8. Modelos de Generaciones Sucesivas

Fdsðwxor ; Prghor gh Jhqhudflrqhv Vrodsdgdv Xqr gh orv sureohpdv ixqgdphqwdohv gho prghor wlsr Vrorz0Vzdq hv txh odv wdvdv gh dkruur vh dvxphq ghwhuplqdgdv h{öjhqdphqwh/ | hq hvh vhqwlgr qr vrq frqvlvwhqwhv frq or txh ghwhuplqd od hohfflöq lqwhuwhpsrudo öswlpd gh orv frqvxplgruhv1 Hq orv suö{lprv fdsðwxorv ghvfuleluhprv prghorv txh jhqhu0 dq vhulhv whpsrudohv frqvlvwhqwhv frq odv revhuydflrqhv hpsðulfdv/ sdud hoor hv qhfhvdulr xwlol}du prghorv grqgh ho krul}rqwh whpsrudo hv vxshulru d grv shulrgrv/ gh hvwd irupd frqvhjxluhprv gh irupd hqgöjhqd vhulhv whpsrudohv duelwuduldphqwh odujdv1 Ho wlsr gh prghorv sdud orv fxäohv odv wdvdv gh dkruur vh ghwhuplqdq hqgöjhqdphqwh vh sxhghq glylglu hq grv fdwhjruðdv ixqgdphq0 wdohv hq ixqflöq gho krul}rqwh whpsrudo frq uhvshfwr d od wrpd gh ghflvlrqhv gh orv djhqwhv hfrqöplfrv= Prghorv gh Jhqhudflrqhv Vrodsdgdv= ho krul}rqwh whpsrudo hq od wrpd gh ghflvlrqhv lqglylgxdohv hv qlwr1 Prghorv gh Krul}rqwh Lqqlwr= ho krul}rqwh whpsrudo hv lqqlwr | orv djhqwhv wrpdq vxv ghflvlrqhv gh irupd glqävwlfd1 Hpsh}duhprv sru orv sulphurv sxhvwr txh/ frpr yhuhprv päv dghodqwh/ orv vhjxqgrv sxhghq lqwhusuhwduvh frpr xq fdvr hvshfldo gh orv sulphurv +hq frqfuhwr/ fxdqgr h{lvwh dowuxlvpr txh oljd odv jhqhudflrqhv/ yìdvh Eduur +4<:7,,1 Odv dsruwdflrqhv slrqhudv hq orv Prghorv gh Jhqhudflrqhv Vrod0 sdgdv fruuhvsrqghq d Vdpxhovrq +4<8;,/ Gldprqg +4<98,/ Vkhoo +4<:4, | Jdoh +4<:4,1 Sru prwlyrv gh vlpsolflgdg uhgxfluhprv od h{srvlflöq d orv prghorv gh grv jhqhudflrqhv/ vl elhq sdud xq dqäolvlv fxdqwlwdwlyr päv sruphqrul}dgr vh vxhoh dpsoldu ho qýphur gh jhqhudflrqhv frqvlghudgdv1 476 477 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV H{lvwhq grv sdvrv hq od frqvwuxfflöq gh xq prghor hfrqöplfr1 Hq od sulphud sduwh vh ghvfuleh od hvwuxfwxud eävlfd gh od hfrqrpðd/ txh qru0 pdophqwh hvwä irupdgdv sru odv suhihuhqfldv gh orv lqglylgxrv/ whfqrorjðdv glvsrqleohv/ hq fdvr gh txh dqdolfhprv hfrqrpðdv frq surgxfflöq/ | grwdflöq glvsrqleoh gh uhfxuvrv1 Hq vhjxqgr oxjdu vh ghvfulehq ho wlsr gh rujdql}d0 flrqhv vrfldohv | odv dvljqdflrqhv gh htxloleulr txh hvwdv lqvwlwxflrqhv jhqhudq1 Sru or wdqwr xqd ghwhuplqdgd hfrqrpðd sxhgh xwlol}du glvwlqwrv vlvwhpdv ru0 jdql}dwlyrv sdud surgxflu | dvljqdu orv uhfxuvrv surgxflgrv hq od hfrqrpðd1 Od hvwuxfwxud rujdql}dwlyd sxhgh vhu px| yduldgd1 Sxhgh h{lvwlu xq glf0 wdgru txh ghflgd ho wlsr gh elhqhv d surgxflu hq fdgd prphqwr ghwhuplqdgr gho wlhpsr/ dvð frpr od dvljqdflöq gh uhfxuvrv uhvxowdqwh1 Hvwh wlsr gh ghfl0 vlrqhv wdpelìq srguðdq wrpduvh gh irupd frohfwlyd sru orv glvwlqwrv djhqwhv hq od hfrqrpðd/ ghflglhqgr gh hvwd irupd od surgxfflöq | od dvljqdflöq1 Rwur wlsr gh rujdql}dflöq srguðd shuplwlu d orv lqglylgxrv d wudedmdu sru vhsdudgr h lqwhufdpeldu uhfxuvrv gh irupd ghvfhqwudol}dgd hq phufdgrv gh elhqhv1 Sru or wdqwr od hvwuxfwxud rujdql}dwlyd dihfwduä d odv dvljqdflrqhv uhvxowdqwhv hq od hfrqrpðd1 Hq od sulphud sduwh gh hvwh fdsðwxor xwlol}duhprv prghorv gh lqwhufdp0 elr sxur/ grqgh qr kd| surgxfflöq1 Ho sulqflsdo lqwhuìv udglfd hq hvwxgldu ho lqwhufdpelr txh uhdol}dq orv glvwlqwrv lqglylgxrv hq od hfrqrpðd xqd yh} glvsrqhq gh xqd ghwhuplqdgd grwdflöq gh uhfxuvrv1 Orv sulqflsdohv uhvxowd0 grv txh rewhqguhprv do hvwxgldu hfrqrpðdv gh lqwhufdpelr vrq jhqhudol}deohv xqd yh} lqwurgxflprv surgxfflöq1 D frqwlqxdflöq ghvfulelprv odv fdudfwhuðv0 wlfdv eävlfdv gh od hfrqrpðd1 ;14 Hvwuxfwxud Eävlfd Od hfrqrpðd ixqflrqd hq wlhpsr glvfuhwr | dghpäv