitted to the
Departament of Electrical Engineering an Computer Science in partial fulfilment of the
requirements for the degree of Doctor of Philosophy.
[10] http://www.ecs.soton.ac.uk/~rmc/Research/whole_arm_manipulator.html
1-14
Capítulo 1: Introducción
[11] http://www.takanishi.mech.waseda.ac.jp/research/flute/
[12] Kazuko Itoh, Hiroyasu Miwa, Munemichi Matsumoto, Massimiliano Zecca, Waseda
University, Tokyo Japan,’ Various Emotional Expressions with Emotion Expression
Humanoid Robot WE-4RII’II, IROS 2002, Vol. III pp. 2443 – 2448.
[13] Riichiro Tadakuma, Ichiro Kawabuchi, Hiroyuki Kajimoto, Naoki Kawakami, and
Susumu Tachi, University of Tokyo, ‘Mechanism of an Anthropomorphic 7-DOF Slave
Arm for Telexistence.‘ Proc. Int’1 Workshop on Intelligent Robots and Systems (IROS’90),
pp. 343-348, 1990.
[14] www.geocities.com/astrocuriosidades/robotica/Elrobonauta.pdf
1-15
Capítulo 2
Diseño Mecánico del Brazo Robótico Antropomórfico
Introducción
[1] La Federación Internacional de Robótica (IFR) clasifica los robots industriales según
tres parámetros: número de ejes, tipo de control y estructura mecánica.
1. Clasificación según el número de ejes (grados de libertad):
a. Robots con 3 ejes.
b. Robots con 4 ejes.
c. Robots con 5 ejes o más.
2. Clasificación según el tipo de control:
a. Secuencia controlada.
b. Trayectoria operada/continua.
c. Adaptativos.
d. Teleoperador.
3. Clasificación según el tipo de estructura mecánica:
a. Cartesianos.
b. SCARA.
c. Antropomórficos.
d. Paralelos.
e. Esféricos y cilíndricos.
Además, se puede clasificar a los robots tomando en cuenta los usos que se les dan,
por ejemplo: robots de ensamblado, de medida, de empaquetado, de pintura, de soldadura,
etc., o por el tipo de servicio que prestan: destinado a seres humanos, destinado a
equipamiento, destinado a transporte, etc.
Por la estructura mecánica y el número de GDL que tiene el brazo mecánico
desarrollado en este proyecto, se clasifica como un robot con estructura antropomórfica de
más de cinco grados de libertad (siete en total), que le permiten emular los movimientos
que realiza un brazo humano.
2-1
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
2.1.
Características del brazo humano
Antes de diseñar y especificar las partes que compondrán al robot es necesario comprender
las características principales del brazo humano.
2.1.1.
El brazo humano
El brazo humano es un mecanismo enormemente adaptable, capaz de maniobrar en
cualquier posición que se desee. Para ello, tiene dos articulaciones principales: el hombro y
el codo (la muñeca, hasta donde la robótica trata, se considera parte del mecanismo de la
mano).
2.1.2.
Anatomía del hombro [2]
El hombro tiene dos huesos principales, llamados: húmero (hueso superior del brazo) y
omóplato (paletilla). Los huesos del hombro están conectados por ligamentos (tiras de
tejido fuerte fibroso) y los huesos están conectados a los músculos de alrededor por
tendones.
Los dos tendones más importantes del hombro son el tendón bíceps, que une el
músculo bíceps al hombro, y el tendón supraspina (supraspinatus) que ayuda en la
formación del músculo rotatorio.
La mayoría de los movimientos que se efectúan con estos huesos y músculos en el
hombro se emularán con tres GDL, impulsados por motores eléctricos.
2.1.3.
El codo
El codo es una articulación de bisagra ubicada entre el extremo inferior del húmero, en la
parte superior del brazo y el extremo superior del radio y del cúbito en el antebrazo. El
brazo se flexiona y gira en el codo mediante los músculos bíceps de la parte superior del
brazo.
Para emular los movimientos del codo se requieren dos GDL y, de manera similar al
hombro, se harán con motores eléctricos ubicados cerca del hombro.
2.1.4.
La muñeca
La muñeca es la región donde se articula la mano con el antebrazo. Su esqueleto está
formado por los extremos inferiores de cúbito y radio y por el carpo. El extremo inferior del
radio, con forma de medio gajo de naranja, está en el lado del pulgar; presenta una carilla
para articular con la cabeza del cúbito y otra para la primera fila del carpo. Todos estos
huesos están unidos por múltiples ligamentos, dotando a la muñeca de movimientos de
flexión, extensión, desviación radial y cubital.
Para reproducir los movimientos de la muñeca se requieren dos GDL.
2-2
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
En la figura 2.1 se muestran algunos de los músculos y huesos que participan en los
movimientos de las partes del brazo mencionadas, así como los GDL distribuidos en el
brazo robótico. En la tabla 2.1 se muestran los valores posibles para estos movimientos.
θ2
θ1
θ3
θ6
θ5
θ7
θ4
Figura 2.1. Huesos y músculos del brazo humano y grados de libertad implementados.
Tabla 2.1. Rangos de movilidad del brazo humano [3]
Hombro
Codo
Muñeca
Humano estándar (º)
θ
-180 a 50
θ1
-90 a 90
θ2
-90 a 0
θ3
-145 a 0
θ4
-90 a 90
θ5
-55 a 25
θ6
-70 a 90
θ7
2-3
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
2.2.
Diseño del brazo robótico antropomórfico
Para el diseño del brazo robot se toman en cuenta las características mencionadas (en 2.1) y
las dimensiones de un brazo humano promedio. Los cálculos y consideraciones pertinentes
para justificar las especificaciones siguientes se detallan en el Anexo F.
2.2.1.
Especificaciones
Tabla 2.2. Especificaciones del brazo antropomórfico.
Estructura mecánica
Grados de libertad (GDL)
Rango de movimiento
Máximo radio de operación
Efector final
Realimentación
Actuadores
Características de los motores:
Hombro
Codo
Muñeca
Reducción (reductores armónicos):
Hombro
Codo
Muñeca
Velocidad máxima
Velmotor
vmáx =
( 360º )
60 Red poleas ( Redarmónicos )
Antropomórfica.
7 GDL
Ver tabla 2.1
0.750 m
Mano antropomórfica.
Encóder óptico en cada actuador.
Motores de CD, 24 VCD.
Hombro
Codo
Muñeca
300º/s y 100º/s
300º/s y 150º/s
360º/s
Reductores armónicos, poleas y
bandas dentadas
(
0.110 Nm, 220 W, 8000rpm
0.110 Nm, 220 W, 8000rpm
0.028 Nm, 23.2W, 6000rpm
1:160
1:160
1:100
)
Transmisión
Par máximo y par continuo en los
reductores armónicos:
Hombro
Codo
Muñeca
Carga máxima en el efector final
Masa del brazo
Continuo
47Nm
47Nm
5.4Nm
Máximo
75Nm
75Nm
7.7Nm
0.500 kg
12.5 kg
2-4
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
2.2.2.1.
Actuadores
Cada GDL del robot es operado por un motor de CD, Los motores a utilizar son de la marca
Faulhaber® [4] con las características que muestra la tabla 2.3:
Tabla 2.3. Selección de motores de la marca Faulhaber®.
Parte
Hombro
Codo
Muñeca
Designación
3863H024CHEDM5500J
3863H024CHEDM5500J
2642W024CRHEDM5500J
Voltaje
024V
024V
024V
Cant.
3
2
2
Figura 2.2. Motor marca Faulhaber®.
2.2.2.
Estructura
El brazo cuenta con siete GDL, la figura 2.3 muestra las articulaciones y eslabones del
brazo mecánico, así como las dimensiones del diseño final.
Figura 2.3. Articulaciones, eslabones y dimensiones del brazo robótico antropomórfico.
2-5
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
El material utilizado en el diseño es aleación de aluminio 6061 debido a su baja
densidad y buenas propiedades mecánicas, además de la facilidad para obtenerlo. Algunas
propiedades físicas importantes son:
Tabla 2.4. Propiedades físicas de la aleación 6061.
Propiedad
Módulo elástico
Módulo cortante
Densidad
Límite elástico
2.2.2.1.
Valor
6.9x109 N/m2
27x109 N/m2
2.7x103 kg/m3
41.3613x106 N/m2
Espacio de trabajo
La longitud de los eslabones y los grados de rotación de las articulaciones son las
dimensiones que determinan el espacio de trabajo del sistema, o sea que el espacio de
trabajo está delimitado directamente por la estructura del robot. La figura 2.4 muestra el
alcance del brazo robótico antropomórfico.
Figura 2.4. Espacio de trabajo del brazo.
2-6
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
2.2.3.
Sistema de transmisión y reducción
El movimiento de cada articulación es dado por un motor de CD asociado a ella, la
reducción se lleva a cabo mediante los reductores armónicos de la marca Harmonic Drive®
[5]. Algunos de estos reductores y motores están en acoplamiento directo (figura 2.5a) y
otros en acoplamiento indirecto (figura 2.5b) con ayuda de poleas y bandas dentadas.
a)
b)
Figura 2.5. Sistema de transmisión del brazo. a). Acoplamiento directo. b). Acoplamiento indirecto.
El reductor armónico está compuesto por tres elementos principales concéntricos
entre sí: un generador elíptico interior, una correa dentada flexible y una corona exterior
dentada rígida (figura 2.6). La correa flexible presenta 2 dientes menos que la corona
rígida. [5]
Figura 2.6. Reductor armónico comercial.
En la posición inicial, la parte elíptica, solidaria al eje del accionador, hace que la
correa flexible se acople a la corona exterior en los puntos determinados por su eje mayor;
al girar el eje del accionador, la correa se va adaptando de forma continua a la corona
exterior por los puntos de paso determinados por el eje mayor de la elipse. Cuando el eje
del accionador haya girado 360º, la corona exterior, solidaria al eje de la articulación, habrá
girado dos dientes.
En la tabla 2.5 se muestran las características principales de los reductores seleccionados:
2-7
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
Tabla 2.5. Selección de reductores Harmonic Drive®.
Tipo Ultra Flat
CSD
Hombro
Codo
Muñeca
Modelo
Dimensiones (mm)
Peso (kg)
Par (Nm)
Cantidad (pzas.)
CSD 25-160-2A-GR
110*22
0.51
47
3
CSD 25-160-2A-GR
110*22
0.51
47
2
CSD 14-100 – 2A –R
60*12.5
0.1
5
2
La selección de las bandas y de poleas se realizó tomando en cuenta el par máximo
entregado por los motores, así como los criterios propuestos por el fabricante de bandas y
poleas [6]. En la tabla 2.6 se muestra el cálculo para seleccionar las bandas y en la tabla
2.6a se muestra la selección de poleas, tanto para el motor, como para el reductor y su
respectiva banda.
Las bandas seleccionadas de catálogo son las más próximas a las obtenidas en los
cálculos. Para lograr el ajuste de las bandas los motores pueden moverse para ajustar la
distancia entre centros.
Tabla 2.6. Cálculo de bandas de la marca Misumi®.
GDL
Distancia
entre
centros C
(mm)
Diámetro
efectivo
de polea
grande
(DE) mm
Diámetro
efectivo
de la
polea
pequeña
(de) mm
1
2
3
4
5
6
7
87
80
--75
--63
35
64.68
64.68
----58.21
----21.99
21.99
16.17
16.17
----16.17
----9.06
9.06
Longitud Efectiva De La Banda
308.337
294.352
--------272.727
--------176.928
119.967
Longitu
d de la
banda
del
catálogo
304.8
289.56
-------264.16
-------176.78
119.89
Banda
Seleccionada
TBN120XL037
TBN114XL037
------------TBN104XL037
------------TBN87MXL037
TBN59MXL037
Tabla 2.6a. Selección de poleas y bandas de la marca Misumi®.
Elemento
Polea para:
Motor
Reductor
Bandas
Hombro
ATP14MXL025-K
ATP42MXL025-B
TBN120XL037
TBN114XL037
Codo
ATP14MXL025-K
ATP28MXL025-B
TBN104XL037
Muñeca
ATP16MXL025-K
ATP16MXL025-K
TBN87MXL037
TBN59MXL037
2-8
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
2.3.
Detalles del brazo robótico antropomórfico
Figura 2.7. Detalles del brazo robótico antropomórfico, parte 1.
Motores de la
mano
Figura 2.8. Detalles del brazo robótico antropomórfico, parte 2.
2-9
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
En la figura 2.7 y 2.8 se detallan las partes que componen al brazo robótico
antropomórfico, la tabla 2.7 muestra sus características:
Tabla 2.7. Partes del brazo robótico antropomórfico.
Número
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
Parte
Motor CD hombro 1
Soporte para motor
Polea dentada
Banda dentada
Polea dentada
Eje para HD
Base para brazo
HD hombro 1
Motor CD hombro 2
Eslabón hombro 1
HD hombro 2
Eslabón hombro 2
Banda dentada
Polea dentada
Polea dentada
HD hombro 3
Eslabón codo 1
HD codo 1
Banda dentada
Polea dentada
Eje para HD
Polea dentada
Motor CD hombro 3
Motor CD codo 1
Eslabón codo 2
Motor CD codo 2
HD codo 2
Eslabón antebrazo
Polea dentada
Banda dentada
Eje para HD
HD muñeca 1
Eslabón muñeca 1
Motor CD muñeca 1
Polea dentada
Designación
3863H024CHEDM5500J
Diseño
Catálogo
X
X
ATP23MXL025-B-H6
TBN120XL037
ATP46MXL025-B-H8
X
X
X
X
X
CSD 25-160-2A-GR
3863H024CHEDM5500J
X
X
X
CSD 25-160-2A-GR
X
X
TBN114XL037
ATP23MXL025-B-H6
ATP46MXL025-B-H8
CSD 25-160-2A-GR
X
X
X
X
X
CSD 25-160-2A-GR
TBN104XL037
ATP14MXL025-K-H4
X
X
X
X
ATP14MXL025-K-H4
3863H024CHEDM5500J
3863H024CHEDM5500J
X
X
X
X
3863H024CHEDM5500J
CSD 25-160-2A-GR
X
X
X
ATP14MXL025-K-H4
TBN104XL037
X
X
X
CSD 14-100 – 2A –R
X
X
2642W024CRHEDM5500J
ATP16MXL025-K-H5
X
X
2-10
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
2.4.
Extensión polea entada
Polea dentada
Banda dentada
Polea dentada
Eje para HD
HD muñeca 2
Motor CD muñeca 2
Eslabón muñeca 2
Eslabón muñeca 3
Mano antropomórfica
X
ATP16MXL025-K-H5
TBN87MXL037
ATP16MXL025-K-H5
X
X
X
X
CSD 14-100 – 2A –R
2642W024CRHEDM5500J
X
X
X
X
X
Resumen
El brazo robótico antropomórfico diseñado es capaz de flexionarse y colocarse en
cualquier posición dentro de su espacio de trabajo (fig. 2.4), tal como lo hace un brazo
humano promedio; los siete GDL con que cuenta son suficientes para lograrlo.
Para el diseño se consideraron algunas especificaciones y restricciones como:
dimensiones, actuadores, reducción, carga máxima, sistema de transmisión y reducción,
entre otras.
El diseño final del brazo tiene una masa aproximada de 12.5 kg. con capacidad de
manipular 0.5 kg. en su efector final.
La distribución, ubicación y orientación de los actuadores permite un amplio rango
de movimientos, limitado únicamente por la característica de antropomorfismo, ya que el
brazo robótico diseñado es capaz de alcanzar posiciones que un brazo humano no puede
lograr por limitaciones físicas.
El sistema de reducción es a base de un mecanismo conocido como Harmonic Drive
o reductor armónico. El motivo de seleccionar este tipo de reductor es su alta reducción y
alto par de salida, así como su tamaño reducido. El sistema de transmisión empleado es
acoplamiento directo, y poleas y bandas en algunos casos.
El efector final es una mano robótica antropomórfica de quince GDL, que puede ser
colocada y orientada en cualquier posición en semejanza a la mano humana, para tomar y
manipular objetos en el espacio de trabajo.
2-11
Capítulo 2: Diseño mecánico del brazo robótico antropomórfico
2.5.
Bibliografía
[1]
TORRES, F.; POMARES, J.; GIL, P.; PUENTE, S. T., Y ARACIL, R.
“Robots y sistemas sensoriales”.
Prentice Hall, Pearson Educación, S.A.
Madid, España, 2002.
[2]
http://www.roboticajoven.mendoza.edu.ar/rob_mec7.htm
[3]
Kenji Kaneko, Fumio Kanehiro, Shuuji Kajita, Kazuhiko Yokohama,
Kazuhiko Akachi, Toshikazu Kawasaki, Shigehiko Ota, and Takakatsu
Isozumi,
“Design of Prototype Humanoid Robotics Platform for HRP “, Proceedings of the
2002 IEEE/RSJ Intl. Conference on Intelligent Robots and Systems EPFL,
Lausanne, Switzerland, October 2002.
