Capítulo 3

Métodos Analíticos para la Estimación de los Tensores de Tensión y Deformación Elasto-Plásticos en
las Inmediaciones de una Entalla
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r
E
Figura 2-4.- Endurecimiento isotrópico
En términos de la función de plastificación, , el endurecimiento isotrópico provoca la
expansión uniforme de la función, no su desplazamiento. Para el caso de tensión plana, la
representación gráfica de esta situación queda reflejada en la imagen siguiente.
2
′
−
′
f
′
-
1
−
′
Figura 2-5.- Desplazamiento de la función de plastificación para endurecimiento isotrópico en tensión plana
3 Plasticidad computacional
Desde el punto de vista computacional, la integración de las ecuaciones en términos
diferenciales que definen el problema plástico no se resuelve mediante la consideración de las
conclusiones obtenidas para el caso de carga proporcional, sino que se lleva a cabo mediante
la integración numérica de las ecuaciones a través de algoritmos iterativos.
3.1 Integración implícita y explícita
Existen dos métodos para la integración de las ecuaciones que definen el problema:
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-
Integración explícita
instante
Integración implícita
instante + Δ
El problema se plantea definiendo todas las variables en el
El problema se plantea definiendo todas las variables en el
En la integración explícita, el incremento del multiplicador plástico se obtiene de una
ecuación que fuerza el cumplimiento de la condición de consistencia en el instante . Esto
posibilita que la condición de consistencia no se cumpla exactamente en + Δ (depende por
ejemplo del tamaño de Δ elegido), lo que puede llevar, después de varios pasos, a un
desplazamiento de la solución respecto de la superficie de plastificación.
Por otro lado, la integración explícita es condicionalmente estable, lo que puede llevar a
problemas de convergencia intrínsecos al método durante el proceso de resolución.
En la integración implícita, las ecuaciones se plantan en + Δ , lo que fuerza el
cumplimiento de la condición de consistencia en los nuevos pasos de resolución y, por ende,
en todos los instantes de tiempo. Conceptualmente, este hecho equivale a decir que en la
integración implícita, la actualización de a + Δ provoca que la tensión se salga de la
superficie de plastificación, pero el planteamiento de las ecuaciones fuerza a que la tensión
vuelva a situarse sobre la superficie establecida por mediante la introducción de un término
de corrección denominado corrección plástica. Al valor de la tensión en + Δ antes de ser
corregida por se le denomina predicción elástica. Gráficamente, para el caso de tensión plana:
Predicción
elástica
2
Valor tras la
corrección
plástica
f
-
1
Figura 3-1.- Obtención de la solución del problema plástico mediante algoritmos de resolución implícita
3.2 Algoritmo de integración implícita
En este caso se emplearán algoritmos de resolución iterativos de tipo implícito para la
integración de las ecuaciones. En particular, el software utilizado empleará el método de Euler
para la resolución del problema.
Tomando incrementos en la descomposición de la deformación se tiene:
Δ
…donde Δ
=Δ −Δ
queda definido por la Ec. 2.25.
Aplicando Euler a la deformación elástica se puede calcular el valor de
Ec. 3.1
en + ∆ como:
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=
+Δ
3
Ec. 3.2
Por otro lado, usando la ley de Hooke en forma matricial:
=2
+ ·
·Ι
Ec. 3.3
…por lo que se obtiene que el tensor desviador de tensiones puede escribirse como:
′=2
Ec. 3.4
Usando las expresiones anteriores se tiene:
=2
+Δ
−2 ·Δ ·
Predicción elástica
Reagrupando:
1+
3
Δ
3
2
Corrección plástica
=2
Ec. 3.5
+Δ
Ec. 3.6
4
En la expresión anterior y usando la notación de Voigt , los términos asociados a tensión y
deformación son magnitudes vectoriales, y el resto escalares. De esta forma, esta expresión lo
que indica es lo siguiente:
· !" = ###############
+ Δ · !$
…lo que implica que:
Ec. 3.7
| | · !" = &###############
+ Δ & · !$
Ec. 3.8
El equivalente al módulo de un vector aplicado a un tensor se puede obtener mediante la
raíz cuadrada del producto doblemente contraído del tensor por sí mismo. De este modo,
tomando el producto interno de la Ec. 3.6 por sí misma se tiene:
'
3
2
:
1+
3
Δ
Teniendo en cuenta la definición de
deformación ̌ se obtiene lo siguiente:
=3 '
) (Ec.
2
3
+Δ :
+Δ
Ec. 3.9
2.16) y llamando a la raíz de los términos de
3
A fin de simplificar la notación de la formulación empleada, todas las variables referenciadas al instante de tiempo
+ Δ serán escritas sin referencia al instante de tiempo en el que se evalúan. Las referencias al instante serán
explícitamente referenciadas.
4
Usando la notación de Voigt, el tensor de tensiones por ejemplo se escribe como
=
+ , - , . , +- , -. , +.
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)
+3 Δ =3
̌
)
=3
̌−Δ
Ec. 3.10
Ahora bien, como una vez iniciada la plastificación debe cumplirse el criterio de Von Mises
debido a la condición de consistencia, se tiene:
= )− /=0
1
̌−Δ
) = 3
3
̌−Δ
−
/
=0
Ec. 3.11
¿Qué términos son conocidos y cuáles incógnita en la ecuación anterior para cada instante
de resolución?
Δ
Incremento de la deformación plástica efectiva
̌=2
$
3
+Δ :
+Δ
Incógnita
y Δ es el incremento
es conocido en el instante
de deformación total que se conoce en instante actual a partir del campo de desplazamientos
en y del Δ considerado de acuerdo al método de diferencia centrada (ver sección 10.1)
Límite elástico, que depende de la deformación plástica en caso de que exista
/
endurecimiento (=
).
De este modo, para resolver la Ec. 3.11 lo que se hace es usar el método de Newton.
Según este método, sea una ecuación no lineal representada por 4 Δ = 0 como en este
caso, se puede escribir:
4+
54
6Δ + é 89:;<2º; 6>: = 0
5Δ
Aplicando esto, la Ec. 3.11 quedaría:
3
̌−Δ
−
/
+ ?−3 −
@AB
@
C 6Δ = 0
Ec. 3.12
6Δ = 3D EF GH
GAB
JKB
JL
3DI
Ec. 3.13
Teniendo en cuenta que Δ
+Δ =Δ
+ 6Δ , la Ec. 3.13 permite obtener de forma
iterativa el valor de Δ en cada instante de modo que el problema queda resuelto.
4 Métodos analíticos para
deformaciones plásticas
el
cálculo
de
tensiones
y
En este apartado se describen los principales métodos estudiados para la estimación de
tensiones y deformaciones elasto-plásticas en el entorno de entallas analizados en los
apartados siguientes.
Los métodos analizados son válidos solo en aquellos casos en los que la tensión nominal
permanece por debajo del límite elástico del material, es decir, cuando no existe plastificación
de la sección neta (no existe colapso plástico). Además, se basan en la hipótesis de que, en los
casos en los que la plastificación se localiza en el entorno del borde de la entalla, la zona
plástica está controlada por el campo de tensiones elástico de los alrededores.
En estas condiciones se analizarán 5 métodos diferentes para la estimación de tensiones y
deformaciones en el entorno de una entalla.
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