qr h{lvwh xq shulrgr qdo/ hv ghflu | ' fc c Od ylgd gh orv lqglylgxrv hv qlwd sru ghqlflöq/ vlq hpedujr hq fdgd prphqwr gho wlhpsr qdfhq qxhyrv lqglylgxrv/ gh prgr txh od hfrqrpðd vh h{wlhqgh kdvwd ho lqqlwr1 Shuplwlu txh ho wlhpsr ixwxur vhd lqqlwr whqguä xqd ylwdo lpsruwdqfld d od krud gh hvshflfdu ghwhuplqdgrv frqfhswrv gh htxloleulr1 Od hfrqrpðd wlhqh xq sdvdgr txh yhqguðd ghqrwdgr sru or txh rfxuulö hqwuh 4 | d|hu Frpr odv ghflvlrqhv sdvdgd hvwäq gdgdv hq ho suhvhqwh | qr sxhghq prglfduvh odv wrpduhprv frpr gdgdv/ irupdqgr sduwh gh odv frqglflrqhv lqfldohv gh od hfrqrpðd hq ho prphqwr | ' fc hv ghflu fxdotxlhu ghflvlöq sdvdgd hv khuhgdgd hq ho suhvhqwh1 Vxsrqhprv txh hq fdgd prphqwr gho wlhpsr qdfh xqd jhqhudflöq qxhyd1 Ghqrwduhprv sru | frpr ho wdpdôr wrwdo gh od sreodflöq gh lqglylgxrv hq ho prphqwr | Orv lqglylgxrv wdq vöor ylyhq grv shulrgrv +shulrgr | 2,1 Hq ;141 478 HVWUXFWXUD EÄVLFD xq prphqwr ghwhuplqdgr gho wlhpsr frh{lvwhq | lqglylgxrv möyhqhv | 2| lqglylgxrv ylhmrv1 Fdgd jhqhudflöq hv ? yhfhv pd|ru txh od dqwhulru/ | ' E n ?2| / gh irupd txh ? hv dvlplvpr od wdvd gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq/ |*|3 ' n ?1 Vl ? ' f hqwrqfhv od sreodflöq hv hvwdflrqduld | vh pdqwlhqh frqvwdqwh hq ho wlhpsr1 Hvwd hvwuxfwxud sreodflrqdo hvwä uhsuhvhqwdgd hq ho fxdgur 4= Fxdgur 4= Hvwuxfwxud sreodflrqdo sru jhqhudflrqhv Jhq1q W 4 5 6 7 8 04 f 0 0 0 0 3 f f 0 0 0 4 0 f f 0 0 5 0 0 f f 0 6 0 0 0 f f Hvwh fxdgur pxhvwud fodudphqwh ho vrodsdplhqwr hqwuh glvwlqwdv jhqhud0 flrqhv hq xq prphqwr ghwhuplqdgr gho wlhpsr1 Sru hmhpsor hq ho prphqwr | ' f frh{lvwhq xqd jhqhudflöq möyhq qdflgd hq f frq xqd jhqhudflöq ylh0 md qdflgd hq c hvwd ýowlpd wdq vöor ylyluä xq shulrgr päv1 Hvwh sdwuöq vh uhslwh hq ho wlhpsr | hq fdgd prphqwr qdfh xqd qxhyd jhqhudflöq txh frqylyh frq orv txh qdflhurq hq ho shulrgr dqwhulru1 Vxsrqhprv txh wdqwr ho wdpdôr gh od sreodflöq frpr ho shulrgr gh ylgd hvwä h{öjhqdphqwh gh0 whuplqdgr | qr sxhgh vhu dihfwdgr sru odv ghflvlrqhv gh orv lqglylgxrv1 Ho lqglylgxr gh hgdg hq ho prphqwr |c wlhqh hgdg 2 hq ho prphqwr | n Vxsrqhprv txh hq fdgd shulrgr wdq vöor h{lvwh xq ýqlfr elhq gh frq0 vxpr/ od ýqlfd glihuhqfld hqwuh orv elhqhv hv ho prphqwr whpsrudo hq txh hvwäq glvsrqleohv1 Gdgr txh od hfrqrpðd wlhqh lqqlwrv shulrgrv/ | h{lvwh xq elhq gh frqvxpr hq fdgd prphqwr gho wlhpsr/ hqwrqfhv hvwr lpsolfd txh h{lvwhq lqqlwrv elhqhv gh frqvxpr1 Ghqrwdprv d `| d od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv glvsrqleoh hq ho prphqwr |c gh irupd txh i`|j|'f ghqrwduä od vhfxhqfld ixwxud gh grwdflrqhv djuhjdgdv gh uhfxuvrv1 Gdgr txh qr hv srvl0 eoh dopdfhqdu od grwdflöq dfwxdo ql wudqvirupduod phgldqwh xqd whfqrorjðd gh surgxfflöq/ orv uhfxuvrv txh qr vh frqvxpdq hq ho shulrgr | shuhfhuäq1 Odv suhihuhqfldv gh fdgd frqvxplgru hvwäq uhsuhvhqwdgdv sru od vljxlhqwh fodvh gh ixqflrqhv gh xwlolgdg= " L ES c S2 nc | | grqgh S| | S2|n uhsuhvhqwd ho frqvxpr d or odujr gho flfor ylwdo | dghpäv od ixqflöq gh xwlolgdg fxpsoh orv vljxlhqwhv vxsxhvwrv= L : f | L f Hvwr lpsolfd txh od xwlolgdg hv fuhflhqwh hq ho frqvxpr gh fdgd shulrgr/ shur od xwlolgdg pdujlqdo txh uhsruwd fdgd xqlgdg dglflrqdo gh frqvxpr hv ghfuhflhqwh1 479 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV Xqd dvljqdflöq gh frqvxpr S ' iS| c S2|nj" |'f ghvfuleh xq sodq gh frq0 vxpr sdud wrgdv odv jhqhudflrqhv hq od hfrqrpðd1 Hq hvwh fdvr gdgr txh od hfrqrpðd qr wlhqh xq oðplwh whpsrudo/ xqd dvljqdflöq gh frqvxpr ghvfuleh odv fdqwlgdghv d frqvxplu