Sesión teórica 19

Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Series numéricas (I)
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Definición
Sea {an } una sucesión de reales y sea la sucesión asociada
{Sn } de sumas parciales, Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an .
LLamaremos serie a la pareja
P formada por ambas sucesiones
y la representaremos por
an .
P
Diremos que una serie
an es convergente si converge {Sn }
y llamaremos suma de la serie al lı́mn Sn .
Diremos que una serie es divergente si no es convergente.
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
1
Convergencia y divergencia
2
Series importantes
3
Propiedades generales
4
Series de términos positivos
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
1
Convergencia y divergencia
2
Series importantes
3
Propiedades generales
4
Series de términos positivos
Series de términos positivos
Series de términos positivos
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Serie geométrica
Kn = 1 + K + K2 + K3 + K4 + ···
P
K n , es
Propiedades generales
Teorema
La serie geométrica de razón K es convergente si, y sólo si,
|K | < 1. En estos casos, su suma es
+∞
X
n=0
Llamaremos serie armónica a la serie
+∞
X
1
Series de términos positivos
1
K =
1−K
S k =1+
2
1
2
+
=1+
1
3
+
1
2
=1+
Propiedades generales
Series de términos positivos
Serie armónica generalizada
1
4
+
1
2
1
1
5
+
1
+
4
+
1
2
Convergencia y divergencia
+
4
+
+
1
2
1
6
1
+
2
3
+
+ ··· +
7
1
2
+
1
1
+
4
1
5
1
+
6
+
1
7
+ ··· +
1
2k
=
1
1
1
++
+ ··· +
2k −1 + 1
2k−1 + 2
2k
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ··· +
++
+ ··· +
=
k
k
k
8
8
8
8
2
2
2
+
1
1
8
+ ··· +
=1+k ·
Series importantes
1
2
−→ +∞ cuando k → +∞.
Propiedades generales
≥
Series de términos positivos
Series telescópicas (ejemplo)
X
Llamaremos serie armónica generalizada a la serie
X 1
1
1
1
1
1
1
= α + α + α + α + α + α + ···
α
n
1
2
3
4
5
6
es decir,
Demostración:
(Demostrar)
Series importantes
n,
Teorema
La serie armónica es divergente.
=1+
n
P1
1 1 1 1 1 1
+ + + + + + ···
2 3 4 5 6 7
=1+
n
n=1
con K ∈ R
n=0
Convergencia y divergencia
Series importantes
Serie armónica
Llamaremos serie geométrica de razón K a la serie
decir,
+∞
X
Convergencia y divergencia
1
puede sumarse mediante “cancelación telescópica”:
n(n+1)
El término general se descompone en suma de dos fracciones simples:
1
n(n+1)
con α ∈ R.
=
A
n
+
B
n+1
=
An + A + Bn
n(n+1)
⇒ A = 1, B = −1 ⇒
1
n(n+1)
=
1
n
−
1
n+1
n≥1
Esto permite calcular la suma de la serie:
Teorema
Sn =
X 1
converge ⇐⇒ α > 1
nα
n≥1
(Se verá más adelante)
=
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ··· +
=
1· 2
2· 3
3· 4
4· 5
n(n+1)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
− + − + − + − + −··· + −
= −
1
2
2
3
3
4
4
5
n
n+1
1
n+1
luego {Sn } es convergente a 1 y, ası́, la serie es convergente y
X
n≥1
1
=1
n(n+1)
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Álgebra de series
1
Convergencia y divergencia
2
Series importantes
3
Propiedades generales
4
Series de términos positivos
Convergencia y divergencia
Series importantes
P
P
Sean
an ,
bn dos series convergentes con sumas A, B,
respectivamente. Entonces,
(i) la
Pserie
(an + bn ) = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + (a3 + b3 ) + · · ·
es convergente y suma A + B,
P
(ii) la serie
(λan ) = λa1 + λa2 + λa3 + · · · es
convergente y suma λA,
Propiedades generales
(iii) la serie ap+1 + ap+2 + ap+3 + ap+4 + · · · es
convergente y suma A − (a1 + a2 + a3 + · · · + ap )
Series de términos positivos
Cauchy para series
Criterio muy útil en algunas demostraciones:
P
an es convergente si, y sólo si,
∀ > 0, ∃ N ∈ N : si m > n ≥ N entonces |an+1 +an+2 +· · ·+am | < (Demostrar)
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Primer criterio de divergencia
Teorema
P
Si
an es convergente, entonces la sucesión {an } converge a
cero.