[4]
http://www.faulhaber-group.com/n41799/n.html
[5]
Harmonic Drive Technologies.
www.hdsi.net
[6]
Catálogo Misumi.
“Mechanics Standard Components for Factory Automation, 2001.5-2002.4”
2-12
Capítulo 3
Diseño Mecánico de la Mano Robótica Antropomórfica
Introducción
Tomar un objeto y manipularlo es una actividad que parece muy natural y hasta simple, ya
que se realiza sin esfuerzo [2]. Pero la realidad es que todo aquél que ha querido darle esta
capacidad a una máquina, ha descubierto que se trata de una tarea difícil de implementar.
Además de la cantidad de articulaciones que se necesitan para darle versatilidad a
una mano robótica, se necesita sensibilidad táctil. Para que se puedan mover las falanges
como lo hacen, los dedos de la mano humana poseen 3 articulaciones cada uno (15 en total
en toda la mano). A éstas hay que agregarles la articulación principal de la muñeca.
De ellas, seis son juntas de doble eje de movimiento o "universales". Traducido a
actuadores, o motores, para hablar en términos sencillos, esto significa que para mover una
mano de manera diestra deben actuar orquestadamente 21 de estos actuadores, todos ellos
ubicados en un espacio bastante acotado.
La mano humana tiene una destreza para realizar tareas que son casi imposibles de
realizar con cualquier otra parte del cuerpo o por cualquier otro ser viviente.
Un brazo robótico antropomórfico debe contar con un manipulador que vaya acorde
al sistema en sí, es por ello que se diseñó la mano robótica que se presenta a continuación.
3-1
Capítulo 3: Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
3.1.
Características de la mano humana
Para diseñar y especificar la mano robot se necesita estudiar las características principales
de la mano humana.
3.1.1.
La mano humana
Es capaz de maniobrar casi en cualquier posición que se desee, para ello, se basa en la
destreza de sus dedos y la habilidad de la muñeca para acomodarla en dicha posición.
3.1.2.
Anatomía de la mano [1]
La mano humana y la muñeca se componen de 27 huesos: 14 huesos son falanges en
los dedos, 5 metacarpianos en el área de la palma, y 8 carpos en la muñeca, como se ve en
la Figura 3.1.
Figura 3.1. Huesos que conforman la mano y la muñeca.
3.1.3.
Movimientos de la mano humana [2]
La articulación de la muñeca tiene dos GDL de movimientos. Los dedos también tienen dos
grados de libertad en su articulación con la palma (llamada metacarpofalangeal, ya que
articula la falange proximal con el hueso metacarpiano). Los movimientos laterales que
permiten abrir los dedos (llamados de aducción y abducción) son limitados, pero los
movimientos de flexión y extensión son extremadamente amplios.
3-2
Capítulo 3: Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
El dedo pulgar tiene una movilidad excepcional (por esto es bastante útil en las
habilidades de manipulación) y los otros cuatro dedos se mueven de manera limitada en
sentido lateral, aunque su capacidad de flexión (para abrir y cerrar la mano) es muy buena.
Esta capacidad de flexionar así los dedos es muy importante para la habilidad de atrapar
objetos y mantenerlos con seguridad.
Para el diseño de la mano robot, solo se tomaron en cuenta los movimientos de
flexión y extensión de las falanges de los dedos [2], sin tomar en cuenta los movimientos de
aducción y abducción (figura 3.2), ya que la importancia de estos movimientos para
manipular objetos no es muy relevante.
Con 2 actuadores por dedo es posible realizar sus movimientos de flexión y
extensión, debido a que el tercer grado de libertad se subactúa con el segundo, ya que es
imposible o casi imposible separar estos movimientos. La figura 3.3 muestra las
articulaciones del dedo donde se lleva a cabo el movimiento. Por la importancia del
movimiento del dedo pulgar se tomaron en cuenta los 3 GDL independientemente.
Figura 3.2. Movimientos de aducción y abducción. [2]
Figura 3.3. La mano humana y sus articulaciones. [2]
3-3
Capítulo 3: Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
Tabla 3.1. Rango de movilidad de un dedo humano [3]
3.2.
Gdl
Articulación
Humano estándar (º)
θ
1
Metacarpofalangeal (AMF)
90º
θ1
2
Interfalange proximal (AIP)
110º
θ2
3
Interfalange distal (AID)
60-70º
θ3
Diseño de la mano robótica antropomórfica
Para el diseño de la mano se toman en cuenta las características mencionadas (en 3.1) y las
dimensiones de una mano humana promedio. Los cálculos y análisis necesarios para
especificar el sistema se detallan en el Anexo F.
3.2.1.
Especificaciones
La tabla 3.2 muestra las especificaciones de la mano robótica antropomórfica.
Tabla 3.2. Especificaciones de la mano antropomórfica.
Estructura mecánica
Grados de libertad (GDL)
Rango de movimiento:
Falange proximal
Falange medial
Falange distal
Realimentación
Actuadores
Capacidad de los motores
Transmisión
Carga máxima estimada
Longitud máxima de la mano
(De la punta del dedo medio al
inicio de la muñeca)
Masa de la mano
3.2.2.1.
Antropomórfica.
15 GDL (4 subactuados).
Ver tabla 3.1
90º
110º
60-70º
Encóder óptico en cada GDL
Motores de CD, 12 VCD.
0.110 Nm, 220 W, 8000 rpm
Reductores, poleas y cables.
0.500 kg.
0.219 m.
0.445 kg.
Actuadores
Cada GDL del robot es operado por un motor de CD, Los motores que se busca utilizar son
de la marca Faulhaber® [4] con las características que muestra la tabla 3.3:
Tabla 3.3. Selección de motores de la marca Faulhaber®.
Designación
3863H024CHEDM5500J
Voltaje
12V
Cant.
11
3-4
Capítulo 3: Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
3.2.2.
Estructura
La mano diseñada puede analizarse en 2 partes: sus dedos y su palma. Los dedos son los
encargados de maniobrar y sujetar las piezas que se desee. La palma juega una función
esencial en la sujeción de las piezas y el ensamble con la muñeca del brazo robótico
antropomórfico.
3.2.2.1.
Estructura de un dedo
Cada dedo de la mano robótica cuenta con 3 GDL. Para facilidad en el diseño, se decidió
subactuar el último grado de libertad, entre la falange medial y la falange distal a excepción
del dedo pulgar. En la figura 3.4 se muestra el diseño de uno de los dedos.
Figura 3.4. Diseño de un dedo de la mano antropomórfica.
3.2.2.2.
Sistema de transmisión
El movimiento dotado a la falange medial se transmite a la falange distal a través de
engranes en serie. Se aplica una reducción en la transmisión de movimiento para cumplir
con los rangos de movilidad de la tabla 3.1. La reducción del ángulo de giro se obtiene con
la fórmula:
α2 ≈
7
α1
11
donde:
α 1 = Giro de la falange medial, y
α 2 = Giro de la falange distal.
Se pueden observar las poleas, a las cuales se transmite el movimiento de los
actuadores por medio de cables de acero flexible con funda plástica. Los topes detienen la
funda, y permiten que pase sólo el cable a la polea. La manera de asegurar que el cable se
enrolle en la polea al regresar el dedo a su posición inicial es por medio de un resorte en
cada GDL accionado, tal como se muestra en la figura 3.5:
3-5
Capítulo 3: Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
Figura 3.5. Sistema de transmisión para los dedos.
El movimiento rotatorio del motor se convierte en lineal con un arreglo de 2 poleas
en la base de la muñeca y se transmite con un cable delgado de acero a través de la funda
plástica, al llegar a la parte donde se encuentra la articulación a accionar el movimiento se
convierte de nuevo en giratorio por una polea.
La presión que puede ser ejercida por cada dedo se puede calcular considerando el
área de contacto y el par proporcionado por los motores en cada falange (figura 3.6).
Figura 3.6. Presión ejercida en un dedo.
Las áreas de contacto, los pares y las distancias tienen los valores:
A1 = ( 0.015m ) = 0.00025m 2
2
A2 = ( 0.0125m ) = 0.015625m 2
2
A3 = ( 0.01m ) = 0.0001m 2
2
T1 = T2 = 0.11Nm
d1 = 0.025m
d 2 = 0.015m
d3 = 0.015m
x1 = 0.05m
x2 = 0.03m
Para calcular la presión P1 se aplica la fórmula de la presión sobre determinada área:
P1 =
F1 1 T1
1
0.11Nm
N
=
=
= 17600 2
2
A1 A1 d1 ( 0.00025m ) ( 0.025m )
m
3-6
Capítulo 3: Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
P1 es la presión máxima que se ejerce sobre la falange proximal debida al par T1 .
Este valor de presión da una idea de la masa que se puede soportar como máximo, y se
calcula tomando en cuenta la fuerza que se ejerce por cm 2 , de la cual se obtiene la masa:
P1 = 17600 N m 2 = 1.76 N cm 2
1.76 N ⇒
0.176 kgm s 2
= 0.1794kg = 179.4 gr
9.81 m s 2
De forma similar, las presiones P2 y P3 se obtienen con las ecuaciones:
P2 =
1
A2
⎡ T1
T ⎤
+ 2⎥
⎢
⎣ x1 + d 2 d 2 ⎦
y
P3 =
1
A3
⎡
T1
T2 ⎤
+
⎢
⎥
⎣ x1 + x2 + d3 x2 + d3 ⎦
P2 = 57764.1025 N m 2 = 5.7764 N cm 2 ⇒ 0.5888kg = 588.8 gr
P3 = 36023.3 N m 2 = 3.6023 N cm2 ⇒ 0.3672kg = 367.2 gr
Los valores obtenidos indican la carga máxima que se soporta por cada falange
individualmente. Estos valores serán próximos a los valores reales, que se pueden obtener
estimando la fricción dinámica presente en el sistema de transmisión.
3.2.2.3.
Estructura de la palma
El diseño de la palma permite ensamblar la mano con la muñeca para completar el sistema
mano-brazo-antebrazo. La palma está diseñada para sostener los dedos de la mano y para
sujetar los objetos a tomar en conjunción con los dedos. El diseño de la palma se muestra
en la figura 3.7.
Figura 3.7. Mano robot antropomórfica (palma y dedos).
3-7
Capítulo 3: Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
Figura 3.8. Vista isométrica de la mano robótica antropomórfica con algunas dimensiones.
3.3.
Detalles de la mano robótica antropomórfica
Como se muestra en la figura 3.9, ocho piezas fundamentales forman la palma (ver
tabla 3.4) de las cuales dos constituyen el exterior de la palma y están diseñadas de
manera que sus superficies tienen geometrías complejas en 3D que asemejan la mano
humana.
Figura 3.9. Detalles de la mano robótica antropomórfica.
Tabla 3.4. Partes de la mano.
Número
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Parte
Palma
Parte superior mano
Dedo pulgar
Dedo índice
Dedo medio
Dedo anular
Dedo meñique
Tornillos M2
Diseñada
X
X
X
X
X
X
X
Catálogo
X
3-8
Capítulo 3: Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
3.3.1.
Detalles de un dedo
En la tabla 3.5 se listan las piezas del dedo, diseñadas y seleccionadas.
Figura 3.10. Detalles de un dedo la mano robótica antropomórfica.
Tabla 3.5. Partes de un dedo de la mano.
Número
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Parte
Base dedo
Falange proximal 1
Falange medial 1
Falange distal 1
Eje dedo
Tren de engranes
Polea dedo
Resorte dedo
Falange proximal 2
Tornillo M2
Falange medial 2
Falange distal 2
Diseñada
X
X
X
X
X
Catálogo
X
X
X
X
X
X
X
3-9
Capítulo 3: Diseño mecánico de la mano robótica antropomórfica
3.4.
Resumen
Un sistema robótico antropomórfico completo debe contar con un sistema de
posicionamiento (brazo) para alcanzar los lugares donde se desee manipular un objeto y un
efector final (mano) para realizar las tareas de manipulación.
Para el brazo del capítulo 2 se diseñó la mano robótica antropomórfica presentada
en este capítulo. Esta mano es capaz de realizar muchos de los movimientos que realiza una
mano humana. El total de GDL implementados es de 15, donde se necesitan 11 actuadores
ya que 4 de ellos son subactuados. Estos GDL subactuados se encuentran en las
articulaciones interfalange distal de cada dedo (el dedo pulgar no se subactuó por la
importancia de sus movimientos).
El motivo de subactuar estos 4 GDL es porque se ahorra en costo de motores y se
reduce el peso total del sistema, además que estos 4 GDL actúan de manera similar en una
mano humana normal.
Para diseñar la mano se tomaron en cuenta algunas restricciones y especificaciones
como son: actuadores, longitud de la mano, peso, cantidad de dedos, sistema de transmisión
y otras. Según estas especificaciones, la mano diseñada pesa aproximadamente 0.445kg. y
es capaz de manipular una masa de 0.5kg.
El sistema de tracción es con motores de CD con realimentación por encóder óptico,
la caja de reducción es proporcionada por el proveedor de lo motores, la transmisión de
movimiento se hace a través de un sistema de poleas y cables rígidos, la posición del dedo
es controlada directamente por la posición del motor.
3.5.
Bibliografía
[1]
FUENTES SANTOYO, Rogelio; DE LARA GALINDO, Salvador.
“Corpus: Anatomía humana general”.
Ed. Trillas. 1997,
[2]
http://robots-rgentina.com.ar/Actuadores_manos.htm
[3]
STEINDLER A.
”Kinesiology of the human body under normal and pathological Conditions”.
Thomas, Springfield, IL, 1955.
[4]
http://www.faulhaber-group.com/n41799/n.html
3-10
Capítulo 4
Validación del Diseño Mecánico del
Sistema Robótico Antropomórfico
Introducción
Es necesario comprobar la movilidad del sistema diseñado para verificar que cumpla con
los objetivos del proyecto, así como calcular los pares necesarios en los actuadores para
mover el sistema de la manera deseada.
El objetivo del brazo es posicionar al efector final del sistema (mano robótica
antropomórfica) en un punto en particular en el espacio; una vez que la mano se ubica en
tal punto, realiza la acción pertinente, ya sea tomar, dejar o mover un objeto.
La cinemática del robot estudia su movimiento con respecto a un sistema de
referencia y proporciona su descripción analítica espacial como una función del tiempo y, en
particular, describe la relación entre la posición y la orientación del extremo final del robot
con respecto a sus coordenadas articulares.
Existen dos problemas fundamentales a resolver en la cinemática del robot; el
primero de ellos se conoce como problema cinemático directo, y consiste en determinar la
posición y orientación del extremo final del robot, respecto a un sistema de coordenadas
que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros
geométricos de los elementos del robot. El segundo, denominado problema cinemático
inverso, resuelve la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación
del extremo conocidas [1].
Figura 4.1. Diagrama de relación entre cinemática inversa y directa.
Para posicionar y orientar el extremo final de un robot en el espacio debe contar
con, al menos, 6 GDL. El brazo robótico diseñado cuenta con 7 GDL, que le permiten
posicionar y orientar la mano diseñada dentro del espacio de trabajo delimitado por sus
dimensiones. Contar con 7 GDL, vuelve redundante al brazo en uno de ellos y complica los
cálculos para obtener la cinemática inversa.
4-1
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
4.1.
Representación de Denavit-Hartenberg del brazo robótico
Denavit y Hartenberg propusieron un método sistemático para describir y representar la
geometría espacial de los elementos de una cadena cinemática, y en particular de un robot,
con respecto a un sistema de referencia fijo (fig. 4.2).
Figura 4.2. Representación de Denavit-Hartenberg del brazo robótico antropomórfico.
El proceso consiste en fijar un sistema de coordenadas a cada enlace, que se moverá
con él, de acuerdo a un conjunto de normas fijas. Luego, identificar ciertos parámetros
geométricos que lo relacionan con el sistema fijo al siguiente enlace, y usarlos para escribir
una matriz de transformación homogénea entre cada par de sistemas.
Finalmente, el producto de todas las matrices de transformación generará la matriz
de transformación homogénea T que relaciona el sistema solidario al punto terminal con un
sistema de referencia fijo arbitrariamente escogido.
En la tabla 4.1 y 4.2 se muestran los parámetros de D-H del sistema robótico diseñado.
Tabla 4.1. Parámetros de Denavit y Hartenberg del brazo.
Eslabón/
Parámetro
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
αi
90º
-90º
90º
-90º
90º
-90º
0
ai
0
0
0
0
0
a6
a7
θi
θ1
θ2
θ3
θ4
θ5
θ6
θ7
di
d1
0
d3
0
d5
0
0
4-2
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
Tabla 4.2. Parámetros de Denavit y Hartenberg para la mano.