sru fdgd jhqhudflöq hq fdgd prphqwr gho wlhp0 sr1 Qr wrgdv odv dvljqdflrqhv gh frqvxpr sxhghq uhdol}duvh sru sduwh gh orv lqglylgxrv/ wdq vöor dtxhoodv txh vrq idfwleohv1 D frqwlqxdflöq vh ghqh gh irupd ghwdoodgd ho frqfhswr gh idfwlelolgdg r yldelolgdg= Ghqlflöq +Dvljqdflöq idfwleoh,= Xqd dvljqdflöq S ' iS| c S2|n j" |'f hv idfwleoh vl fxpsoh= S n S2 2 ` | | | | ;|c | jqdflöq gh uhfxuvrv S hv idfwleoh hq phglgd txh ho frqvxpr djuhjdgr qr h{fhgd od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv1 Yhdprv d frqwlqxdflöq xqd vhulh gh hmhpsorv sdud yhu vl xq ghwhuplqdgr sodq gh frqvxpr hv idfwleoh= Hmhpsor 4= Frpsurehprv txh odv dvljqdflrqhv gh frqvxpr sursxhvwdv hq odv vljxlhqwhv hfrqrpðdv frq idfwleohv= Hq hvwh wlsr gh hfrqrpðdv gh lqwhufdpelr/ xqd dvl 41 Fdvr 4= Vxsrqjd txh od sreodflöq fuhfh d xqd wdvd frqvwdqwh/ hv ghflu |*|3 ' n ?c grqgh ? : f Vl od grwdflöq gh od hfrqrpðd hv `| | ho frqvxpr gh fdgd shulrgr hv S| ' k`|*| h S2| ' E k`| *2| c yhulfdu txh vrq idfwleohv1 Do ljxdo txh hq ho fdvr dqwhulru/ vxvwlwx|hqgr hq od ghqlflöq gh idfwlelolgdg= k` | n E k` ` | | ;|c hv reylr frpsuredu txh hv idfwleoh1 Revhuyh txh gdgr txh h{lvwh fuhf0 lplhqwr gh od sreodflöq vl k ' fD hvwr lpsolfd txh S|*E n ? ' S2|1 51 Fdvr 5= Vxsrqjd txh od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv hv `| ' | c grqgh ' | n 2| | ghqrwd od grwdflöq frqvwdqwh shu fäslwd r sru jhqhudflöq hq od hfrqrpðd1 Vl od dvljqdflöq gh frqvxpr hv S| ' k | S2| ' E kc yhulfdu txh hv idfwleoh1 Vxvwlwx|hqgr hq od uhvwulfflöq gh idfwlelolgdg rewhqhprv= k Glylglhqgr sru | hprv= | k2 E n 2 ;|c | xvdqgr ho khfkr gh txh ' E n ?2 n E | | | | kE n ? n E k ' 2 n ? | rewhq0 ;151 DVLJQDFLÖQ HILFLHQWH GH UHFXUVRV 47: Sru or wdqwr od dvljqdflöq vöor vhuä idfwleoh vl= k' n? ? Sdud k 9' E n ?*? od dvljqdflöq gh frqvxpr qr vhuä idfwleoh1 ;15 Dvljqdflöq Hflhqwh gh Uhfxuvrv Od suhvhqwh vhfflöq vroxflrqd ho sureohpd gh dvljqdflöq hflhqwh gh uhfxuvrv hq xqd hfrqrpðd gh jhqhudflrqhv vxfhvlydv1 Sdud ghwhuplqdu od hflhqfld gh xqd ghwhuplqdgd dvljqdflöq xwlol}dprv ho fulwhulr gh Sduhwr= xqd hfrqrpðd hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr vl qr hv srvleoh phmrudu ho elhqhvwdu gh xq lqglylgxr hq od hfrqrpðd vlq hpshrudu ho elhqhvwdu gh rwur1 Ho frqmxqwr gh orv öswlprv gh Sduhwr/ hv ghflu ho frqmxqwr gh odv vroxflrqhv hflhqwhv/ vh rewlhqh d sduwlu gh vroxflrqdu ho ghqrplqdgr sureohpd gho Sodqlfdgru Vrfldo/ txh frqvlvwh hq pd{lpl}du xqd ixqflöq gh elhqhvwdu vrfldo4 +txh jhqhudophqwh hv xqd vxpd srqghudgd gh od xwlolgdg gh orv lqglylgxrv, vxmhwd d odv uhvwulfflrqhv gh idfwlelolgdg gh od hfrqrpðd1 D frqwlqxdflöq vh ghqh ho frqfhswr gh hflhqfld gh Sduhwr1 Ghqlflöq +Hflhqfld gh Sduhwr,= Xqd dvljqdflöq eS ' ieS| c eS2| j" |'f hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr vl= Od dvljqdflöq e S hv idfwleoh1 2 Qr h{lvwh rwud dvljqdflöq S ' iS| c S2| j|'f idfwleoh wdo txh sdud odv qxhydv jhqhudflrqhv= " L ES cS2 n L EeS c eS2 nc ;| L ES cS2 n : L EeS c eS2 nc dojýq | | sdud od jhqhudflöq lqlfldo hq | ' f= L ES2f L EeS2f r L ES2f : L EeS2f | | | | | | | | 4 Od ghqlflöq gh xqd ixqflöq gh elhqhvwdu vrfldo fuhd sureohpdv frqfhswxdohv | iru0 pdohv/ ghelgr d txh ho krul}rqwh whpsrudo gho sodqlfdgru | ho gh orv lqglylgxrv qr frlqflgh1 Hq hvwh fdvr/ od ixqflöq remhwlyr gh xq sodqlfdgru ehqhyrohqwh qr hv px| reyld/ sxhv h{lvwhq xq qýphur lqqlwr gh jhqhudflrqhv txh wlhqhq xq krul}rqwh whpsrudo qlwr1 Hv ghflu/ ho sodqlfdgru vrfldo gheh srqghudu wrgdv odv jhqhudflrqhv/ wdqwr