Equivalentemente:Psi la sucesión {an } no converge a cero,
entonces la serie
an es divergente.
Ejercicio: Estudiar la convergencia de la serie
X n2 + 4
.
2n3 − 2
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Criterio 1o de comparación
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Criterio 2o de comparación
Sean an , bn > 0 tales que
Sean an , bn tales que |an | ≤ bn para todo n.
P
P
Si
bn es convergente, entonces an también es
convergente.
P
P
(Por lo tanto, si
an es divergente, entonces
bn
también es divergente).
(Demostrar)
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
lı́m
n
Entonces:
P
an y
P
an
= λ ∈ R \ {0}.
bn
bn tienen el mismo carácter
Una utilidad: permite determinar, comparando con la serie
armónica generalizada, la convergencia o divergencia de
cualquier serie cuyo término general sea un cociente de
polinomios.
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Definición
P
Una serie
an es de términos positivos si an > 0 para todo n.
1
Convergencia y divergencia
Objetivo: Proporcionar criterios de convergencia especı́ficos
para series de términos positivos.
2
Series importantes
Observaciones:
3
Propiedades generales
4
Series de términos positivos
Aunque los criterios serán enunciados para series de términos
positivos, pueden aplicarse también cuando an > 0 a partir de un cierto
término aN (es decir, se permite no ser positivos a una cantidad finita
de an ).
P
P
Como
an es convergente si y sólo si (−1) an lo es, los criterios de
convergencia para series de términos positivos se pueden aplicar
también a series de términos negativos.
P
Si
an es una serie de términos positivos, an > 0 ∀ n, entonces la
sucesión de sus sumas parciales {Sn }, es monótona creciente, luego
bastará que {Sn } sea acotada superiormente para que {Sn }, y por lo
tanto la serie, sea convergente.
Convergencia y divergencia
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Criterio de D’Alembert
Series importantes
Propiedades generales
Series de términos positivos
Criterio de la Raı́z n-ésima o de Cauchy
Teorema
P
an+1
≤ q < 1 para todo n entonces
an converge.
an
P
an+1
Si
≥ 1 para todo n entonces
an diverge.
an
Si
Teorema
P
Sea
an una serie de términos positivos.
√
P
Si n an ≤ q < 1 para todo n entonces
an converge.
√
P
n
Si an ≥ 1 para todo n entonces
an diverge.
(Demostrar)
(Demostrar)
Corolario (Criterio de D’Alembert)
an+1
Sea lı́m
= α. Entonces:
an
P
Si α < 1 entonces
an converge.
P
Si α > 1 entonces
an diverge.
P
Si α = 1 entonces
an puede ser convergente o divergente.
Ejercicio: Estudia el carácter de la serie
Convergencia y divergencia
P+∞ n3
.
n=1
n!
Corolario (Criterio de la raı́z n-ésima o de Cauchy)
√
P
Sea
an una serie de términos positivos. Sea lı́m n an = β. Entonces:
P
Si β < 1 entonces
an converge.
P
Si β > 1 entonces
an diverge.
P
Si β = 1 entonces
an puede ser convergente o divergente.
P
1 + sin3 n
Ejercicio: Estudiar el carácter de la serie +∞
n=1
nn
√
an+1
n
Teorema: Si existe β = lı́m an , entonces existe α = lı́m
=β
an