Eslabón/
Parámetro
1.
2.
3.
αi
0
0
0
ai
a1
a2
a3
θi
θ1
θ2
θ3
di
0
0
0
Donde:
α i = ángulos entre ejes z.
ai = distancia entre ejes z.
θi = ángulos entre ejes x.
di = distancia entre ejes x.
Con estos parámetros se construyen las matrices de transformación homogéneas
para cada articulación, definidas como:
⎡cos (θi ) − cos (α i ) sin (θi ) sin (α i ) sin (θi ) ai cos (θi ) ⎤
⎢
⎥
sin (θi ) cos (α i ) cos (θi ) − sin (α i ) cos (θi ) ai sin (θi ) ⎥
⎢
Ai =
⎢ 0
⎥
sin (α i )
cos (α i )
di
⎢
⎥
0
0
1
⎣ 0
⎦
4.2.
Cinemática directa del sistema robótico antropomórfico
4.2.1.
Cinemática directa del brazo
Se establecen y resuelven las relaciones para el brazo y los dedos de la mano:
p = f (θ1 ,θ 2 ,θ3 ,θ 4 ,θ 5 ,θ 6 ,θ 7 )
r = f ( q1 , q2 , q3 )
donde:
p es el vector de posición del efector final y
r es el vector de posición de la punta de los dedos.
q son las coordenadas generalizadas del brazo robótico.
es decir, dados los valores de los giros de las articulaciones conocer el punto del espacio en
que se halla la mano y la posición de sus dedos.
4-3
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
Para el brazo de siete grados de libertad, la matriz de transformación homogénea
T7 que indica la localización del sistema asociado al efector final del robot con respecto a
la base del robot está representada mediante:
0
⎡ nx
⎢n
0
T7 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 = ⎢ y
⎢ nz
⎢
⎣0
ox
oy
oz
0
px ⎤
p y ⎥⎥
pz ⎥
⎥
1⎦
ax
ay
az
0
Desarrollando los términos de 0 T7 se obtiene:
n x = C 7C 6C 5C 4C 3C 2C 1 − C 7C 6C 5C 4 S1S 3 − C 7C 6C 5C 1S 2 S 4 − C 7C 6C 2C 1S 5 S 3 −
C 7C 6C 3 S 5 S1 − C 7C 3C 2C 1S 6 S 4 + C 7 S 6 S 4 S 3 S1 − C 7C 4C 1S 6 S 2 − C 4C 3C 2C 1S 7 S 5
+ C 4 S 7 S 5 S 3 S1 + C1S 7 S 5 S 4 S 2 − C 5C 2C1S 7 S 3 − C 5C 3 S 7 S1
n y = C 7C 6C 5C 4C 3C 2 S1 + C 7C 6C 5C 4C 1S 3 − C 7C 6C 5 S1S 2 S 4 − C 7C 6C 2 S 5 S 3 S1 +
C 7C 6C 3C 1S 5 − C 7C 3C 2 S 6 S 4 S1 − C 7C 1S 6 S 4 S 3 − C 7C 4 S 6 S 2 S1 − C 4C 3C 2 S 7 S 5 S1
− C 4C 1S 7 S 5 S 3 + S 7 S 5 S 4 S 2 S1 − C 5C 2 S 7 S 3 S1 + C 5C 3C 1S 7
n z = C 7C 6C 5C 4C 3 S
+ C 7C 6C 5C 2 S
2
C 7C 4C 2 S 6 − C 4C 3S 7 S 5S
4
− C 7C 6S5S3S
− C 2S7S5S
2
− C 7C 3S 6S 4S
2
− C5S7S3S
4
2
+
2
O x = − C 6C 5C 4C 3C 2C1S 7 + C 6C 5C 4 S 7 S 3 S1 + C 6C 5C1S 7 S 4 S 2 + C 6C 2C1S 7 S 5 S 3 +
C 6C 3 S 7 S 5 S1 + C 3C 2C1S 7 S 6 S 4 − S 7 S 6 S 4 S 3 S1 + C 4C1S 7 S 6 S 2 − C 7 C 4C 3C 2C1S 5 +
C 7C 4 S 5 S 3 S1 + C 7 C1S 5 S 4 S 2 − C 7C 5C 2C1S 3 − C 7C 5C 3 S1
O
y
= − C 6C 5C 4C 3C 2 S 7 S1 − C 6C 5C 4C 1S 7 S 3 + C 6C 5 S 7 S 4 S 2 S1 + C 6C 2 S 7 S 5 S 3 S1 −
C 6C 3C 1S 7 S 5 + C 3C 2 S 7 S 6 S 4 S1 + C 1S 7 S 6 S 4 S 3 + C 4 S 7 S 6 S 2 S1 − C 7C 4C 3C 2 S 5 S1 −
C 7C 4C 1S 5 S 3 + C 7 S 5 S 4 S 2 S1 − C 7C 5C 2 S 3 S1 + C 7C 5C 3C 1
O
z
= C
C
a
x
6
4
C
C
5
2
C
S
4
7
C
S
6
3
S
7
S
− C
2
7
− C
C
= − C 5C 4C 3C 2C 1S
4
6
C
6
3
C
S
5
5
C
S
y
S
7
S
− C
4
7
C
+ C
2
S
6
5
S
S
4
7
S
5
S
− C
3
7
S
2
C
5
+ C
S
+ C 5C 2 S 6 S 3 S1 + C 5C 1S 6 S 4 S
C 3 S 6 S 5 S1 + C 6C 3C 2C 1S
a
2
2
4
3
2
S
3
S
7
S
6
S
4
S
2
−
2
+ C 2C1S 6 S 5S
− C 6 S 4 S 3S1 + C 6C 4C1S
3
2
= − C 5C 4C 3C 2 S 6 S1 − C 5C 4C 1S 6 S 3 + C 5 S 6 S 4 S 2 S1 + C 2 S 6 S 5 S 3 S1 −
C 3C 1S 6 S 5 + C 6C 3C 2 S 4 S1 + C 6C 1S 4 S 3 + C 6C 4 S 2 S1
4-4
+
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
a
z
= − C 5C 4C 3 S 6 S
− C 6C 4C
p
x
2
− C 5C
2
S6S
+ S6S5S3S
4
2
+ C 6C 3S 4 S
2
2
= d 5 S 4 S 3 S1 − d 5C 4C 1S
2
− d 3C 1S
a7C 4S 7 S 5S 3S1 + a7C1S 7 S 5S 4 S
4
− a 7C 5C 2C 1S 7 S 3 − a 6C 6C 5C 4 S 3 S1 +
− a7C 7C 4C1S 6 S
2
a 7C 7C 6C 3 S 5 S1 − a 6C 3C 2C 1S 6 S
d 5C 3C 2C 1S
2
4
− a 6C 6C 5C 1S 4 S
+ a6 S 6 S 4 S 3S1 − a6C 4C 1S 6 S
a 7C 7C 3C 2C 1S 6 S
4
2
+ a7C 7 S 6S 4S 3S1 −
2
2
− a6C 6C 2C1S 5S 3 −
+ a 7C 7C 6C 5C 4C 3C 2C 1 −
− a 7C 4C 3C 2C 1S 7 S 5 + a 6C 6C 5C 4C 3C 2C 1 −
a7C 7C 6C 5C 4 S 3 S1 − a 7C 5C 3 S 7 S1 − a6C 6C 3 S 5 S1 − a7C 7C 6C 5C 1S 4 S
2
a7C 7C 6C 2C 1S 5S 3
p
y
= − d 3 S 2 S 1 − a 7C 4C 3C 2 S 7 S 5 S 1 − a 7C 4C 1S 7 S 5 S
a 7C 7C 6C 5C 4C 1S
3
3
+ a 7 C 7 C 6C 5C 4C 3C 2 S 1 +
− a 7C 7C 6C 5 S 4 S 2 S 1 − a 7C 7C 6C 2 S 5 S 3 S 1 + a 7C 7C 6C 3C 1S
a 7C 7C 1S 6 S 4 S 3 + a 7 S 7 S 5 S 4 S 2 S 1 − a 7C 5C 2 S 7 S 3 S 1 + a 7C 5C 3C 1S
a 6C 6C 5C 4C 3C 2 S 1 + a 6C 6C 5C 4C 1S
3
7
5
−
+
− d 5C 1S 4 S 3 − d 5C 4 S 2 S 1 −
a 6C 6C 5 S 4 S 2 S 1 − a 6C 6C 2 S 5 S 3 S 1 + a 6C 6C 3C 1S 5 − a 6C 3C 2 S 6 S 4 S 1 −
a 6C 1S 6 S 4 S 3 − a 6C 4 S 6 S 2 S 1 − d 5C 3C 2 S 4 S 1 − a 7 C 7 C 3C 2 S 6 S 4 S 1 − a 7 C 7 C 4 S 6 S 2 S 1
p Z = a 7C 7C 6C 5C 4C 3 S 2 + a 7C 7C 6C 5C 2 S 4 − a 7C 7C 6 S 5 S 3 S 2 − a 7C 7C 3 S 6 S 4 S 2 +
a 7C 7C 4C 2 S 6 − a 7C 4C 3 S 7 S 5 S 2 − a 7C 2 S 7 S 5 S 4 − a 7C 5 S 7 S 3 S 2 + a 6C 6C 5C 4C 3 S 2 +
a 6C 6C 5C 2 S 4 − a 6C 6 S 5 S 3 S 2 − a 6C 3 S 6 S 4 S 2 + a 6C 4C 2 S 6 − d 5C 3 S 4 S 2 +
d 5C 4C
2
+ d 3C
2
+ d1
donde:
Si = sin (θ i )
Ci = cos (θ i )
d i = distancias entre ejes x del eslabón i-1 e i
ai = distancias entre ejes z del eslabón i-1 e i
Estas ecuaciones dan el valor de la posición ( px , p y , pz ) y orientación (n, o, a) del
extremo del robot en función de las coordenadas articulares ( θ1 ,θ 2 ,θ3 ,θ 4 ,θ5 ,θ 6 ,θ 7 ).
4.2.2.
Cinemática directa de la mano
Para un dedo de la mano con 3 grados de libertad la matriz de transformación
homogénea 0 T3 , que indica la posición de los eslabones del dedo, queda:
4-5
−
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
⎡ nx
⎢n
0
T3 = A1 A2 A3 = ⎢ y
⎢ nz
⎢
⎣0
ox
oy
oz
0
ax
ay
az
0
px ⎤
p y ⎥⎥
pz ⎥
⎥
1⎦
Los términos que se obtienen son:
px = a3 ( C1C23 − S1S 23 ) + a2C12 + a1C1
nx = C1C23 − S1S23
ox = −C1S 23 + S1C23
ax = 0
n y = S1C23 + C1S23
o y = C1C23 − S1S 23
ay = 0
p y = a3 ( S1C23 + C1S 23 ) + a2 S12 + a1S1
nz = 0
oz = 0
az = 1
pz = 0
Donde:
Si = sin ( qi )
Cij = cos ( qi ) cos ( q j ) − sin ( qi ) sin ( q j )
Ci = cos ( qi )
ai = longitud del eslabón i
Sij = sin ( qi ) cos ( q j ) + cos ( qi ) sin ( q j )
Estas ecuaciones dan el valor de la posición ( px , p y , pz ) de los dedos de la mano en
función de las coordenadas articulares ( q1 , q2 , q3 ). Donde q3 = kq2 ya que q3 es subactuado
(excepto en el dedo pulgar).
Las ecuaciones mostradas para la posición y orientación del brazo y la mano se
verificaron con Matlab®; se dieron valores a los ángulos para llegar a ciertas posiciones
conocidas y se comprobó su veracidad. Como se muestra en la sección 4.5, se simularon los
resultados y se verificaron gráfica y visualmente con simulaciones, en visualNastran®
enlazado con Matlab®.
4.3.
Cinemática inversa del sistema robótico antropomórfico
4.3.1.
Cinemática inversa del brazo
El objetivo del problema cinemático inverso es encontrar los valores que deben adoptar las
T
coordenadas articulares del robot θ = [θ1 , θ 2 ...θ 7 ] para que su extremo se posicione y
oriente según una localización espacial específica.
El problema cinemático inverso se solucionó con el método de desacoplo
cinemático, que consiste en separar la posición y orientación del efector final [1]. Para ello,
dada una posición y orientación final deseadas se establecen las coordenadas de los 3
últimos ejes calculándose los valores de las primeras variables articulares ( θ1 ,θ 2 , θ3 , θ 4 )
que consiguen posicionar este punto. A continuación, a partir de los datos de orientación y
de los ya calculados ( θ1 ,θ 2 , θ3 , θ 4 ) se obtiene el resto de las variables articulares ( θ5 , θ 6 ,θ 7 ).
4-6
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
Para obtener las variables articulares θ1 , θ 2 ,θ3 , θ 4 que nos dan la posición de la
muñeca del robot, se utiliza una submatriz de la matriz de transformación homogénea 0 T7 ,
denominada Td = 0 T4 = A1 A2 A3 A4 ; se tiene entonces que:
Td = 0 T4 = A1 A2 A3 A4
k = 1 ( A1 ) −1Td = A2 A3 A4
k = 2 ( A2 ) −1 ( A1 ) −1Td = A3 A4
k = 3 ( A3 ) −1 ( A2 ) −1 ( A1 ) −1Td = A4
⎡n o a p ⎤
Además, Td = ⎢
⎥ es conocida ya que son los valores de posición y
⎣0 0 0 1 ⎦
orientación deseados, los miembros de la izquierda en las expresiones anteriores son
función de variables articulares ( θ1 ,...θ k ) mientras que los miembros de la derecha lo son de
las variables articulares ( θ k +1 ,...θ 4 ). De este modo se obtienen las variables articulares
θ1 ,θ 2 , θ3 , θ 4 :
⎛ py ⎞
⎟
⎝ px ⎠
θ1 = tan −1 ⎜
⎛
θ 2 = tan −1 ⎜ −
⎝
px cos (θ1 ) + p y sin (θ1 ) ⎞
⎟
pz − d1
⎠
⎛
⎞
ax sin (θ1 ) + a y cos (θ1 )
⎜ a cos (θ ) cos (θ ) + a sin (θ ) cos (θ ) + a sin (θ ) ⎟⎟
1
2
y
1
2
z
2 ⎠
⎝ x
θ 3 = tan −1 ⎜
⎛ − a x ( c o s (θ 1 ) c o s (θ 2 ) c o s (θ 3 ) − s in (θ 1 ) s in (θ 3 ) ) ⎞
⎜
⎟
⎜ − a y ( s in (θ 1 ) c o s (θ 2 ) c o s (θ 3 ) + c o s (θ 1 ) s in (θ 3 ) ) ⎟
⎜
⎟
⎟
− 1 ⎜ − a z s in (θ 2 ) c o s (θ 3 )
θ 4 = ta n ⎜
⎟
− a x c o s (θ 1 ) s in (θ 2 )
⎜
⎟
⎜
⎟
− a y s in (θ 1 ) s in (θ 2 )
⎜
⎟
⎜
⎟
+ a z c o s (θ 2 )
⎝
⎠
Para obtener los valores de θ5 , θ 6 ,θ 7 , que consiguen la orientación deseada de la
mano, se denomina 0 R7 ( 3x3) a la submatriz de rotación de 0 T7 y Bi a las submatrices de
rotación de las matrices Ai , entonces:
0
R7 = [n o a ] = 0 R4 4 R7
4-7
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
Donde 0 R7 es conocida por ser la orientación deseada del extremo del robot, y 0 R4
definida por:
0
R4 = B1 B2 B3 B4
también es conocida, por lo que
4
T
R7 = [rij ] = ⎡⎣ 0 R4 ⎤⎦ [n o a]
tendrá sus componentes numéricas conocidas. Por otra parte
4
R7 corresponde a la
submatriz de rotación de la matriz de transformación homogénea 4 T7 que relaciona el
sistema de coordenadas 4 con el 7, por lo tanto:
4
R7 = R5 R6 R7
Resolviendo la multiplicación de matrices se obtiene el valor de θ5 , θ 6 ,θ 7 :
⎛ r23 ⎞
⎟
⎝ r13 ⎠
θ5 = arctan ⎜
⎛ r21 − cos(θ5 )sin(θ 7 ) ⎞
⎟
⎝ sin(θ5 ) cos(θ 7 ) ⎠
θ 6 = arccos ⎜
⎛ −r32 ⎞
⎟
⎝ r31 ⎠
Con esto, se tienen las siete ecuaciones que determinan la solución completa del
problema cinemático inverso del brazo.
θ7 = arctan ⎜
4.3.2.
Cinemática inversa de la mano
y
P
a3
a2
a1
x
Figura 4.3. Dedo de la mano diseñada.