suhvhqwhv frpr ixwxudv1 47; FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV Hv lpsruwdqwh ghvwdfdu txh fxdqgr frpsdudprv dvljqdflrqhv gh frqvxpr hq prghorv glqäplfrv frq lqqlwrv shulrgrv hv qhfhvdulr yhulfdu ho frqvxpr gh wrgrv orv lqglylgxrv fdgd xqr gh orv shulrgrv1 Hq hvwh wlsr gh prghorv hv gh ylwdo lpsruwdqfld yhulfdu od xwlolgdg gho lqglylgxr lqlfldo hq ho prphqwr | ' f D frqwlqxdflöq dqdol}dprv xqd vhulh gh hmhpsorv sdud yhu vl xq gh0 whuplqdgr sodq gh frqvxpr S hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr gdgdv xqdv ghwhuplqdgdv suhihuhqfldv1 Hmhpsor 5= Frqvlghudprv xqd hfrqrpðd grqgh odv suhihuhqfldv gh orv lq0 glylgxrv vrq uhsuhvhqwdeohv phgldqwh od vljxlhqwh ixqflöq gh xwlolgdg/ L ES|c S2|n ' S| S2|n c L ES2f ' S2f / od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv gh fdgd shulrgr | hv `| ' Hc | vxsrqhprv txh od sreodflöq hv frqvwdqwh1 Frpsuxheh vl odv vljx0 lhqwhv dvljqdflrqhv vrq hflhqwhv hq ho vhqwlgr gh Sduhwr= 41 +d, ES| c S2|n ' EHc f sdud ;| Hv lpsruwdqwh ghvwdfdu txh frq hvwdv suhihuhqfldv pxowlsolfdwlydv/ vl ho frqvxpr hq xq shulrgr hv fhur dxqtxh ho frqvxpr hq ho vljxlhqwh shulrgr vhd lqqlwr/ od xwlolgdg wrwdo vhuä fhur1 Hq hvwh fdvr od dvljqdflöq fxpsoh od uhvwulfflöq gh yldelolgdg gh uhfxuvrv/ hv ghflu ho frqvxpr djuhjdgr frlqflgh frq od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv1 Hq hvwh fdvr od xwlolgdg d or odujr gho flfor ylwdo gh odv qxhydv jhqhudflrqhv ylhqh gdgd sru= E L S| c S2|n 'fH'f plhqwudv txh od gh od jhqhudflöq lqlfldo hq ho prphqwr | ' f hv ljxdo d= E L S2f 'f +e, ES| c S2|n ' Eec e sdud ;| Hq hvwh fdvr od xwlolgdg gh odv qxhydv jhqhudflrqhv hvwä gdgr sru= E L S| c S2|n ' e e ' S plhqwudv txh od gh od jhqhudflöq lqlfldo hv= E L S2f 'e Hvwd qxhyd dvljqdflöq Eec e grplqd hq ho vhqwlgr gh Sduhwr d od dvljqdflöq EHc f Od qxhyd dvljqdflöq hv idfwleoh | phmrud hv0 wulfwdphqwh ho elhqhvwdu gh wrgrv orv lqglylgxrv hq od hfrqrpðd +jhqhudflrqhv suhvhqwhv | ixwxudv, vlq hpshrudu d qdglh1 Sru or wdqwr wrgrv orv lqglylgxrv suhhuhq hvwd dvljqdflöq d od dqwhulru1 ;151 DVLJQDFLÖQ HILFLHQWH GH UHFXUVRV 47< +f, ES| c S2|n ' Ec D sdud ;| Hq hvwh fdvr od qxhyd dvljqdflöq wudqv0 huh päv frqvxpr do vhjxqgr shulrgr gho flfor ylwdo vdfulfdqgr ho frqvxpr gh orv lqglylgxrv gh hgdg 41 Od xwlolgdg gh orv lqglylgxrv möyhqhv hv= E L S| c S2|n ' D ' D sdud od jhqhudflöq lqlfldo hv= E L S2f 'D Hvwd qxhyd dvljqdflöq hv Sduhwr vxshulru uhvshfwr d EHc f sxhv phmrud hvwulfwdphqwh ho elhqhvwdu gh wrgrv orv lqglylgxrv/ shur qr hv frpsdudeoh frq od dvljqdflöq Eec e Gh khfkr/ wdqwr Ec D frpr Eec e vrq Sduhwr hflhqwhv1 Sdud frpsureduor edvwd revhuydu txh qr h{lvwh qlqjxqd uhglvwulexflöq hqwuh jhqhudflrqhv txh phmruh wdqwr d od jhqhudflöq ylhmd lqlfldo frpr d orv möyhqhv1 +g, Hq fdpelr od dvljqdflöq ES| c S2|n ' EDc qr hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr/ sxhv hv srvleoh phmrudu d xq lqglylgxr vlq hpshrudu d qdglh frq wdq vöor lqyhuwlu od dvljqdflöq gh uhfxuvrv/ hv ghflu Ec D Od qxhyd dvljqdflöq pdqwlhqh lqyduldeoh od xwlolgdg gh odv qxhydv jhqhudflrqhv h lqfuhphqwd od xwlolgdg gh od jhqhudflöq lqlfldo hq | ' f Gh khfkr/ hvwh dujxphqwr dsolfd sdud fxdotxlhu dvljqdflöq hq txh S2|n : S| 1 Ho frqmxqwr gh orv öswlprv gh Sduhwr/ hv ghflu ho frqmxqwr gh odv vrox0 flrqhv hflhqwhv/ vh rewlhqh d sduwlu gh vroxflrqdu ho ghqrplqdgr sureohpd gho Sodqlfdgru Vrfldo/ txh frqvlvwh hq pd{lpl}du od vxpd srqghudgd gh od xwlolgdg gh wrgrv orv lqglylgxrv vxmhwd d odv uhvwulfflrqhv gh yldelolgdg1 