El Tensor de Deformación - Centro de Geociencias ::.. UNAM

El Tensor de Deformación, con3nuación Habíamos escrito El Tensor de Deformación de forma general como:!
Sin embargo, en nuestro caso (y en muchos otros) estaremos tratando con
deformaciones muy pequeñas, por lo que podemos despreciar el tercer
miembro de la ecuación (son términos de segundo orden, o multiplicaciones
de diferenciales) de manera que:!
Ahora bien, los subíndices son “mudos” y no importa cómo los denominemos
(i, j, k, l, pedro o lupe), mientras seamos congruentes en lo que significan.!
!
Además, para no confundir los desplazamientos con los elementos del
tensor (la notación anterior es la del libro de Landau y Lifshitz) , cambiemos
el nombre, así que podemos re-escribir el tensor de deformación :!
Veamos nuevamente alguna propiedades de las diferenciales involucradas
en este tensor.!
Recordemos que una diferencial parcial, no es otra cosa que la variación de
una función con respecto a una de las coordenadas (o variable dependiente).!
Para poder describir la deformación usamos vectores de desplazamiento:!
Desplazamiento del
punto x !
Cambio en el desplazamiento
con respecto al eje xj !
La diferencial δui la podemos descomponer en dos partes, si sumamos y
restamos :!
Al hacer esto estamos en efecto desacoplando la parte de deformación rígida
(ωij) de la de distorsión (eij). ¿reconoces alguna parte de la ecuación?!
La parte que llamamos ωij corresponde a una rotación rígida.!
!
La parte que produce distorsión es lo que habíamos llamado tensor de
deformación:!
!
!
cuyos elementos son (escríbelos):!
Fijarse que los elementos son variaciones (tasas) de cada componente del
vector de desplazamiento con respecto a los ejes coordenados.!
Ejemplos de posibles deformaciones para un elemento de dos dimensiones!
La traza o suma de la diagonal del tensor de
deformación nos da lo que se llama la dilatancia:!
Para un volumen inicial dx1 dx2 dx3 el volumen que
resulta después de la deformación es:!
Si el volumen inicial es V=dx1 dx2 dx3 ,el volumen final es
V+dV=(1+q)V, por lo que: !
Supongamos una deformación uniaxial, en dirección al eje 1.!
!
¿Cuál sería la forma del tensor de deformación?!