4-8
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
Para obtener las variables articulares q1 , q2 , q3 que dan las flexiones de los dedos de
la mano se utiliza un método geométrico [2] por su simplicidad (fig. 4.3), los valores de los
ángulos obtenidos son:
⎛ a1 sin ( q2 ) + a3 sin ( 2q2 ) ⎞
⎛ py ⎞
q1 = tan −1 ⎜ ⎟ − tan −1 ⎜⎜
⎟⎟
⎝ px ⎠
⎝ a1 + a2 cos ( q2 ) + a3 cos ( 2q2 ) ⎠
⎛ A + B ∓ ( A + B )2 − 8C ( D − C ) ⎞
⎟
q2 = cos ⎜ −
⎜
⎟
4C
⎝
⎠
7
q3 = kq2 k ≈ 11
−1
donde:
A = 2a1a2
B = 2a2 a3
C = 2a1a3
D = a12 + a22 + a32 − px2 − p y2
Del resultado obtenido se observa que hay 2 valores posibles para q2 , de los cuales
debe discriminarse el valor negativo del ángulo, ya que ese movimiento es imposible para
la mano humana. Cabe mencionar que, para la solución de la cinemática inversa en forma
cerrada, existen varias soluciones posibles o bien no existe solución para determinados
casos de posición.
4.4.
Cálculos de carga del sistema robótico antropomórfico
4.4.1.
Modelo dinámico de un robot de 3 GDL
El modelo dinámico del robot se desarrolló para analizar el comportamiento
dinámico del robot y conocer los valores de los pares necesarios en las articulaciones para
cumplir con los requerimientos de diseño. El modelo se desarrolló considerando
únicamente los 3 GDL que requieren vencer la fuerza de gravedad y las inercias de las
masas para llevar a cabo su función: 1 del hombro, 1 del codo y 1 de la muñeca. Puede
deducirse que si los pares necesarios por estos actuadores se conocen, los valores de los
otros actuadores serán iguales o menores, ya que estos actuadores no tienen que vencer la
fuerza de gravedad para realizar su función.
El modelo dinámico se derivó tomando en cuenta los parámetros que se muestran en
la figura 4.4 cuyos valores se tomaron del diseño final en CAD. La obtención del modelo
dinámico del robot se basó en las ecuaciones de movimiento de Lagrange [3] para un
sistema conservativo,
4-9
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
(
d ⎡ ∂L θ , θ
⎢
dt ⎢ ∂θ i
⎣
) ⎤⎥ − ∂L (θ ,θ ) = τ
∂θ i
⎥⎦
i
i = 1… n
Figura 4.4. Robot de 3 GDL.
donde L (θ , θ ) es el Lagrangiano definido como L (θ , θ ) = K (θ ,θ ) − U (θ ) , donde K (θ , θ )
es la energía cinética del robot, U (θ ) es su energía potencial, τ i son las fuerzas y pares
ejercidos externamente (por actuadores) en cada articulación y n es el número de
articulaciones del robot. Los pares necesarios son:
τ 1 = m3l1c3 cos (θ 2 − θ 3 ) (θ1 − θ 2 + θ3 ) − m3l1c3 sin (θ 2 − θ 3 ) (θ1 − θ 2 + θ 3 )(θ 2 − θ 3 )
(
)
+ m3l1c3 cos (θ 2 − θ 3 ) θ1 − m3l1c3 sin (θ 2 − θ 3 ) θ 2 − θ 3 q1
+ ⎡⎣ −2m3l2 c3 sin (θ 3 ) θ3 − 2l1 ( m2 c2 + m3l2 ) sin (θ 2 )θ 2 ⎤⎦ θ1
⎡ 2m3l2 c3 cos (θ 3 ) + 2l1 ( m2 c2 + m3l2 ) cos (θ 2 )
⎤
⎥ θ1
+⎢
2
2
2
2
2
2
⎢⎣ + m3 ( l1 + l2 + l3 ) + m1c1 + m2 l1 + m2 c2 + I1 + I 2 + I 3 ⎥⎦
+ ⎡⎣ 2m3l2 c3 sin (θ 3 )θ 3 + l1 ( m2 c2 + m3l2 ) sin (θ 2 )θ 2 ⎤⎦ θ 2
− ⎣⎡ 2m3l2 c3 cos (θ3 ) + l1 ( m2 c2 + m3l2 ) cos (θ 2 ) + m3 ( l22 + c32 ) + m2 c22 + I 2 + I 3 ⎦⎤ θ 2
+ ⎡⎣ m3l2 c3 cos (θ3 ) + m3 c32 + I 3 ⎤⎦ θ 3 − m3l2 c3 sin (θ3 ) θ 32
− ( m1c1 − m2 l1 − m3l1 ) g sin (θ1 ) + ( m2 c2 + m3l2 ) g sin (θ1 − θ 2 ) + m3 c3 g sin (θ1 − θ 2 + θ 3 )
τ 2 = − m3l1c3 cos (θ 2 − θ 3 )θ1 + m3l1c3 sin (θ 2 − θ 3 ) (θ 2 − θ 3 )θ1
+ ⎡⎣ 2 m3l2 c3 sin (θ 3 ) θ 3 + l1 ( m2 c2 + m3 l2 ) sin (θ 2 ) θ 2 ⎤⎦ θ1
− ⎣⎡ 2m3l2 c3 cos (θ 3 ) + l1 ( m2 c2 + m3 l2 ) cos (θ 2 ) + m3 ( l22 + c32 ) + m2 c22 + I 2 + I 3 ⎤⎦ θ1
− 2 m3l2 c3 sin (θ 3 ) θ 2θ 3 + ⎡⎣ 2 m3 l2 c3 cos (θ 3 ) + m3 ( l22 + c32 ) + m2 c22 + I 2 + I 3 ⎤⎦ θ 2
− ⎡⎣ m3 l2 c3 cos (θ 3 ) + m3 c32 + I 3 ⎤⎦ θ 3 + m3l2 c3 sin (θ 3 ) θ 32
+ l1 ( m2 c2 + m3l2 ) sin (θ 2 ) ⎡⎣θ12 − θ1θ 2 ⎤⎦ − ( m2 c2 + m3l2 ) g sin (θ1 − θ 2 )
(
)
+ m3l1c3 sin (θ 2 − θ 3 ) θ1 − θ 2 + θ 3 θ1 − m3 c3 g sin (θ1 − θ 2 + θ 3 )
4-10
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
τ 3 = m3l1c3 cos (θ 2 − θ 3 )θ1 − m3l1c3 sin (θ 2 − θ 3 ) (θ 2 − θ 3 )θ1 + ⎡⎣ m3 c32 + I 3 ⎤⎦ θ 3
(
)
(
− m3l2 c3 sin (θ3 ) θ1 − θ 2 θ 3 + ⎡⎣ m3l2 c3 cos (θ 3 ) + m3 c32 + I 3 ⎤⎦ θ1 − θ 2
{
(
)
)(
− m3 c3 − g sin (θ1 − θ 2 + θ 3 ) + ⎡⎣l1 sin (θ 2 − θ3 )θ1 − l2 sin (θ 3 ) θ1 − θ 2 ⎤⎦ θ1 − θ 2 + θ 3
)}
donde τ 1 , τ 2 y τ 3 son los pares que actúan en las uniones 1, 2 y 3 de la figura 4.4.
La solución gráfica del sistema nos muestra los valores de los pares requeridos para
llevar al brazo a la posición θ d = [θ1d ,θ 2 d ,θ3d ] = [π ,0,0] , que es el caso donde la articulación
1 ejerce mayor esfuerzo.
Figura 4.5. Par requerido por θ1 para llegar a la posición π
rad.
Con los resultados de simulaciones similares se obtuvieron los valores de los pares
necesarios para las 3 articulaciones analizadas, con lo cual se seleccionaron los actuadores
para los 7 GDL.
4.4.2.
Análisis estructural del sistema
Debido a que el movimiento del brazo es lento, sólo se realizaron pruebas de carga
estática para comprobar que la estructura es capaz de soportar los esfuerzos a los que será
sometido, con ayuda de Ansys®. Para ello, se localizaron los puntos críticos y se aplicaron
cargas. En la tabla 4.3 se muestran los valores de las cargas aplicadas y los resultados de las
simulaciones.
4-11
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
Figura 4.6. Análisis estructural del sistema.
El material utilizado en el diseño es aleación de aluminio 6061.
Tabla 4.3.Resultados de análisis estructurales del sistema mano-brazo-antebrazo diseñado.
Parte
Hombro
Codo
Muñeca
Simulación
1
2
1
2
1
2
Fuerza
aplicada (N)
200
200
100
100
10
10
Esfuerzo máx
(MPa)
46.2
18
78.6
8.78
2.88
2.3
Deformación
(mm)
0.586
0.108
0.704
0.0555
0.00305
0.00175
Se realizaron varias pruebas en distintos puntos. Los valores de la tabla 4.3
muestran que el material seleccionado y la estructura son adecuados para soportar las
cargas que se presentarán en su funcionamiento, ya que los esfuerzos máximos están por
debajo de los esfuerzos permitidos para el material. Para el aluminio el esfuerzo máximo
permitido es 0.4 veces su esfuerzo de fluencia, que es de 280 MPa.
Los reductores armónicos están hechos de acero con un esfuerzo de fluencia de 340
MPa, con lo cual se deduce que soportarán las cargas a la que estarán sometidos. Según el
anexo A, el esfuerzo necesario para que el reductor ceda a la tensión es de 1000 MPa, por
lo que soportará estar en la configuración coaxial.
4.5.
Verificación de movilidad del sistema
Para comprobar la movilidad del sistema diseñado, se resolvió la cinemática directa y la
cinemática inversa con ayuda de Matlab®; los valores obtenidos para un punto en el
espacio o los valores de las articulaciones dados se pasaron al modelo en vND®. Este
modelo se representa en Simulink® con una función-s que lee la información del modelo
diseñado. Así, se programaron una serie de movimientos y se verificó que el sistema se
comporta de la manera deseada. El diagrama para realizarlo se muestra en la figura 4.7
4-12
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
Figura 4.7. Diagrama en Simulink® para verificar la movilidad del sistema robótico.
Figura 4.8. Desarrollo de una secuencia de movimientos programada.
4-13
Capítulo 4: Validación del diseño mecánico del sistema robótico antropomórfico
4.6.
Resumen
En este capítulo se resolvió la cinemática directa del brazo y mano antropomórfica, que
sirve para posicionar el efector final, dados los parámetros de giro de las 7 articulaciones
del robot. Además, se resolvió la cinemática inversa, utilizada para posicionar el efector
final, por medio del método de desacoplo cinemático.
Tanto con la cinemática directa como con la inversa, se verificó que es posible
posicionar la mano antropomórfica en cualquier lugar del espacio de trabajo del brazo
robótico. Cabe mencionar que en la solución de la cinemática inversa existen más
ecuaciones que las mostradas que dan la posición y orientación en ciertos puntos del
espacio de trabajo, pero con las que se muestran es suficiente para obtener los valores
necesarios de las articulaciones para posicionar y orientar el robot. Las ecuaciones no
mostradas están en el apéndice D.
Con el objetivo de encontrar el par requerido por los actuadores en cada una de las
articulaciones, se realizó el modelo dinámico del robot utilizando por el método de
Lagrange. Para el análisis, se consideraron únicamente los tres grados de libertad que están
sometidos a mayor carga (un GDL del hombro, uno del codo y uno de la muñeca). Creo
que aquí hay que ser mas específicos de por que solo 3GDL y en todo caso justificar
diciendo que las velocidades son pequeñas por lo que la dinámica puede despreciarse.
Se efectuó un análisis estructural estático mediante Ansys® en las partes críticas del
hombro, codo y muñeca, utilizando distintos puntos de sujeción, de donde se observa que
los esfuerzos ejercidos sobre el material en los puntos críticos están por debajo del esfuerzo
permitido, con lo cual se comprobó que el material seleccionado (aleación de aluminio
6061) es capaz de soportar las cargas aplicadas al brazo robótico.
Una vez que se sabe que el brazo puede posicionarse en cualquier lugar de trabajo y
que el material utilizado es capaz de soportar los esfuerzos a los cuales estará sometido el
brazo robótico, se utilizó Matlab® con vND® para comprobar su movilidad y verificar que,
con los 7 GDL implementados, el robot es capaz de realizar los movimientos que un brazo
humano puede realizar.
4.7.
Bibliografía
BARRIENTOS, Antonio; PEÑÍN, Felipe.
[1]
“Fundamentos de robótica”.
Ed McGraw-Hill. 1997.
[2]
HERRERA, Gustavo; CIMADEVILLA, Hernando.
Tesis: “Diseño de un sistema articulado emulando el movimiento de una mano”.
Cenidet, 2006.
[3]
LEWIS, F.L; ABADÍA, C.T; DAWSON, D.M.
“Control of robot manipulators”
Macmillan 1993.
4-14
Capítulo 5
Diseño Electrónico del Sistema Robótico Antropomórfico
Introducción
Una vez que se cuenta con el diseño mecánico, y se ha comprobado su resistencia y
movilidad, es necesario diseñar una etapa que permitirá comunicar a los actuadores con una
computadora para su control y otra etapa para brindar la potencia necesaria que se necesita
para dar movimiento al sistema. Ambas etapas deben trabajar en coordinación para
posicionar correctamente cada articulación, de acuerdo a cierta configuración especial
deseada u obtenida en la solución de la cinemática directa o inversa del sistema robótico
completo.
La primera etapa será la encargada de dotar de inteligencia al sistema para que sea
capaz de resolver la configuración a adoptar por las articulaciones para cumplir con cierto
objetivo en específico. Se necesita conocer la electrónica involucrada en las tarjetas de
adquisición de datos a emplear y programarlas por medio de un software especializado.
La segunda etapa consiste en diseñar la electrónica de potencia, que será la
encargada de suministrar la energía necesaria a los actuadores del sistema robótico para
mover cada una de las articulaciones. Esta etapa se debe diseñar para que sea capaz de
brindar potencia, incluso en los casos críticos donde los valores requeridos sean muy
grandes; por ejemplo, al iniciar el movimiento de una articulación y es necesario vencer la
inercia inherente a cada parte del sistema. La figura 5.1 muestra las etapas para monitoreo y
control del sistema robótico.
Figura 5.1. Etapas de control y potencia para el sistema robótico.
5-1
Capítulo 5: Diseño electrónico del sistema robótico antropomórfico
5.1.
Electrónica de control
Las variables presentes en el sistema robótico completo se clasifican de la siguiente forma:
•
•
•
•
•
Alimentación de 24VCD y 12VCD para los motores.
Alimentación de 5VCD para los circuitos integrados y encóders de posición.
2 señales digitales de entrada para sensado de posición.
2 señales digitales de salida para control de posición y giro en forma de PWM.
1 señal analógica de entrada para sensado de corriente en consumo.
El sistema completo dispone de 18 motores, lo que hace necesario contar con 36
señales digitales de entrada, 36 señales digitales de salida y 18 señales analógicas de
entrada.
Para manipular estas señales se cuenta con una tarjeta de adquisición de datos de la
marca National Instruments modelo PCI-7831R que tiene 2 módulos de conexión, modelo
SCB-68, que es donde se conectan todas las señales de entrada y salida necesarias.
Figura 5.2. Tarjeta PCI-7831R y módulo SCB-68.
El procedimiento de control consiste en leer las señales de los encóders y, mediante
un algoritmo de control, determinar la posición y velocidad de las articulaciones, para
tomar las decisiones de movimiento y/o cambio de giro. El programa de control genera las
señales necesarias para manipular el sistema y posicionar las articulaciones de forma que el
sistema lo requiera para lograr una posición específica.
Este algoritmo de control se programa para interactuar con el sistema robótico en
tiempo real y desplegar la información a través del monitor. La programación se desarrolla
con el software NI Labview® y permite incluir cualquier esquema de control, ya sea control
convencional del tipo PID y/o controles inteligentes (lógica difusa, redes neuronales, no
lineal, etc.).
Las señales de control generadas pasan de la computadora a la etapa de potencia a
través de la tarjeta de adquisición de datos. Estas señales son modificadas o amplificadas
para enviarse posteriormente a los motores y producir el movimiento necesario para lograr
la configuración articular deseada.
5-2
Capítulo 5: Diseño electrónico del sistema robótico antropomórfico
El esquema de control implementado para obtener los pares necesarios por los
actuadores fue el control PD+g (proporcional-derivativo con compensación de gravedad),
el cual se puede programar en esta etapa para coordinar el movimiento de los actuadores y
lograr las posiciones deseadas.
El software Labview® es capaz de programarse para cualquier esquema de control.
Además, cuenta con bloques de control definidos que pueden utilizarse para esta finalidad.
De un buen diseño del controlador y su programación dependerá que el sistema tenga una
respuesta rápida y precisa ante cambios externos o programados. El proceso de control
sigue el esquema mostrado en la figura 5.3.