Revìuyhvh txh kd| pxfkdv dvljqdflrqhv hflhqwhv1 Gh khfkr/ sdud fxdotxlhu yhfwru gh srqghudflrqhv uhodwlydv gh odv xwlolgdghv gh odv glvwlqwdv jhqhud0 flrqhv rewhqguðdprv xqd vroxflöq hflhqwh glvwlqwd1 ;1514 Ixqflrqhv Remhwlyr gho Sodqlfdgru Ho sulqflsdo sureohpd txh whqhprv sdud fdofxodu ho frqmxqwr gh vroxflrqhv hflhqwhv hv txh kd| txh xwlol}du xq yhfwru lqqlwr gh srqghudflrqhv gh od xwlolgdg gh odv jhqhudflrqhv | txh d fdgd srvleoh yhfwru gh srqghudflrqhv fruuhvsrqgh do phqrv xqd vroxflöq hflhqwh1 Vl sdud sodvpdu od qrflöq gh hflhqfld vh xwlol}d od yhuvlöq hvwäqgdu gh vxpdu xwlolgdghv srqghudgdv gh odv jhqhudflrqhv/ hvwd vxpd wlhqh txh hvwdu elhq ghqlgd1 Sdud hoor hv qhfhvdulr hvwdeohfhu xq fulwhulr txh vhd pdwhpäwl0 fdphqwh rshudwlyr/ | d od yh} qrv riuh}fd xqd lqwhusuhwdflöq hfrqöplfd1 Xq 483 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV fulwhulr hvwäqgdu/ dxqtxh qr ho ýqlfr/ hv dtxho hq ho fxdo ho sodqlfdgru ghvfxhqwd ho ixwxur5 / | dvljqd xq shvr uhodwlyr d fdgd jhqhudflöq hq ho pr0 phqwr txh qdfhq1 D frqwlqxdflöq sursrqhprv wuhv ixqflrqhv remhwlyr glv0 wlqwdv/ od sulphud hv od päv jhqhudo/ | d sduwlu gh ìvwd srghprv ghulydu odv rwudv grv frpr fdvrv sduwlfxoduhv1 Hq hvwh fdvr khprv vxsxhvwr txh od ixqflöq gh xwlolgdg hv vhsdudeoh hq frqvxprv/ dghpäv orv lqglylgxrv ghv0 fxhqwdq ho ixwxur d sduwlu gh xq idfwru vxemhwlyr gh ghvfxhqwr q : fc hv ghflu L ES|c S2|n ' ES| n qES2|n= [" Ixqflöq gh elhqhvwdu jhqhudo= ` EiS| c S2|n j ' b3 qES2f n [" b| EES| n qES2|n c 'f +;14, | b| 4 +;15, '3 Hq hvwh fdvr ho sodqlfdgru dvljqd d fdgd jhqhudflöq xq shvr hvshfðfr hq ixqflöq gh vx ihfkd gh qdflplhqwr1 Sdud txh od ixqflöq remhwlyr hvwì elhq ghqlgd od vxpd gh wrgrv orv shvrv +qýphurv srvlwlyrv, gheh hvwdu dfrwdgd sru xq qýphur srvlwlyr \1 Od vhfxhqfld gh shvrv uhodwlyrv ib| j" |'3 xwlol}dgd sru ho sodqlfdgru sxhgh whqhu xq krul}rqwh whpsrudo vxflhqwhphqwh ohmdqr/ gh wdo pdqhud txh pxfkdv jhqhudflrqhv sxhgdq vhu wudwdgdv ljxdolwduldphqwh | h{lvwd xq shulrgr px| dohmdgr hq ho wlhpsr d sduwlu gho fxdo vh dvljqd xq phqru shvr d odv jhqhudflrqhv ixwxudv1 | 2 Ghvfxhqwr h{srqhqfldo= ` EiS| c S2|n j ' b3 qES 2f n [" 'f b| EES| n qES2|n +;16, | Wrgrv orv lqglylgxrv wlhqhq ho plvpr shvr uhodwlyr/ shur ìvwh hvwä ghvfrq0 wdgr sru ho wlhpsr1 Od ixqflöq wlsr 5 hv xq fdvr sduwlfxodu gh od ixqflöq dqwhulru1 Hq hvwh fdvr ho sodqlfdgru ghvfxhqwd odv jhqhudflrqhv xwlol}dqgr 5 Udpvh| +4<5;, hvwxgld ho sureohpd gh ghwhuplqdflöq gh od wdvd öswlpd gh dkruur djuhjdgr hq xqd hfrqrpðd gh krul}rqwh lqqlwr frq xq djhqwh uhsuhvhqwdwlyr1 Udpvh| frqvlghuded txh hud ìwlfdphqwh lqprudo ghvfrqwdu od xwlolgdg gh orv lqglylgxrv/ sru hoor hq yh} gh vroxflrqdu ho sureohpd ruljlqdo +pd{lpl}du od xwlolgdg qr ghvfrqwdgd gh wrgrv orv lqglylgxrv,/ vroxflrqd xq sureohpd hq ho fxdo plqlpl}d od glvwdqfld uhvshfwr d od vhqgd öswlpd gh dkruur1 Sru rwud sduwh Udzov wdpelìq frqvlghud srfr ìwlfr gdu pd|ru shvr d odv jhqhudflrqhv suhvhqwhv txh d odv ixwxudv/ | sursrqh od ljxdogdg gh wudwr whqlhqgr hq fxhqwd txh fdgd jhqhudflöq qr qdflgd qr vdeh d sulrul fxdo vhuä vx ihfkd gh qdflplhqwr1 ;151 484 DVLJQDFLÖQ HILFLHQWH GH UHFXUVRV od vxfhvlöq ib|j" |' 3 c b 5 Efc grqgh | dkrud qr hv xq ðqglfh vlqr xq h{srqhqwh | [" Ixqflöq gh elhqhvwdu gh Vdpxhovrq= ` EiS| c S2| j ' 'f q | EES| n ES2| +;17, | Vl ho idfwru gh ghvfxhqwr txh dsolfd ho sodqlfdgru frlqflgh frq ho idfwru vxemhwlyr gh ghvfxhqwr gh orv lqglylgxrv= b ' qc hqwrqfhv ho sodqlfdgru or txh ghvfxhqwd hv ho frqvxpr hq xq prphqwr gho wlhpsr/ shur qr wudwd glihuhqwh d odv glihuhqwhv jhqhudflrqhv1 Gh hvwd irupd/ hq fdgd shulrgr | dperv lqglylgxrv ylyrv ydq d vhu wudwdgrv gh irupd ljxdo/ sxhv wlhqhq ho plvpr shvr uhodwlyr sdud ho sodqlfdgru/ plhqwudv txh orv lqglylgxrv txh ylydq hq ho ixwxur hvwduäq ghvfrqwdgrv1 Qöwhvh txh d glihuhqfld gh orv grv fdvrv dqwhulruhv/ dkrud od ixqflöq remhwlyr lqfox|h sduwh gh ixqflöq gh xwlolgdg gh grv lqglylgxrv hq xq prphqwr gho wlhpsr1 Od vxfhvlöq gh ghvfxhqwrv hvwä c h lpsrqhprv txh q 5 Efc c fxdqgr ìvwh qr wlhqh sru txì gdgd sru iq |j" |'f vhu dvð hq xq prghor gh jhqhudflrqhv1 Hvwh wlsr gh ixqflöq gh elhqhvwdu ixh lqwurgxflgd sru Vdpxhovrq +4<8;,1 Hv lpsruwdqwh whqhu hq fxhqwd txh uhvwulqjlu ho dqäolvlv d xqd ixqflöq gh elhqhvwdu vrfldo ghwhuplqdgd lpsolfd frqfhqwuduvh hq xq vxefrqmxqwr gh wrgdv odv dvljqdflrqhv hflhqwhv h{lvwhqwhv1 ;1515 Sureohpd gho Sodqlfdgru Od vroxflöq gho sureohpd gh dvljqdflöq gh uhfxuvrv ghshqgh gh od ixqflöq remhwlyr hohjlgd1 Rswdprv sru xwlol}du od ixqflöq remhwlyr wlsr 2c hq od fxdo ho sodqlfdgru dvljqd d wrgrv orv lqglylgxrv gh xqd jhqhudflöq ho plvpr shvr/ shur ìvwh hvwä ghvfrqwdgr d od wdvd |1 Dvlplvpr/ vxsrqguhprv txh fdgd jhqhudflöq wlhqh xqd dvljqdflöq hq fdgd shulrgr ljxdo d / gh irupd txh od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv hv | ' E| n 2| hq fdgd shulrgr gho wlhpsr1 Ghqlflöq +Dvljqdflöq idfwleoh,= Ho frqmxqwr gh dvljqdflöq hflhqwhv % ' iS| c S2| j" |'f hq od hfrqrpðd vh rewlhqhq gh vroxflrqdu ho vljxlhqwh sure0 ohpd= " b3 L ES2f n tS|4@ cS2| c" |'f r@ [ 'f b | | dL ES| c S2|n o | n S2|2| |c S | S c S2 f | | ;|c +;18, +;19, 485 FDSÐWXOR ;1 S PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV grqgh b 5 Efc hv ho shvr uhodwlyr txh ho sodqlfdgru dvljqd d fdgd jhq0 hudflöq | " b| |' 3 Revhuyh txh glylglhqgr od uhvwulfflöq gh yldelolgdg sru | srghprv uhh0 4 [" vfulelu ho sureohpd gh pd{lpl}dflöq frpr= 4@ " tS| cS2| c|'f r@ b3 L ES2f n 'f b | dL ES|c S2|n o +;1:, | n S | 2 2n? c n n? S c S f ;|c S | ? +;1;, 2| | Hq hvwh fdvr qrv uhvwulqjlprv do vxefrqmxqwr gh dvljqdflrqhv hflhqwhv txh vrq dofdq}deohv phgldqwh hvwh surjudpd gh rswlpl}dflöq1 Ghqrwdqgr >| do pxowlsolfdgru gh Odjudqjh dvrfldgr d od uhvwulfflöq gh yldelolgdg gho prphqwr |/ odv frqglflrqhv gh sulphu rughq gho sureohpd gho sodqlfdgru hvwäq gdgdv sru odv vljxlhqwhv hfxdflrqhv= >| f >|*E n ? f YS ? S S *E n ? f | | ? dS| o b | YL ES| cS2|n YS| |3 YL ES|3 cS2| b dS2| o 2| 2n d>| o n Hq fdgd prphqwr gho wlhpsr 2 | vh fxpsoh= | cS2|n b YL ESYS | YL ES|3 cS2| YS2| Hq sduwlfxodu/ vl L ES| c S2|n r S| : f E' f r S2| : f E' f r >| : f ' n ? ES| ' E' f n qES2|n / ghvduuroodqgr odv ghulydgdv sdufldohv rewhqhprv od vljxlhqwh h{suhvlöq= b ES| q ES2| ' n ? Vxsrqjdprv sru vlpsolflgdg txh b ' qc hqwrqfhv= ES| ' ES2| E n ? Ho frqvxpr gh fdgd jhqhudflöq hq xq prphqwr ghwhuplqdgr gho wlhpsr ghshqgh gh od wdvd gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq1 Vl ? : f hqwrqfhv ES| : ES2| c gdgr txh od uhodflöq hqwuh od xwlolgdg pdujlqdo | ho frqvxpr hv lqyhuvd hvwr lpsolfd txh S| S2| c hv ghflu ho frqvxpr gho lqglylgxr gh hgdg hv lqihulru do gho lqglylgxr gh hgdg 2 Vl ? fc od sreodflöq ghfuhfh/ hvwr lpsolfd txh ES| ES2| sru or wdqwr S| : S2| Sru ýowlpr vl od wdvd gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq hv qxod/ ? ' fc hqwrqfhv od xwlolgdg pdujlqdo ;151 486 DVLJQDFLÖQ HILFLHQWH GH UHFXUVRV gho frqvxpr hv ljxdo sdud fdgd jhqhudflöq/ ES| ' ES2| c sru or wdqwr ho frqvxpr frlqflgh sdud dperv lqglylgxrv/ S| ' S2| Hv