Parte interna de la computadora
Figura 5.3. Esquema de control.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
La señal de posición proviene del encóder óptico presente en cada motor.
La señal es captada por la tarjeta de adquisición de datos a través del módulo SCB-68.
La señal está dentro de la computadora y se pasa al controlador programado.
El controlador analiza la señal recibida y produce una nueva señal de salida de control.
La nueva señal de control se transmite hacia fuera de la computadora.
La nueva señal está en el módulo SCB-68.
La señal de control se pasa a la etapa de potencia para ser amplificada y enviada a los
actuadores del sistema.
5.2.
Electrónica de potencia
Es necesario que la etapa de control sea capaz de manipular y controlar las señales más
importantes del sistema robótico para asegurar la convergencia del robot a los puntos
deseados. Sin embargo, es muy importante contar con una etapa capaz de brindar potencia
suficiente al sistema completo, al tiempo que se lleva a cabo el control del mismo.
Las señales de control de los motores (PWM) se introducen a la etapa de potencia,
que se encargará de brindar la energía necesaria a los actuadores para girar y para
detenerse.
La etapa de potencia diseñada se basó en los requerimientos de corriente de los
motores, para ello se usó el circuito integrado L298N (encapsulado multiwatt15), que
contiene 2 puentes-H por chip. La corriente máxima que soporta cada puente en modo
intermitente (100μs) es de 3A, en modo continuo (80% ON, 20% OFF) soporta 2.5A y en
operación CD hasta 2A. [2]
5-3
Capítulo 5: Diseño electrónico del sistema robótico antropomórfico
Figura 5.4. Etapa de potencia para 2 motores con L298N.
La figura 5.4 muestra la etapa de potencia para controlar 2 motores independientes
con 1 circuito integrado, se observan los diodos de conmutación rápida para protección de
corrientes inversas generadas por los motores al quitar la alimentación o cambiar de giro,
además de 2 resistencias para sensado de la corriente en consumo por los motores. Esto es
posible sólo si cada motor consume 2A o menos.
Según la figura 4.5 el par máximo requerido por la articulación es de 50 Nm. Para
lograr este par se requiere que el motor brinde
τ=
50 Nm
= 0.1041667 Nm
480
De acuerdo a la hoja de datos del motor la constante de corriente es de 0.030 A mNm ,
entonces la corriente máxima o pico requerida es de
⎛ 1000mNm ⎞
I máx = ( 0.030 A mNm )( 0.1041667Nm ) ⎜
⎟ = 3.125 A
⎝ 1Nm ⎠
Es necesario contar con un margen de corriente suministrada para evitar daños a la
etapa de potencia y a los motores, ya sea al arrancar o al frenar. Para esto, se configura el
L298N en cascada para controlar un solo motor, suministrando el doble de corriente (fig.
5.5).
5-4
Capítulo 5: Diseño electrónico del sistema robótico antropomórfico
Figura 5.5. Etapa de potencia para 1 motores con L298N, para alta corriente.
Las etapas de control y de potencia trabajan en conjunto para monitorear y mover
las articulaciones del sistema. Para lograr movimientos y velocidades precisos de las
articulaciones se necesita programar un buen controlador que sea capaz de responder ante
perturbaciones externas y llevar al sistema a la posición deseada en el menor tiempo posible
y con el menor número de oscilaciones.
5.3.
Resumen
Se detalló la cantidad de señales que se necesitan por actuador para controlarlo. Las señales
analógicas y digitales que se necesitan se pueden manipular por medio de la tarjeta de
adquisición de datos PCI-7831R, de la marca National Instruments®, que cuenta con dos
módulos de conexión de tales señales.
El software encargado de manejar la tarjeta de adquisición NI Labview, en el cual se
puede implementar cualquier tipo de controlador, ya sea de tipo convencional o inteligente.
Como éste es un software especializado que se dedica a controlar por medio de las tarjetas
que la misma empresa vende, cuenta con bloques que realizan funciones dedicadas como
controladores tipo P, PI y PID, que pueden ser aprovechados al momento de programar el
control.
En la etapa de potencia se diseñó un circuito capaz de controlar dos motores con un
solo chip, el L298N, de la marca National Semiconductors®. El circuito diseñado es capaz
de proporcionar hasta 2A de corriente en modo continuo. Si los requerimientos de corriente
son mayores a esta cantidad, el chip se puede configurar en cascada para que se controle un
solo motor por integrado, con el beneficio del doble de corriente proporcionada.
Ambas etapas diseñadas deben trabajar de manera conjunta en tiempo real, para
controlar y monitorear el comportamiento del sistema robótico antropomórfico completo.
5-5
Capítulo 5: Diseño electrónico del sistema robótico antropomórfico
5.4.
Bibliografía
[1]
http://sine.ni.com/nips/cds/view/p/lang/en/nid/13861
[2]
http://www.national.com/
[3]
http://sine.ni.com/nips/cds/view/p/lang/en/nid/1180
[4]
L. BOYLESTAD, Robert; NASHELSKY, Louis.
“Teoría de circuitos y dispositivos electrónicos”.
Pearson Educación 2003. Octava Edición.
5-6
Capítulo 6
Conclusiones Finales y Trabajos Futuros
El diseño de un brazo robótico antropomórfico nace como una propuesta para
fortalecer la línea de investigación en robótica e incrementar el conocimiento que permita
el desarrollo y perfeccionamiento de los sistemas que emulan los movimientos de algunas
partes del cuerpo humano. Es importante resaltar que el diseño de sistemas roboticos
antropomórficos en es un tema de investigación de muchos años, y en el que cada día que
pasa los diseñadores van adquiriendo experiencias que pueden mejorar el prototipo.
6.1. Objetivos cubiertos
En este trabajo de investigación se lograron cubrir los siguientes objetivos:
•
•
•
•
•
•
Se diseñó de un brazo robótico antropomórfico con 7 grados de libertad, 3 en la
parte del hombro, 2 en la parte del codo y 2 en la muñeca.
Se diseñó una mano antropomórfica de 15 grados de libertad con 4 grados
subactuados.
Se realizó la simulación de movimiento tanto para la mano como para el brazo
robótico.
Se realizó un análisis estructural de todo el sistema robótico.
Se realizó un análisis dinámico de los tres grados críticos del brazo robótico.
Se encontró la cinemática directa e inversa para el sistema diseñado.
6.2. Resultados de la parte mecánica
En lo que respecta al diseño mecánico del brazo robótico, se cumplió el objetivo de
diseñar un sistema con 7 grados de libertad: 3 en la parte del hombro, 2 en la parte del codo
y 2 en la muñeca y, debido a que uno de los factores para el diseño del brazo robótico fue el
antropomorfismo, se realizó la búsqueda y selección de componentes comerciales que
permitieran diseñar un prototipo con dimensiones y características similares a las del brazo
humano.
La selección de componentes fue complicada, ya que por sus dimensiones no es
sencillo encontrar en el mercado nacional insumos con las características necesarias
(rodamientos, tornillos, poleas, reductores, bandas, etc.), por esto fue forzosa la selección
fuera del mercado nacional de la mayoría de los insumos del prototipo.
6-1
Capítulo 6: Conclusiones finales y trabajos futuros
Ya que el brazo robótico antropomórfico cuenta con 7 gdl y la distribución,
ubicación y orientación de sus actuadores, éste es capaz de flexionarse y colocarse en
cualquier posición dentro de su espacio de trabajo, permitiendo un amplio rango de
movimientos, limitado únicamente por la característica de antropomorfismo, ya que el
brazo robótico diseñado es capaz de alcanzar posiciones que un brazo humano no puede
lograr por limitaciones físicas.
Para el diseño se consideraron algunas especificaciones y restricciones como:
dimensiones, actuadores, reducción, carga máxima, sistema de transmisión y reducción,
entre otras. El diseño final del brazo tiene una masa aproximada de 12.5 kg., con capacidad
de manipular 0.5 kg. en su efector final.
El efector final es una mano robótica antropomórfica de 15 gdl, donde se requieren
11 actuadores, ya que 4 de ellos son subactuados. Estos gdl subactuados se encuentran en la
articulación interfalange distal de cada dedo (el dedo pulgar no se subactuó por la
importancia de sus movimientos). Esta mano diseñada puede ser colocada y orientada en
cualquier posición, en semejanza a la mano humana, para tomar y manipular objetos en el
espacio de trabajo.
El motivo de subactuar estos 4 gdl es porque se ahorra en costo de motores y se
reduce el peso total del sistema, además que estos 4 gdl actúan de manera similar en una
mano humana normal. La mano diseñada pesa aproximadamente 0.445 kg. y es capaz de
manipular una masa de 0.5 kg.
Se realizaron cálculos para estimar la presión que puede ejercer la mano sobre los
objetos a manipular, tomando en cuenta la presión que puede ejercer cada falange por sí
sola.
Se seleccionó como material de trabajo la aleación de aluminio 6061 debido a sus
buenas prestaciones mecánicas y a su facilidad de manufactura.
6.3. Resultados de la parte de simulación
Al realizar el análisis estructural estático mediante Ansys® en las partes críticas del
hombro, codo y muñeca, se observa que los esfuerzos ejercidos sobre el material en los
puntos críticos están por debajo del esfuerzo permitido, con lo cual se comprobó que el
material seleccionado (aleación de aluminio 6061) es capaz de soportar las cargas aplicadas
al brazo robótico y esto permitió bajar el peso del robot.
Con el modelo dinámico del robot, realizado por el método de Lagrange, se
encontró el par requerido que tenían que tener los actuadores en cada una de las
articulaciones, esta cantidad de par nos permitió seleccionar reductores armónicos debido a
que estos tienen alto par de salida y se adecuan e sistemas antropomórficos debido a las
dimensiones y peso.
6-2
Capítulo 6: Conclusiones finales y trabajos futuros
En cuanto a cinemática involucrada del sistema robótico se realizó la cinemática
directa del brazo y mano antropomórfica, que sirve para posicionar el efector final, dados
los parámetros de giro de las 7 articulaciones del robot. Además, se resolvió la cinemática
inversa, utilizada para posicionar el efector final, por medio del método de desacoplo
cinemático. Tanto con la cinemática directa como con la inversa, se verificó que es posible
posicionar la mano antropomórfica en cualquier lugar del espacio de trabajo del brazo
robótico.
Una vez que se sabe que el brazo puede de posicionarse en cualquier lugar de trabajo y
que el material utilizado es capaz de soportar los esfuerzos a los cuales estará sometido el
brazo robótico, se utilizó Matlab® con vND® para comprobar su movilidad y verificar que,
con los 7 gdl implementados, el robot es capaz de realizar los movimientos que un brazo
humano puede realizar.
6.4. Resultados de la parte de electrónica
Se detalló la cantidad de señales que se necesitan por actuador para controlarlo. Las señales
analógicas y digitales que se necesitan se pueden manipular por medio de la tarjeta de
adquisición de datos PCI-7831R, de la marca National Instruments®, que cuenta con dos
módulos de conexión de tales señales.
El software encargado de manejar la tarjeta de adquisición NI Labview, en el cual se
puede implementar cualquier tipo de controlador, ya sea de tipo convencional o inteligente.
En la etapa de potencia se diseñó un circuito capaz de controlar dos motores con un
solo chip, el L298N, de la marca National Semiconductors®. El circuito diseñado es capaz
de proporcionar hasta 2A de corriente en modo continuo. Si los requerimientos de corriente
son mayores a esta cantidad, el chip se puede configurar en cascada para que se controle un
solo motor por integrado, con el beneficio del doble de corriente proporcionada.
Ambas etapas diseñadas deben trabajar de manera conjunta en tiempo real, para
controlar y monitorear el comportamiento del sistema robótico antropomórfico completo.
6.5. Aportaciones
Las aportaciones de este trabajo de investigación son las siguientes:
•
•
•
El diseño de un brazo robótico de 7 gdl tipo antropomórfico que incrementa los
conocimientos sobre este tipo de sistemas, en el área de Mecatrónica en el
CENDIDET.
Se diseñó una mano antropomórfica de 15 gdl que es capaz acoplarse al brazo
robótico.
Todo el sistema robótico se deja en planos, para que futuras generaciones puedan
llevar a cabo la manufactura de éste.
6-3
Capítulo 6: Conclusiones finales y trabajos futuros
6.6. Limitantes
Las limitantes en el desarrollo de este trabajo son:
•
•
•
•
•
•
El limitado presupuesto no permitió llevar a cabo la manufactura del sistema
robótico.
Otra limitante fue el tiempo, debido a que el desarrollo integral de un brazo robótico
implica el conocimiento de diferentes disciplinas y de la participación de expertos
de cada una de ellas. Siendo el diseño un proceso iterativo, se limitó el tiempo
empleado en el diseño hasta obtener un prototipo funcional.
Otra limitación es que, debido a que el brazo antropomórfico tiene 7 grados de
libertad, sólo tres de ellos están en acoplamiento directo y los restantes son a base
de bandas y poleas dentadas.
Ya que en cuatro grados de libertad, la transmisión de movimiento es por medio de
poleas dentadas y banda, puede existir una discrepancia entre los valores medidos
por los sensores y los valores reales de las posiciones de esas articulaciones. Este
error no se pudo estimar debido a que el fabricante no proporciona las tolerancias
para sus productos.
Los cálculos estructurales se realizaron es forma estática, ya que se consideraron
bajas velocidades en el movimiento del brazo robótico.
En el proceso de maquinado de las piezas, en el centro Mori-Seiki MV-40, se tiene
una tolerancia de ±1 micra. Estas tolerancias se indican en los planos de diseño y
maquinado, adjuntos en un disco.
Sugerencia para trabajos futuros
El diseño de un prototipo es un proceso iterativo que busca el mejoramiento del
mismo. Debido a esto es importante resaltar que los resultados obtenidos con esta primera
versión del brazo robótico son susceptibles a mejoras. No obstante el conocimiento que se
ha generado ha sido muy importante, y servirá para futuras versiones del brazo robótico.
Los trabajos futuros relacionados con este trabajo de investigación, se han clasificado
en cinco áreas:
En el área de instrumentación:
•
Incorporar sensores de tacto para obtener la información necesaria de fuerza, para
que la mano robot pueda sostener y manipular diferentes objetos sin romperlos o
deformarlos.
En el área mecánica:
•
Disminuir el volumen del brazo robótico completo buscando componentes de menor
dimensión.
6-4
Capítulo 6: Conclusiones finales y trabajos futuros
•
Trabajar con otro tipo de materiales, por ejemplo polímeros, que le darían mayor
antropomorfismo a la mano, disminuirían peso, aparte de que modificarían la
fricción entre las articulaciones.
En el área electrónica:
•
•
Diseñar tarjetas electrónicas pequeñas con el fin de colocarlas dentro del brazo y
antebrazo para aumentar el antropomorfismo evitando así tener cables externos al
prototipo.
Diseño de una botonera para el control del brazo robótico.
Control:
•
Realizar un control cinemático del robot para verificar velocidades y trayectorias a
seguir por el brazo robótico.
Computación:
•
•
Desarrollo de una interfaz gráfica con el usuario.
Implementar un lenguaje de programación y sistemas operativos para el control en
tiempo real del brazo robótico.
6-5
Anexo A
Características de los Actuadores y
Reductores del Brazo Robótico Antropomórfico
A-1
A-2
La selección de motores se realizó en base al par necesario para las articulaciones del robot,
además del tamaño reducido y bajo peso. Los encóders seleccionados proporcionan la
mejor definición para la lectura de posición y velocidad de las articulaciones.
A-3
La selección de reductores de la marca Harmonic Drive® se realizó por su tamaño reducido
y alto par de salida.
A-4
Anexo B
Características de Poleas y Bandas del
Brazo Robótico Antropomórfico
B-1
B-2
B-3
La selección de bandas y poleas se realizó tomando en cuenta el par máximo
entregado por los motores y los criterios propuestos por los fabricantes.
B-4
Anexo C
Cinemática Directa e Inversa del
Sistema Robótico Antropomórfico
La manipulación de piezas llevada a cabo por un robot implica el movimiento espacial de
su extremo. Para que el robot pueda recoger una pieza, es necesario conocer la posición y
orientación de ésta con respecto a la base del robot. Se aprecia entonces la necesidad de
contar con una serie de herramientas matemáticas que permitan especificar la posición y
orientación en el espacio de piezas, herramientas y, en general, de cualquier objeto.
Estas herramientas han de ser lo suficientemente potentes como para permitir
obtener de forma sencilla relaciones espaciales entre distintos objetos y en especial entre
éstos y el manipulador.
Se introduce el concepto de matriz de transformación homogénea, necesaria para la
representación conjunta de posición y orientación, junto con sus propiedades y
aplicaciones. Se trata de una herramienta muy útil para representar transformaciones
espaciales, estando su uso ampliamente extendido en diversos campos además del de la
robótica.