lpsruwdqwh ghvwdfdu txh hq xq ghwhuplqdgr prphqwr gho wlhpsr |c od xwlolgdg pdujlqdo hqwuh grv jhqhudflrqhv glvwlqwdv qr frlqflgh1 Hvwr hv ghelgr d txh ho krul}rqwh whpsrudo gh frlqflghqfld hv wdq vöor xq shulrgr/ sru or wdqwr qr srghprv fdudfwhul}du ho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv gh Sduhwr xwlol}dqgr od fdmd gh Hgjhzruwk1 D shvdu gh wrgr vhuä srvleoh vroxflrqdu ho prghor juäfdphqwh1 Hmhpsor 6= Vxsrqjdprv txh ES ' *? S D frqwlqxdflöq exvfdprv rewhqhu ho frqvxpr gh fdgd shulrgr frpr ixqflöq gho shvr uhodwlyr | gh od wdvd gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq1 Sdud hvwh fdvr ho frqvxpr gh fdgd jhqhudflöq hq xq ghwhuplqdgr shulrgr | vh rewlhqh gh od frqglflöq dqwhulru= E n ?q ES| ' ES2| b Sdud hvwh fdvr sduwlfxodu= E n ?q ' S| b S2| vxvwlwx|hqgr od uhvwulfflöq gh idfwlelolgdg vh rewlhqh= 2n? S E n ?q 2| S2| ' c b n? n? ghvshmdqgr S2| vh rewlhqh= e2 S | ' e ' S | q b E2 nq b b nq n ? 2n? n? D frqwlqxdflöq yhulfdprv txh hvwd dvljqdflrqhv hflhqwhv fxpsohq od uh0 vwulfflöq gh idfwlelolgdg ES| n S2| *E n ? E2 n ?*E n ?1 b b nq 2n? n? n q b nq E2 n ? n? ' 2n? n? Frpr sxhgh revhuyduvh ho sodqlfdgru dvljqd xqd iudfflöq md gh od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv/ ` | ' E2 n ?*E n ?/ d fdgd jhqhudflöq1 Ho frqvxpr öswlpr ghshqgh gho shvr uhodwlyr | gho wdpdôr gh od sreodflöq1 Vl q ' bc hqwrqfhv od uhodflöq hqwuh orv frqvxpr öswlprv gh fdgd jhqhudflöq ghshqgh gh od wdvd gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq= e S | ' e2 ' S | `| 2 E n ? 2 ` | 487 ;16 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV Htxloleulr Frpshwlwlyr Rwur dvshfwr uhohydqwh hv dqdol}du kdvwd txì sxqwr ho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv hflhqwhv rewhqlgr gh od irupd h{sxhvwd fruuhvsrqghuðd frq od vroxflöq gho htxloleulr frpshwlwlyr hq txh orv lqglylgxrv wrpdudq odv ghflvlrqhv gh irupd ghvfhqwudol}dgd wrpdqgr orv suhflrv gh phufdgr frpr gdgrv1 Sdud dqdol}du od ghvfhqwudol}dflöq gh hvwh wlsr gh hfrqrpðdv hv qhfhvdulr ghqlu orv ghuhfkrv gh surslhgdg vreuh od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv `| hq xq prphqwr gh0 whuplqdgr gho wlhpsr1 Vhd E/ |c / 2|n od grwdflöq lqwhuwhpsrudo gh uhfxuvrv txh shufleh xq lqglylgxr hq ho prphqwr | | | n Od glvwulexflöq gh ghuhfkrv gh surslhgdg kd gh vhu frqvlvwhqwh frq od fdqwlgdg wrwdo gho uhfxuvrv hq od hfrqrpðd/ irupdophqwh= / n /2 2 | | | | ' ` ;| | Revhuyh txh odv grv uhvwulfflrqhv suhvxsxhvwduldv vhfxhqfldohv gho frq0 vxplgru vrq= S n @ n / S2 n E n o @ n n /2 | | | | | | | Hq fdgd prphqwr orv lqglylgxrv gh glvwlqwdv jhqhudflrqhv ylydv hq xq prphqwr ghwhuplqdgr gho wlhpsr sxhghq lqwhufdpeldu uhfxuvrv updqgr frqwudwrv qdqflhurv1 Sru or wdqwr vxsrqhprv txh h{lvwhq phufdgrv sdud srghu wudqvihulu uhfxuvrv hq ho wlhpsr/ gh irupd txh qr h{lvwh qlqjxqd uh0 vwulfflöq vreuh ho vljqr r fxdqwðd gh @|n1 D frqwlqxdflöq ghqlprv ho frqfhswr gh htxloleulr frpshwlwlyr1 Ghqlflöq +Htxloleulr frpshwlwlyr,= Xq htxloleulr frpshwlwlyr vh0 " fxhqfldo hq hvwd hfrqrpðd vrq sodqhv gh frqvxpr lqglylgxdohv e S2f c ie S|c e S2|n j|'f | suhflrv ioe| j" |'f wdo txh= E Ho frqvxplgru qdflgr hq | ' fc c c holjh vroxflrqdu= " ie S|c e S2|n j|'f 4@ L ES| c S2|n r@ S| n / ne o n S c S2 fc S2|n | | E | n sdud +;1<, / 2|n no e|n +;143, | H{lvwh xqd jhqhudflöq lqlfldo txh vroxflrqd= 4@ L ES2f +;144, ;161 488 HTXLOLEULR FRPSHWLWLYR r@ E S2f ' / 2f +;145, Odv frqglflrqhv gh djuhjdflöq | ydfldplhqwr gh phufdgrv vrq= eS| n / / n 2 c n? n? ;| @ n ' f