Matrices de transformación homogénea
Para realizar representar la posición o la orientación de un sólido en el espacio se
introdujeron las denominadas coordenadas homogéneas.
Coordenadas y matrices homogéneas
La representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un
espacio n-dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+l)-dimensional.
Es decir, un espacio n-dimensional se encuentra representado en coordenadas homogéneas
por (n+l) dimensiones, de tal forma que un vector p(x,y,z) vendrá representado por
p( wx , wy , wz , w ), donde w tiene un valor arbitrario y representa un factor de escala. De
forma general, un vector p = ai + bj + ck, donde i, j y k son los vectores unitarios de los ejes
OX, OY y OZ del sistema de referencia OXYZ, se representa en coordenadas homogéneas
mediante el vector columna:
C-1
⎡ x ⎤ ⎡ aw⎤ ⎡ a ⎤
⎢ y ⎥ ⎢bw ⎥ ⎢ b ⎥
p=⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥
⎢ z ⎥ ⎢ cw ⎥ ⎢ c ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ w⎦ ⎣ w ⎦ ⎣ 1 ⎦
Por ejemplo, el vector 2i + 3j + 4k se puede representar en coordenadas
T
T
T
homogéneas como [ 2,3, 4,1] o como [ 4, 6,8, 2] o también como [ −6, −9, −12, −3] etc.
A partir de la definición de las coordenadas homogéneas surge inmediatamente el
concepto de matriz de transformación homogénea. Se define como matriz de
transformación homogénea T a una matriz de dimensión 4 x 4 que representa la
transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a
otro.
p3 x1 ⎤ ⎡ Rotación Traslación ⎤
⎡R
T = ⎢ 3 x3
⎥=⎢
⎥
⎣ f1x 3 w1x1 ⎦ ⎣ Perspectiva Escalado ⎦
Se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuesta por cuatro
submatrices de distinto tamaño: una submatriz R3 x 3 que corresponde a una matriz de
rotación; una submatriz p3 x1 que corresponde al vector de traslación; una submatriz f1x 3
que representa una transformación de perspectiva, y una submatriz w1x1 que representa un
escalado global. En robótica generalmente sólo interesará conocer el valor de R3 x 3 y de
p3 x1 considerándose las componentes de f1x 3 nulas y la de w1x1 la unidad. Al tratarse de
una matriz 4 x 4, los vectores sobre los que se aplique deberán contar con 4 dirnensiones,
que serán las coordenadas homogéneas del vector tridimensional de que se trate.
Significado geométrico de las matrices homogéneas
Como ya se ha descrito, una matriz homogénea sirve para transformar un vector expresado
en coordenadas homogéneas con respecto a un sistema O'UVW, a su expresión en las
coordenadas del sistema de referencia OXYZ. También se puede utilizar para rotar y girar
un vector referido a un sistema de referencia fijo, y en definitiva sirve para expresar la
orientación y posición de un sistema de referencia OVW con respecto a otro fijo OXYZ.
La matriz T de transformación se suele escribir de la siguiente forma:
⎡ n x ox
⎢n o
y
⎢
T= y
⎢ nz oz
⎢
⎣0 0
donde n,o,a es una terna ortonormal
representa la posición.
ax px ⎤
a y p y ⎥⎥ ⎡ n o a p ⎤
=
az pz ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 1 ⎥⎦
⎥
0 1⎦
que representa la orientación y p es un vector que
C-2
Cinemática del robot
La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de
referencia. Así, la cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento
espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la
posición y la orientación del extremo final del robot con los valores que tornan sus
coordenadas articulares.
Existen dos problemas fundamentales a resolver en la cinemática del robot; el
primero de ellos se conoce como el problema cinemático directo, y consiste en determinar
cual es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de
coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los
parámetros geométricos de los elementos del robot; el segundo, denominado problema
cinemático inverso, resuelve la configuración que debe adoptar el robot para una posición y
orientación del extremo conocidas.
Denavit y Hartenberg propusieron un método sistemático para describir y
representar la geometría espacial de los elementos de una cadena cinemática, y en particular
de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo. Este método utiliza una matriz de
transformación homogénea para describir la relación espacial entre dos elementos rígidos
adyacentes, reduciéndose el problema cinemático directo a encontrar una matriz de
transformación homogénea 4 x 4 que relacione la localización espacial del extremo del
robot con respecto al sistema de coordenadas de su base.
Metodología de Denavit-Hartenberg
La obtención del modelo cinemático directo es realizado mediante la aplicación de la
metodología de Denavit-Hartenberg, la cual se aplica en dos partes:
• Asignación de sistemas o marcos de referencia.
• Cálculo de matrices de transformación.
Asignación de marcos de referencia
Para cuestiones de modelado, se considera a un robot como un conjunto de
eslabones rígidos conectados entre sí por varias uniones. Sin pérdida de generalidad, se
considerará que el robot posee uniones de un sólo grado de libertad.
1. Supóngase que el robot tiene n+1 eslabones, numerados desde 0 hasta n, iniciando
desde la base del robot, la cual es tomada como eslabón 0.
2. Las uniones son numeradas desde 1 hasta n, y la i-ava unión es el punto en el
espacio donde los eslabones i-1 e i están conectados, y se indican los ejes de unión
correspondientes.
3. Localizar y etiquetar los ejes de unión como z0 , z1 ,..., zn −1 .
C-3
4. Establecer el marco base o inercial, llamado marco 0. Fijar el origen donde sea a lo
largo del eje z0 . Los ejes x0 y y0 se escogen de tal forma que se tenga un sistema de
mano derecha. Usando la regla de la mano derecha, el semi-eje z positivo define el
sentido en que se mide los ángulos positivos de las uniones de revolución. A
continuación se escogen marcos 1 hasta n, tal que el marco i está rígidamente unido
al eslabón i.
5. Localizar el origen Oi donde la normal común a zi y zi −1 interseca a zi . Si zi
interseca zi −1 localizar Oi en ésta intersección. Si zi y zi −1 son paralelas, localizar
Oi en la unión i.
6. Establecer xi a partir de Oi y a lo largo de la normal común entres zi −1 y zi , o en la
dirección normal al plano zi −1 , zi si zi −1 y zi se intersecan.
7. Establecer yi para completar un sistema de mano derecha ( i × j = k o j × k = i o
k × i = j ). Repetir los pasos 3 a 5 para i = 1,..., n − 1 .
8. Establecer el marco del eslabón final on xn yn zn . Asumiendo que la n-ava unión es
de revolución, establecer kn a lo largo de la dirección zn −1 . Establecer el origen on
convenientemente a lo largo de zn . Establecer jn e in en forma conveniente.
9. Crear una tabla para los siguientes parámetros de eslabón, ai , di , α i , θ i , los cuales
se definen como:
•
ai es la distancia a lo largo de xi desde la intersección de los ejes xi y zi −1
hasta el origen oi .
•
di es la distancia a lo largo de zi −1 desde oi −1 hasta la intersección de los
ejes xi y zi −1 . di es variable si la unión i es prismática.
•
α i es el ángulo de desplazamiento entre zi −1 y zi medida alrededor de xi .
θi es el ángulo entre xi −1 y xi medida alrededor de zi −1 . θi es variable si la
•
unión i es de revolución.
10. Formar las matrices de transformación homogénea Ai substituyendo los parámetros
de eslabón en la siguiente fórmula:
⎡ cos θi
⎢ sin θ
i
Ai = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
− sin θ i cos α i
cos θi cos α i
sin α i
0
sin θ i sin α i
− cos θi sin α i
cos α i
0
ai cos θ i ⎤
ai sin θ i ⎥⎥
di ⎥
⎥
1 ⎦
Ai es la matriz homogénea que transforma las coordenadas de un punto desde el
marco i hasta el marco i-1, la cual cambia a medida que la configuración del robot
cambia.
C-4
Cinemática directa del brazo robótico antropomórfico
Con el fin de ilustrar el método expuesto anteriormente, se va a desarrollar a continuación
la resolución completa del problema cinemático directo para el brazo robótico
antropomórfico
En primer lugar, se localizan los sistemas de referencia de cada una de las
articulaciones del robot (Figura 1).
Figura 1. Robot Antropomórfico.
Posteriormente se determinan los parámetros de Denavit-Hartenberg del robot y se
construye la tabla 1.
Tabla 1. Parámetros de D-H para el robot cilíndrico.
Eslabón/
Parámetro
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
αi
90º
-90º
90º
-90º
90º
-90º
0
ai
0
0
0
0
0
a6
a7
θi
θ1
θ2
θ3
θ4
θ5
θ6
θ7
di
d1
0
d3
0
d5
0
0
Una vez calculados los parámetros de cada eslabón, se calculan las matrices de
transformación homogénea Ai , de la siguiente manera:
C-5
⎡cos θ1
⎢ sin θ
1
A1 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
− sin θ1
cos θ1
0
0
⎡cos θ 2
⎢ sin θ
2
A2 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
0 sin θ 2
0 − cos θ 2
1
0
0
0
0⎤
0 ⎥⎥
d2 ⎥
⎥
1⎦
⎡cos θ3
⎢ sin θ
3
A3 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
0 sin θ3
0 − cos θ3
1
0
0
0
0⎤
⎡cos θ 4
⎢ sin θ
⎥
0⎥
4
A4 = ⎢
⎢ 0
0⎥
⎢
⎥
1⎦
⎣ 0
0 sin θ 4
0 − cos θ 4
1
0
0
0
0⎤
0 ⎥⎥
d4 ⎥
⎥
1⎦
⎡ cos θ5
⎢ sin θ
5
A5 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
0 sin θ5
0 − cos θ5
1
0
0
0
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
⎡cos θ 6
⎢ sin θ
6
A6 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
0 sin θ 6
0 − cos θ 6
1
0
0
0
0⎤
0 ⎥⎥
d6 ⎥
⎥
1⎦
0
0
1
0
⎡cos θ 7
⎢ sin θ
7
A7 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
0 sin θ 7
0 − cos θ 7
1
0
0
0
a7 cos θ 7 ⎤
a7 sin θ 7 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎦
Con estas matrices se calcula la matriz T que indica la localización del sistema final
con respecto al sistema de referencia de la base del robot.
⎡ nx
⎢n
0
T7 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 = ⎢ y
⎢ nz
⎢
⎣0
ox
oy
oz
0
ax
ay
az
0
px ⎤
p y ⎥⎥
pz ⎥
⎥
1⎦
Desarrollando los términos de 0 T7 se obtiene.
n x = C 7C 6C 5C 4C 3C 2C 1 − C 7C 6C 5C 4 S1S 3 − C 7C 6C 5C 1S 2 S 4 − C 7C 6C 2C 1S 5 S 3 −
C 7C 6C 3 S 5 S1 − C 7C 3C 2C 1S 6 S 4 + C 7 S 6 S 4 S 3 S1 − C 7C 4C 1S 6 S 2 − C 4C 3C 2C 1S 7 S 5
+ C 4 S 7 S 5 S 3 S1 + C1S 7 S 5 S 4 S 2 − C 5C 2C1S 7 S 3 − C 5C 3 S 7 S1
n y = C 7C 6C 5C 4C 3C 2 S1 + C 7C 6C 5C 4C 1S 3 − C 7C 6C 5 S1S 2 S 4 − C 7C 6C 2 S 5 S 3 S1 +
C 7C 6C 3C 1S 5 − C 7C 3C 2 S 6 S 4 S1 − C 7C 1S 6 S 4 S 3 − C 7C 4 S 6 S 2 S1 − C 4C 3C 2 S 7 S 5 S1
− C 4C 1S 7 S 5 S 3 + S 7 S 5 S 4 S 2 S1 − C 5C 2 S 7 S 3 S1 + C 5C 3C 1S 7
C-6
n z = C 7C 6C 5C 4C 3 S
+ C 7C 6C 5C 2 S
2
C 7C 4C 2 S 6 − C 4C 3S 7 S 5S
4
− C 7C 6S5S3S
− C 2S7S5S
2
− C 7C 3S 6S 4S
2
− C5S7S3S
4
+
2
2
O x = − C 6C 5C 4C 3C 2C1S 7 + C 6C 5C 4 S 7 S 3 S1 + C 6C 5C1S 7 S 4 S 2 + C 6C 2C1S 7 S 5 S 3 +
C 6C 3 S 7 S 5 S1 + C 3C 2C1S 7 S 6 S 4 − S 7 S 6 S 4 S 3 S1 + C 4C1S 7 S 6 S 2 − C 7 C 4C 3C 2C1S 5 +
C 7C 4 S 5 S 3 S1 + C 7 C1S 5 S 4 S 2 − C 7C 5C 2C1S 3 − C 7C 5C 3 S1
O
y
= − C 6C 5C 4C 3C 2 S 7 S1 − C 6C 5C 4C 1S 7 S 3 + C 6C 5 S 7 S 4 S 2 S1 + C 6C 2 S 7 S 5 S 3 S1 −
C 6C 3C 1S 7 S 5 + C 3C 2 S 7 S 6 S 4 S1 + C 1S 7 S 6 S 4 S 3 + C 4 S 7 S 6 S 2 S1 − C 7C 4C 3C 2 S 5 S1 −
C 7C 4C 1S 5 S 3 + C 7 S 5 S 4 S 2 S1 − C 7C 5C 2 S 3 S1 + C 7C 5C 3C 1
O
z
= C
C
a
x
6
4
C
C
5
2
C
S
4
C
S
7
S
3
7
S
− C
6
− C
2
7
C
= − C 5C 4C 3C 2C 1S
4
6
C
6
3
C
S
5
5
C
S
y
7
S
− C
2
4
7
C
+ C
2
S
6
5
S
S
7
4
S
5
S
− C
S
2
C
5
3
7
+ C
S
+ C 5C 2 S 6 S 3 S1 + C 5C 1S 6 S 4 S
C 3 S 6 S 5 S1 + C 6C 3C 2C 1S
a
S
2
3
S
3
7
S
6
S
4
S
−
2
2
+ C 2C 1S 6 S 5S
2
− C 6 S 4 S 3S1 + C 6C 4C 1S
4
S
3
2
= − C 5C 4C 3C 2 S 6 S1 − C 5C 4C 1S 6 S 3 + C 5 S 6 S 4 S 2 S1 + C 2 S 6 S 5 S 3 S1 −
C 3C 1S 6 S 5 + C 6C 3C 2 S 4 S1 + C 6C 1S 4 S 3 + C 6C 4 S 2 S1
a
z
= − C 5C 4C 3 S 6 S
p
x
= d 5 S 4 S 3S1 − d 5C 4C 1S
2
− C 5C 2 S 6 S
2
4
+ S6S5S3S
− d 3C 1S
a7C 4 S 7 S 5S 3S1 + a7C1S 7 S 5S 4 S
4
a 7C 7C 3C 2C 1S 6 S
4
2
− C 6C 4C
2
− a 7C 5C 2C 1S 7 S 3 − a 6C 6C 5C 4 S 3 S1 +
2
+ a7C 7 S 6S 4S 3S1 −
2
− a6C 6C 5C 1S 4 S
+ a6 S 6 S 4 S 3S1 − a6C 4C1S 6 S
4
+ C 6C 3S 4 S
− a7C 7C 4C1S 6 S
2
a 7C 7C 6C 3 S 5 S1 − a 6C 3C 2C 1S 6 S
d 5C 3C 2C 1S
2
2
2
− a6C 6C 2C1S 5S 3 −
+ a 7C 7C 6C 5C 4C 3C 2C 1 −
− a 7C 4C 3C 2C 1S 7 S 5 + a 6C 6C 5C 4C 3C 2C 1 −
a 7C 7C 6C 5C 4 S 3S1 − a 7C 5C 3 S 7 S1 − a 6C 6C 3 S 5 S1 − a 7C 7C 6C 5C 1S 4 S
2
−
a7C 7C 6C 2C1S 5S 3
p
y
= − d 3 S 2 S 1 − a 7 C 4C 3C 2 S 7 S 5 S 1 − a 7 C 4C 1S 7 S 5 S
3
+ a 7 C 7C 6C 5C 4C 3C 2 S 1 +
a 7C 7C 6C 5C 4C 1S 3 − a 7C 7C 6C 5 S 4 S 2 S 1 − a 7C 7C 6C 2 S 5 S 3 S 1 + a 7C 7C 6C 3C 1S
a 7C 7C 1S 6 S 4 S
3
+ a 7 S 7 S 5 S 4 S 2 S 1 − a 7 C 5C 2 S 7 S 3 S 1 + a 7C 5C 3C 1S
a 6C 6C 5C 4C 3C 2 S 1 + a 6C 6C 5C 4C 1S
3
7
5
−
+
− d 5C 1S 4 S 3 − d 5C 4 S 2 S 1 −
a 6C 6C 5 S 4 S 2 S 1 − a 6C 6C 2 S 5 S 3 S 1 + a 6C 6C 3C 1S 5 − a 6C 3C 2 S 6 S 4 S 1 −
a 6C 1S 6 S 4 S
3
− a 6C 4 S 6 S 2 S 1 − d 5C 3C 2 S 4 S 1 − a 7 C 7 C 3C 2 S 6 S 4 S 1 − a 7 C 7 C 4 S 6 S 2 S 1
p Z = a 7C 7C 6C 5C 4C 3 S 2 + a 7C 7C 6C 5C 2 S 4 − a 7C 7C 6 S 5 S 3 S 2 − a 7C 7C 3 S 6 S 4 S 2 +
a 7C 7C 4C 2 S 6 − a 7C 4C 3 S 7 S 5 S 2 − a 7C 2 S 7 S 5 S 4 − a 7C 5 S 7 S 3 S 2 + a 6C 6C 5C 4C 3 S 2 +
a 6C 6C 5C 2 S 4 − a 6C 6 S 5 S 3 S 2 − a 6C 3 S 6 S 4 S 2 + a 6C 4C 2 S 6 − d 5C 3 S 4 S 2 +
d 5C 4C
2
+ d 3C
2
+ d1
C-7
+
donde:
Si = sin θi
Ci = cos θi
d i = distancias entre ejes x del eslabón i-1 e i
ai = distancias entre ejes z del eslabón i-1 e i
Estas ecuaciones dan el valor de la posición ( px , p y , pz ) y orientación (n, o, a) del
extremo del robot en función de las coordenadas articulares ( θ1 , θ 2 ,θ3 ,θ 4 ,θ5 ,θ 6 ,θ 7 ).
Cinemática Inversa
El modelo de cinemática inversa permite determinar las variables de unión necesarias para
una orientación y posición deseadas del efector final. Los principales problemas para
obtener el modelo de cinemática inversa son:
• Pueden no existir soluciones, debido a las limitaciones propias del manipulador.
• Son posibles soluciones múltiples, puesto que el manipulador puede ser
posicionado en un mismo punto para diferentes valores de las variables de unión
(singularidad).
• Debido a que generalmente el modelo de cinemática directa es no lineal, su
solución inversa es compleja, dificultando su utilización en control en tiempo real.
Para obtener un modelo de cinemática inversa se puede seguir el siguiente procedimiento.
1. Sea la matriz
⎡ nx
⎢n
Td = ⎢ y
⎢ nz
⎢
⎣0
ox
oy
oz
0
ax
ay
az
0
px ⎤
p y ⎥⎥
pz ⎥
⎥
1⎦
la cual contiene como variables la posición y orientación del marco {n}, los cuales son,
sin embargo, conocidos. Y sea la matriz n T0 dada por
n
T0 = A1 A2 ... An
igualar
Td = n T0 − − − − − − − − (1)
2. Buscar ecuaciones que sean funciones de una sola variable de unión. Y resolver.
C-8
3. Para reducir la complejidad de de los términos del lado derecho de (1),
premultiplicar la matriz Td por la inversa de las matrices adecuadas Ai e igualar con
Ti n , por ejemplo
A1−1Td =n T1 = A2 ... An − − − − − − ( 2 )
El lado izquierdo sólo contiene a θi , como variable de unión, o puede ser conocido si se
encontró θ1 en el paso 2. Puede ser posible plantear ecuaciones que permitan resolver
para una variable de unión, e.g. θ1 . Si es posible plantear otras ecuaciones y resolver.
4. El proceso continua, al premultiplicar ambos lados de (2) por A2−1 , originando
A2−1 A1−1Td =n T2 = A3 ... An − − − − − − ( 3)
puesto que se ha encontrado θ1 , el lado izquierdo sólo es función de la variable θ 2 . Se
trata de eliminar las ecuaciones necesarias para eliminar θ 2 .
5. El proceso continua hasta encontrar las ecuaciones de cada una de las variables
articulares del robot
Método de desacoplo cinemático
El procedimiento visto en el apartado anterior permite obtener los valores de las 3 primeras
variables articulares del robot, aquellas que posicionan su extremo en unas coordenadas
(px, py, pz) determinadas, aunque pueden ser igualmente utilizadas para la obtención de las
demás a costa de una mayor complejidad.
Ahora bien, como es sabido, en general no basta con posicionar el extremo del robot
en un punto del espacio, sino que casi siempre es preciso también conseguir que la
herramienta que el robot porta se oriente de una manera determinada. Para ello, los robots
generalmente cuentan con otros tres grados de libertad adicionales, situados al final de la
cadena cinemática y cuyos ejes, generalmente, se cortan en un punto, que informalmente se
denomina muñeca del robot. Si bien la variación de estos tres últimos grados de libertad
origina un cambio en la posición final del extremo real del robot, su verdadero objetivo es
poder orientar la herramienta del robot libremente en el espacio.
El método de desacoplo cinemático saca partido de este hecho, separando ambos
problemas: posición y orientación. Para ello, dada una posición y orientación final
deseadas, establece las coordenadas del punto de corte de los 3 últimos ejes (muñeca del
robot) calculándose los valores de las tres primeras variables articulares (θ1 ,θ 2 ,θ3 ) que
consiguen posicionar este punto. A continuación, a partir, de los datos de orientación y de
los ya calculados (θ1 ,θ 2 ,θ3 ) obtiene los valores del resto de las variables articulares
(θ4 ,θ5 ,θ6 ) .
C-9
A continuación se muestra el método de desacoplo cinemático aplicado al brazo
robótico antropomórfico. Con los sistemas de coordenadas asociados según el
procedimiento de Denavit-Hartenberg, cuyos parámetros se pueden observar en la Tabla 1
y dada una posición y orientación final deseadas se establecen las coordenadas de los 3
últimos ejes calculándose los valores de las primeras variables articulares ( θ1 ,θ 2 , θ 3 , θ 4 )
que consiguen posicionar este punto. A continuación, a partir de los datos de orientación y
de los ya calculados ( θ1 , θ 2 , θ 3 , θ 4 ) se obtiene el resto de las variables articulares ( θ 5 , θ 6 ,θ 7 ).
Para obtener las variables articulares θ1 , θ 2 ,θ 3 , θ 4 que nos dan la posición de la
muñeca del robot, se utiliza una submatriz de la matriz de transformación homogénea 0 T7 ,
denominada Td = 0 T4 = A1 A2 A3 A4 ; se tiene entonces que:
Td = 0 T4 = A1 A2 A3 A4
k = 1 ( A1 ) −1Td = A2 A3 A4
k = 2 ( A2 ) −1 ( A1 ) −1Td = A3 A4
k = 3 ( A3 ) −1 ( A2 ) −1 ( A1 ) −1Td = A4
⎡n o a p ⎤
Además, Td = ⎢
⎥ es conocida ya que son los valores de posición y
⎣0 0 0 1 ⎦
orientación deseados, los miembros de la izquierda en las expresiones anteriores son
función de variables articulares ( θ1 ,...θ k ) mientras que los miembros de la derecha lo son de
las variables articulares ( θ k +1 ,...θ 4 ).
Para aplicar este método, es necesario primero calcular las inversas de la matriz de
transformación homogénea Ai , de las primeras cuatro variables articulares ( θ1 , θ 2 ,θ 3 , θ 4 ),
esto se hace como sigue:
⎡ cos θ1
⎢ sin θ
1
A1−1 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
⎡ cos θ 2
⎢ sin θ
2
−1
A2 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
− sin θ1
cos θ1
0
0
0 sin θ 2
0 − cos θ 2
1
0
0
0
0
0
1
0
−1
0⎤
⎡ cos θ1 sin θ1
⎥
⎢ − sin θ cos θ
0⎥
1
1
=⎢
⎢ 0
0⎥
0
⎥
⎢
1⎦
0
⎣ 0
−1
0⎤
⎡ cos θ 2
⎥
⎢ 0
0⎥
=⎢
⎢ sin θ 2
d2 ⎥
⎥
⎢
1⎦
⎣ 0
sin θ 2
0
− cos θ 2
0
0
0
1
0
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
0 0 ⎤
1 − d 2 ⎥⎥
0 0 ⎥
⎥
0 1 ⎦
C-10
⎡cos θ3
⎢ sin θ
3
−1
⎢
A3 =
⎢ 0
⎢
⎣ 0
⎡ cos θ 4
⎢ sin θ
4
−1
A4 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 0
0 sin θ 3
0 − cos θ 3
1
0
0
0
0 sin θ 4
0 − cos θ 4
1
0
0
0
−1
0⎤
⎡cos θ3
⎥
⎢ 0
0⎥
=⎢
⎢ sin θ3
0⎥
⎥
⎢
1⎦
⎣ 0
−1
0⎤
⎡ cos θ 4
⎥
⎢ 0
0⎥
=⎢
⎢ sin θ 4
d4 ⎥
⎥
⎢
1⎦
⎣ 0
sin θ3
0
− cos θ3
0
0
1
0
0
sin θ 4
0
− cos θ 4
0
0 0 ⎤
1 − d 4 ⎥⎥
0 0 ⎥
⎥
0 1 ⎦
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
La primera variable articular se obtiene de la siguiente forma ( A1 ) Td = A2 A3 A4 de
la cual se obtiene la siguiente expresión:
−1
⎛ py ⎞
⎟
⎝ px ⎠
θ1 = tan −1 ⎜
( A2 )
−1
Para la segunda variable articular tenemos la siguiente expresión
−1
( A1 ) Td = A3 A4 y debido a que ya conocemos el valor de θ1 , obtenemos:
⎛
θ 2 = tan −1 ⎜ −
⎝
( A3 )
−1
px cos θ1 + p y sin θ1 ⎞
⎟
pz − d1
⎠
Para la tercera variable articular tenemos la siguiente
−1
−1
( A2 ) ( A1 ) Td = A4 y como conocemos θ1 y θ2 , obtenemos:
expresión
⎛
⎞
ax sin θ1 + a y cos θ1
⎜ a cos θ cos θ + a sin θ cos θ + a sin θ ⎟⎟
1
2
y
1
2
z
2 ⎠
⎝ x
θ3 = tan −1 ⎜
θ4
⎛ − a x ( c o s θ 1 c o s θ 2 c o s θ 3 − s in θ 1 s in θ 3 ) ⎞
⎜
⎟
⎜ − a y ( s in θ 1 c o s θ 2 c o s θ 3 + c o s θ 1 s in θ 3 ) ⎟
⎜
⎟
− 1 ⎜ − a z s in θ 2 c o s θ 3
⎟
= ta n
⎟
⎜
− a x c o s θ 1 s in θ 2
⎜
⎟
− a y s in θ 1 s in θ 2
⎜
⎟
⎜
⎟
+ a z cos θ 2
⎝
⎠
C-11
Para obtener los valores de θ 5 , θ 6 ,θ 7 , que consiguen la orientación deseada de la
mano, se denomina 0 R7
( 3x3)
a la submatriz de rotación de 0 T7 y Bi a las submatrices de
rotación de las matrices Ai , entonces:
0
Donde
0
0
R7 = [n o a ] = 0 R4 4 R7
R7 es conocida por ser la orientación deseada del extremo del robot, y
R4 definida por:
0
R4 = B1 B2 B3 B4
también es conocida, por lo que
4
T
R7 = [rij ] = ⎡⎣ 0 R4 ⎤⎦ [n o a]
tendrá sus componentes numéricas conocidas. Por otra parte
4
R7 corresponde a la
submatriz de rotación de la matriz de transformación homogénea 4 T7 que relaciona el
sistema de coordenadas 4 con el 7, por lo tanto:
4
R7 = R5 R6 R7
Donde 4 R7 es la submatriz de rotación de la matriz de Denavit-Hartenberg 4 T7 cuyos
valores son:
⎡cos θ5 0 sin θ5 ⎤
R5 = ⎢⎢ sin θ5 0 − cos θ5 ⎥⎥
⎢⎣ 0
1
0 ⎥⎦
⎡cos θ 7
R7 = ⎢⎢ sin θ 7
⎣⎢ 0
⎡cos θ 6 0 sin θ 6 ⎤
R6 = ⎢⎢ sin θ 6 0 − cos θ 6 ⎥⎥
⎢⎣ 0
1
0 ⎥⎦
0 sin θ 7 ⎤
0 − cos θ 7 ⎥⎥
1
0 ⎦⎥
Luego se tiene que
⎡ cos θ5 cos θ 6 cos θ 7 − sin θ5 sin θ 7
⎢
R5 = ⎢sin θ5 cos θ 6 cos θ 7 + cos θ5 sin θ 7
sin θ 6 cos θ 7
⎣⎢
− cos θ5 cos θ 6 sin θ 7 − sin θ 5 sin θ 7
− sin θ 5 cos θ 6 cos θ 7 + cos θ5 cos θ 7
− sin θ 6 sin θ 7
− cos θ 5 sin θ 6 ⎤
− sin θ 5 sin θ 6 ⎥⎥
cos θ 6
⎦⎥
Donde rij serán valores numéricos conocidos:
C-12
⎡ cos θ5 cos θ 6 cos θ 7 − sin θ5 sin θ 7
rij = R5 = ⎢⎢sin θ5 cos θ 6 cos θ 7 + cos θ5 sin θ 7
sin θ 6 cos θ 7
⎣⎢
− cos θ 5 cos θ 6 sin θ 7 − sin θ5 sin θ 7
− sin θ5 cos θ 6 cos θ 7 + cos θ 5 cos θ 7
− sin θ 6 sin θ 7
− cos θ5 sin θ 6 ⎤
− sin θ5 sin θ 6 ⎥⎥
cos θ 6
⎦⎥
De esta matriz se obtiene el valor de θ5 , θ 6 ,θ 7 :
⎛ r23 ⎞
⎟
⎝ r13 ⎠
θ5 = arctan ⎜
⎛ r21 − cos(θ5 ) sin(θ 7 ) ⎞
⎟
⎝ sin(θ5 ) cos(θ 7 ) ⎠
θ 6 = arccos ⎜
⎛ −r32 ⎞
⎟
⎝ r31 ⎠
θ 7 = arctan ⎜
Con esto, se tienen las siete ecuaciones que determinan la solución completa del
problema cinemático inverso del brazo.
Debido a que hay soluciones múltiples, puesto que el manipulador puede ser
posicionado en un mismo punto para diferentes valores de las variables de unión, existen
otro conjunto de ecuaciones que solo satisfacen ciertos puntos del espacio de trabajo, tales
ecuaciones se mencionan a continuación:
⎛
⎞
oz
⎜ o cos θ + o sin θ ⎟⎟
1
1 ⎠
y
⎝ x
θ 2 = tan −1 ⎜
⎛
⎞
− nx sin θ1 + n y cos θ1
⎜ n cos θ cos θ + n sin θ cos θ + n sin θ ⎟⎟
1
2
y
1
2
z
2 ⎠
⎝ x
θ 3 = tan −1 ⎜
⎛ −ox cos θ1 cos θ 2 + o y sin θ1 cos θ 2 + oz sin θ 2 ⎞
⎟⎟
⎜
−ox sin θ1 + o y cos θ1
⎝
⎠
θ 3 = tan −1 ⎜
⎛
⎞
− n x c o s θ 1 s in θ 2
⎜
⎟
− n y s in θ 1 s in θ 2
⎜
⎟
⎜
⎟
+ nz cos θ 2
−1 ⎜
⎟
θ 4 = ta n
⎜ n x ( c o s θ 1 c o s θ 2 c o s θ 3 − s in θ 1 s in θ 3 ) ⎟
⎜
⎟
⎜ + n y ( s in θ 1 c o s θ 2 c o s θ 3 + c o s θ 1 s in θ 3 ) ⎟
⎜
⎟
⎝ + n z s in θ 2 c o s θ 3
⎠
⎛ r11 + sin θ5 sin θ 7 ⎞
⎟
⎝ cos θ5 cos θ 7 ⎠
θ 6 = arccos ⎜
C-13
Anexo D
Modelo Dinámico de un Robot de
3 GDL con Controlador PD+G
Para analizar el comportamiento dinámico del robot y conocer los valores de los pares que
se necesitan de los actuadores para cumplir con los requerimientos de diseño se desarrolló
el modelo dinámico del robot con ayuda de Maple®, considerando únicamente los 3 gdl
que tienen que vencer la fuerza de gravedad y las inercias de las masas para llevar a cabo su
función: uno del hombro, uno del codo y uno de la muñeca, ya que puede deducirse que si
conocemos los pares necesarios por estos actuadores, los valores de los otros serán iguales
o menores.
El modelo dinámico se derivó tomando en cuenta los parámetros que se muestran en
la figura 1 y sus valores se tomaron del diseño final en Solidworks®.
Figura 1.- Robot de 3 grados de libertad.
m es la masa del eslabón.
q son las variables articulares del robot.
l son las longitudes de los eslabones.
c son las distancias de los ejes de giro de los eslabones a los centros de masa.
I son los momentos de inercia en los centros de masa.
g es la fuerza de gravedad que actúa en el sistema.
La obtención del modelo dinámico del robot se basó en las ecuaciones de
movimiento de Lagrange para un sistema conservativo,
d ⎡ ∂L ( q, q ) ⎤ ∂L ( q, q )
=τ
⎢
⎥−
(1)
∂q
dt ⎣ ∂q ⎦
D-1
o, de manera equivalente:
d ⎡ ∂L ( q, q ) ⎤ ∂L ( q, q )
= τi
⎢
⎥−
dt ⎣ ∂qi ⎦
∂qi
i = 1… n
donde L ( q, q ) es el Lagrangiano definido como L ( q, q ) = K ( q, q ) − U ( q ) , K ( q, q ) es la
energía cinética del robot, U ( q ) es su energía potencial, τ i son las fuerzas y pares
ejercidos externamente (por actuadores) en cada articulación y n es el número de
articulaciones del robot.
El procedimiento seguido fue:
1. Obtención de las coordenadas de los centros de masas para cada eslabón (x1, y1, x2,
y2, x3, y3) analíticamente.
2. A partir de las coordenadas de las posiciones se obtuvieron las velocidades de cada
eslabón derivando las ecuaciones correspondientes.
3. Se calculó la energía cinética con la fórmula:
1
1 ⎛d ⎞
K ( q, q ) = mv 2 + I ⎜ q ⎟
2
2 ⎝ dt ⎠
2
(2)
m es la masa del eslabón, v es la velocidad del eslabón en su centro de masa, I es el
momento de inercia y q es el ángulo desde el punto de equilibrio hasta el lugar donde se
halla el eslabón.
4. Se obtuvo la energía potencial U ( q ) , de cada eslabón analíticamente.
5. Una vez obtenidas estas energías se calculó el Lagrangiano:
L ( q , q ) = K ( q, q ) − U ( q )
(3)
6. Con esta expresión se calcularon las ecuaciones de movimiento de Lagrange, dadas
por ( 1 ).
Resolviendo las ecuaciones, se concluye que los pares se definen como:
τ 1 = m3l1c3 cos ( q2 − q3 )( q1 − q2 + q3 ) − m3l1c3 sin ( q2 − q3 )( q1 − q2 + q3 )( q2 − q3 )
+ m3l1c3 cos ( q2 − q3 ) q1 − m3l1c3 sin ( q2 − q3 )( q2 − q3 ) q1
+ ⎡⎣ −2m3l2 c3 sin ( q3 ) q3 − 2l1 ( m2 c2 + m3l2 ) sin ( q2 ) q2 ⎤⎦ q1
⎡ 2m3l2 c3 cos ( q3 ) + 2l1 ( m2 c2 + m3l2 ) cos ( q2 )
⎤
⎥ q1
+⎢
2
2
2
2
2
2
⎢⎣ + m3 ( l1 + l2 + l3 ) + m1c1 + m2l1 + m2 c2 + I1 + I 2 + I 3 ⎥⎦
+ ⎡⎣ 2m3l2 c3 sin ( q3 ) q3 + l1 ( m2 c2 + m3l2 ) sin ( q2 ) q2 ⎤⎦ q2
(4)
− ⎣⎡ 2m3l2 c3 cos ( q3 ) + l1 ( m2 c2 + m3l2 ) cos ( q2 ) + m3 ( l22 + c32 ) + m2 c22 + I 2 + I 3 ⎤⎦ q2
+ ⎡⎣ m3l2 c3 cos ( q3 ) + m3c32 + I 3 ⎤⎦ q3 − m3l2 c3 sin ( q3 ) q32
− ( m1c1 − m2l1 − m3l1 ) g sin ( q1 ) + ( m2 c2 + m3l2 ) g sin ( q1 − q2 ) + m3c3 g sin ( q1 − q2 + q3 )
D-2
τ 2 = − m3l1c3 cos ( q2 − q3 ) q1 + m3l1c3 sin ( q2 − q3 )( q2 − q3 ) q1
+ ⎡⎣ 2 m3l2 c3 sin ( q3 ) q3 + l1 ( m2 c2 + m3l2 ) sin ( q2 ) q2 ⎤⎦ q1
− ⎣⎡ 2 m3l2 c3 cos ( q3 ) + l1 ( m2 c2 + m3l2 ) cos ( q2 ) + m3 ( l22 + c32 ) + m2 c22 + I 2 + I 3 ⎦⎤ q1
− 2 m3l2 c3 sin ( q3 ) q2 q3 + ⎡⎣ 2 m3l2 c3 cos ( q3 ) + m3 ( l22 + c32 ) + m2 c22 + I 2 + I 3 ⎤⎦ q2
− ⎡⎣ m3l2 c3 cos ( q3 ) + m3c32 + I 3 ⎤⎦ q3 + m3l2 c3 sin ( q3 ) q32
(5)
+ l1 ( m2 c2 + m3l2 ) sin ( q2 ) ⎡⎣ q12 − q1q2 ⎤⎦ − ( m2 c2 + m3l2 ) g sin ( q1 − q2 )
+ m3l1c3 sin ( q2 − q3 )( q1 − q2 + q3 ) q1 − m3c3 g sin ( q1 − q2 + q3 )
τ 3 = m3l1c3 cos ( q2 − q3 ) q1 − m3l1c3 sin ( q2 − q3 )( q2 − q3 ) q1 + ⎡⎣ m3 c32 + I 3 ⎤⎦ q3
− m3 l2 c3 sin ( q3 )( q1 − q2 ) q3 + ⎡⎣ m3 l2 c3 cos ( q3 ) + m3 c32 + I 3 ⎤⎦ ( q1 − q2 )
{
(6)
}
− m3 c3 − g sin ( q1 − q2 + q3 ) + ⎡⎣l1 sin ( q2 − q3 ) q1 − l2 sin ( q3 )( q1 − q2 ) ⎤⎦ ( q1 − q2 + q3 )
Siendo τ 1 , τ 2 y τ 3 los pares que actúan en las uniones 1,2 y 3 de la figura 1.
Las ecuaciones dinámicas del robot (4, 5 y 6) son un conjunto de tres ecuaciones
diferenciales no lineales.
Simulación y selección de actuadores
Para simular el sistema obtenido se tomaron lo valores de los parámetros dados por
Solidworks® del diseño del sistema robótico.
m1 = 15.682kg m2 = 11.078kg m3 = 1.520kg .
l1 = 0.36617 m l2 = 0.39116m
l3 = 0.21365m.
c1 = 0.2361m
c2 = 0.07223m
c3 = 0.07969m.
I1 = 1.9553m
I 2 = 1.9315m
I 3 = 0.01782m 4 .
4
4
También con ayuda de Maple® se realizaron las simulaciones de este sistema. La
primera simulación se realizó considerando que los pares τ 1 , τ 2 y τ 3 son cero, para ver el
comportamiento del robot sin excitación externa y partiendo de una posición inicial.
Condiciones iniciales:
•
•
q1 ( 0 ) = 0, q2 ( 0 ) = 0 y q3 ( 0 ) =
π
8
q1 ( 0 ) = 0, q2 ( 0 ) = 0 y q3 ( 0 ) = 0.
rad .
Las gráficas resultantes son las siguientes:
D-3
t (segs)
Posición (rad)
Posición (rad)
Posición (rad)
t (segs)
t (segs)
t (segs)
Velocidad (rad/seg)
t (segs)
Velocidad (rad/seg)
Velocidad (rad/seg)
Figura 2.- Posiciones de las articulaciones 1, 2 y 3 del robot en la primera simulación.
t (segs)
Figura 3.- Velocidades de las articulaciones 1, 2 y 3 del robot.
Como se observa en los resultados, el hombro y el codo parten de una posición
inicial cero, mientras que la muñeca parte de π 8 rad . Conforme pasa el tiempo q1 y q2
van adquiriendo movimiento pero muy pequeño ya que el movimiento de la muñeca no los
afecta en gran medida.
t (segs)
Posición (rad)
t (segs)
Posición (rad)
Posición (rad)
Al cambiar las condiciones iniciales se obtiene:
π
• q1 ( 0 ) = , q2 ( 0 ) = 0 y q3 ( 0 ) = 0.
8
• q1 ( 0 ) = 0, q2 ( 0 ) = 0 y q3 ( 0 ) = 0.
t (segs)
Figura 4.- Posiciones de las articulaciones 1, 2 y 3 del robot.
D-4
t (segs)
Velocidad (rad/seg)
Velocidad (rad/seg)
Velocidad (rad/seg)
t (segs)
t (segs)
Figura 5.- Velocidades de las articulaciones 1, 2 y 3 del robot.
Se observa la diferencia al cambiar las condiciones iniciales, ya que al mover la
articulación 1 (brazo) las otras sufren un movimiento grande, sobre todo la mano. El motivo
por el que el antebrazo (articulación 2) no se mueva tanto es por su elevado momento de
inercia, debido al peso y a la cantidad de motores que se colocaron para mover los dedos de
la mano.
Control de posición PD+g
Se incluye un controlador tipo PD+g (Proporcional-Derivativo con compensación de la
gravedad) para obtener los pares aplicados al diseño.
El controlador tiene la forma:
τ = k p q − kv q + g ( q )
(7)
Donde:
k p y kv son matrices simétricas definidas positivas de orden nxn,
q es el error de posición, definido como q = qd − q ,
qd es la posición deseada, y
g ( q ) es una matriz que contiene los términos que involucran a la gravedad. [9]
La simulación con controlador consistirá en resolver, para las variables deseadas, el
siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
= k p(1,1) ( qd 1 − q1 ) − kv(1,1) q1 + g(1,1) ( q )
⎜
⎟−
dt ⎝ ∂q1 ⎠ ∂q1
d ⎛ ∂L
⎜
dt ⎝ ∂q2
⎞ ∂L
= k p( 2,2) ( qd 2 − q2 ) − kv( 2,2) q2 + g( 2,1) ( q )
⎟−
⎠ ∂q2
(8)
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
= k p(3,3) ( qd 3 − q3 ) − kv(3,3) q3 + g(3,1) ( q )
⎜
⎟−
dt ⎝ ∂q3 ⎠ ∂q3
D-5
El vector de posiciones deseadas es:
⎡π ⎤
qd = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ rad
⎢⎣ 0 ⎥⎦
Las condiciones iniciales son:
• q1 ( 0 ) = 0, q2 ( 0 ) = 0 y q3 ( 0 ) = 0.
•
q1 ( 0 ) = 0, q2 ( 0 ) = 0 y q3 ( 0 ) = 0.
Las matrices k p , kv ∈ R nxn kv se seleccionaron arbitrariamente y cumplen con las
propiedades de ser simétricas y definidas positivas:
⎡70 0 0 ⎤
k p = ⎢⎢ 0 45 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0 0 20 ⎥⎦
⎡70 0 0 ⎤
kv = ⎢⎢ 0 40 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0 0 20⎥⎦
Con estos valores se resuelve el sistema ( 8 ) y se obtienen los siguientes resultados.
q1
q2
q3
Figura 6.- Posiciones de las articulaciones 1, 2 y 3 del robot con controlador.
q1
q2
q3
Figura 7.- Par necesario.
D-6
En la figura 7 se muestra el par que es necesario aplicar a las articulaciones para
mover 180º ( π radianes) la primera articulación, colocando al brazo en posición vertical.
Si se cambia el punto final donde se desea que llegue el brazo, el par necesario
cambiará tal como ve en la figura 9.
La siguiente deseada se cambió al punto:
⎡π 2 ⎤
qd = ⎢⎢0 ⎥⎥ rad
⎢⎣0 ⎥⎦
Los resultados son:
q1
q2
q3
Figura 8.- Posiciones de las articulaciones del robot para llegar a
qd 1 = π 2 .
q1
q2
q3
Figura 9.- Pares necesarios para alcanzar la posición deseada.
En las figuras 8 y 9 se observa que, aunque sólo se desea mover una articulación, es
necesario aplicar par mecánico a las demás, para mantener la posición de equilibrio y llegar
a la posición deseada final.
D-7
Anexo E
Características de los Módulos de
National Instruments®
Las tarjetas de adquisición de datos y los módulos de conexión se seleccionaron porque se
tienen en existencia y se planea emplearlos. Además, cumplen con los requisitos de
velocidad de muestreo para recolectar datos de posición y velocidad de los encóders
ópticos.
E-1
E-2
Anexo F
Justificación de las
Especificaciones de Diseño
La estructura del brazo y de la mano del robot antropomórfico se eligieron partiendo del
análisis de brazos robots diseñados y construidos en diversos países. De estos diseños se
observa que, para que un robot realice movimientos semejantes a los de los humanos, se
requiere un sistema que cuente con, al menos seis GDL; en los casos donde se requiere
mayor antropomorfismo los diseños cuentan con siete GDL. Además, la implementación
requiere de componentes que permitan que la estructura y el tamaño del sistema sean de
dimensiones antropomórficas.
El diseño del brazo de esta tesis cuenta con siete GDL, que le permiten realizar la
mayoría de los movimientos que realiza un brazo humano. La mano diseñada cuenta con
quince GDL para realizar sus movimientos, aunque cuatro de ellos son subactuados. El
diseño robótico es capaz de realizar los movimientos del sistema humano brazo-mano. Los
rangos de movilidad que debe ser capaz de cubrir el sistema robótico se muestran en la
tabla 2.1, para el brazo y en la tabla 3.1, para la mano.
El máximo radio de operación del sistema está delimitado por su estructura y sus
dimensiones, como se muestra en las figuras 2.3 y 2.4.
Para conocer el par aproximado necesario para las articulaciones, se realizó el
modelado dinámico y simulación del sistema; con esta información se seleccionaron los
actuadores y reductores requeridos para cumplir con los objetivos de diseño.
Según la gráfica de la figura 4.5, donde se muestran los resultados de la simulación
para lograr un movimiento de 180º de una de las articulaciones del hombro, se requieren
aproximadamente 50 Nm de par mecánico para lograr ese movimiento en 3 segundos.
Es necesario seleccionar componentes que permitan lograr este par sin perder las
características de antropomorfismo. Seleccionar un actuador que brinde el par de 50 Nm
resulta en un motor de tamaño que impide que el sistema tenga forma y tamaño humanos,
por lo que se seleccionó un motor de CD de la marca Faulhaber®, que brinda 0.11 Nm y
un reductor de la marca Harmonic Drive®, de tamaño reducido y alto par mecánico, con
reducción 1:160. Con esto se obtiene un par de
τ = ( 0.11Nm )(160 ) = 17.6 Nm
F-1
Como se requieren 50 Nm y el sistema de reducción proporciona 17.6 Nm, es
necesario incrementar este par; esto se logra por medio de un sistema banda-polea con
reducción 1:3, entonces se tiene que el par máximo será de
τ máx = (17.6 Nm )( 3) = 52.8 Nm
Los motores seleccionados cuentan con un sistema de encóder óptico para conocer
su posición y velocidad. Esto permite monitorear esas variables e implementar sistemas
computarizados de control. La resolución de los encóders seleccionados es de 512 cuentas
por giro del motor. Tomando en cuenta la reducción del sistema se tiene que
⎛ 512c ⎞
c
R=⎜
⎟ ( 3)(160 ) = 682.667 º
⎝ 360º ⎠
Esto significa que cuando el sistema gira 1º el encóder cuenta 682.667 pulsos. Esta
información sirve para controlar el sistema con una sensibilidad de
S=
1c
682.667 c
= 0.00146º
º
Así, el encóder es capaz de detectar un movimiento del orden de 1.4 milésimas de
grado en esa articulación.
Como el motor seleccionado tiene una velocidad de 8000 rpm y la reducción total es
de 1:480, la velocidad máxima a la que gira la articulación es
vmáx =
8000 rev min ⎛ 1min ⎞ ⎛ 360º ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ = 100 º seg
480
⎝ 60seg ⎠ ⎝ 1rev ⎠
Este resultado indica que el hombro es capaz de girar 100º en un segundo, entonces
puede girar 180º o más en 3 segundos. Entonecs es posible lograr el movimiento mostrado
en los resultados de la simulación del capítulo 4, figura 4.5.
Este análisis se realizó para la articulación sometida al mayor esfuerzo. Para las
articulaciones restantes se lleva a cabo un análisis similar para obtener sus parámetros.
Otros datos, como el par continuo y el par máximo se obtienen de las hojas de datos de los
reductores.
La carga máxima en la mano robótica se tomó en cuenta al realizar el análisis del
modelado dinámico. Se consideró una carga de 0.5 kg. y se realizaron las simulaciones.
La masa del brazo y de la mano se obtuvieron de los diseños finales realizados en
Solidworks®.
F-2