eS2| | | ;| | +;146, +;147, Od fdsdflgdg gh wudqvihulu uhfxuvrv hq ho wlhpsr hqwuh orv lqglylgxrv gh0 shqgh gh od glvsrqlelolgdg d suhvwdu irqgrv gho uhvwr gh jhqhudflrqhv1 Frpr vxsrqhprv txh ghqwur gh xqd plvpd jhqhudflöq wrgrv or lqglylgxrv vrq ljxdohv qr ydq d uhdol}du lqwhufdpelrv hqwuh hoorv1 Päv vrusuhqghqwh hv dýq od vljxlhqwh sursrvlflöq1 Sursrvlflöq= Hq xq htxloleulr frpshwlwlyr qr h{lvwh lqwhufdpelr lqwhu0 jhqhudflrqdo/ hv ghflu/ hq xq prphqwr ghwhuplqdgr gho wlhpsr | qr h{lvwhq wudqvihuhqfldv lqwhuwhpsrudohv hqwuh lqglylgxrv möyhqhv h lqglylgxrv ylhmrv1 Vxsrqjdprv txh od sursrvlflöq dqwhulru qr hv flhuwd/ sru or wdqwr orv lqglylgxrv gh glvwlqwdv jhqhudflrqhv wlhqhq lqfhqwlyrv d lq0 whufdpeldu uhfxuvrv lqwhujhqhudflrqdophqwh hq ho phufdgr vhfxhqfldo gh suìv0 wdprv1 Hvwr lpsolfd txh hq xq prphqwr ghwhuplqdgr gho wlhpsr | ghehq gduvh dojxqd gh odv grv vljxlhqwhv vlwxdflrqhv= Ghprvwudflöq= 41 Ho lqglylgxr möyhq wlhqh lqwhuìv gh wudqvihulu uhfxuvrv gho suhvhqwh do ixwxur/ hv ghflu @|n : fc hvwr lpsolfd txh ho frqvxpr hq ho prphqwr | hv lqihulru d vx grwdflöq gh uhfxuvrv/ S| /| Ho ýqlfr lqglylgxr do fxdo sxhgh suhvwdu hv do lqglylgxr ylhmr hq od hfrqrpðd1 Hvwh qr hvwduä ylyr hq ho shulrgr | n c sru or wdqwr qr oh ghyroyhuä od fdqwlgdg wrpdgd suhvwdgd gho möyhq +dkrud qxhyr ylhmr hq | n c sru or wdqwr ho frqvxpr hq ho vhjxqgr shulrgr vhuä ljxdo d od grwdflöq lqglylgxdo gh uhfxuvrv hq | n c S2|n ' / 2|n Gdgr txh ho lqglylgxr ylhmr qr yd d ghyroyhu ho suìvwdpr | txh od xwlolgdg hv fuhflhqwh hq ho frqvxpr/ wudqvihulu uhfxuvrv do ixwxur qr pd{lpl}d od xwlolgdg/ sru or wdqwr or öswlpr hv frqvxplu od grwdflöq gh fdgd shulrgr/ S ' / | c S2|n ' / 2|n | qr lqwhufdpeldu @|n ' f1 51 Hq ho vhjxqgr fdvr ho lqglylgxr möyhq wlhqh lqfhqwlyrv d wudqvihulu uhqwd ixwxud do suhvhqwh/ mdqgr @|n f Hvwr lpsolfd txh od jhqhudflöq ylhmd hq ho prphqwr | wudqvhuh uhfxuvrv d odv jhqhudflrqhv möyhqhv1 Gdgr txh ho lqglylgxr ylhmr qxqfd uhfxshuduä orv uhfxuvrv txh oh suhvwö do lqglylgxr möyhq hq ho shulrgr dqwhulru/ or öswlpr hv qr suhvwdu | frqvxplu odv grwdflrqhv gh fdgd shulrgr1 489 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV Sru or wdqwr/ hq hvwh wlsr gh hfrqrpðdv od vroxflöq gh phufdgr lpsolfd qr lqwhufdpelr +dxwdutxðd,1 Hvwr hv ghelgr d od hvwuxfwxud sreodflrqdo txh kdfh txh orv lqglylgxrv shuwhqhflhqwhv d glihuhqwhv jhqhudflrqhv vöor frlqflgdq gxudqwh xq ýqlfr shulrgr1 Hq dojxqrv fdvr hvwr lpsolfduä txh od dvljqdflöq gh frqvxpr uhvxowdqwh gh xqd hvwuxfwxud gh phufdgrv vhfxhqfldohv qr vhuä hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr/ gh irupd txh h{lvwluä xqd dvljqdflöq idfwleoh txh phmruduä do phqrv d xq lqglylgxr hq od hfrqrpðd1 Sdud loxvwudu hvwdv lghdv yhdprv ho vljxlhqwh hmhpsor1 Hmhpsor 7= Frqvlghuh xqd hfrqrpðd frq fhur fuhflplhqwr gh od sreodflöq | odv vljxlhqwhv fdudfwhuðvwlfdv= L ES c S2 ' *? S n q *? S2c q ' | E/ c / 2 ' E2c Vdehprv txh odv ixqflrqhv gh frqvxpr sdud ho lqglylgxr möyhq | ho ylhmr hq xq ghwhuplqdgr prphqwr | hvwäq gdgdv sru odv vljxlhqwhv h{suhvlrqhv= S| ' S2| ' nq q nq / n / n /2 n o|n /2 n o|n 'n 2E n o|n E n o|n ' E n o|n n 2 Gdgr txh hq htxloleulr qr h{lvwh lqwhufdpelr hq ho phufdgr gh dfwlyrv/ orv suhflrv gh htxloleulr kdq gh vhu frqvlvwhqwhv frq hvwh khfkr1 Sdud rewhqhu glfkrv suhflrv edvwd frq xwlol}du od frqglflöq gh htxloleulr hq ho phufdgr gh dfwlyrv/ hv ghflu/ @|n ' f Od srvlflöq gh dfwlyrv gh odv jhqhudflrqhv möyhqhv hvwä gdgd sru od vljxlhqwh h{suhvlöq= @|n ' / /2 S ' nq q / E n q E no | |n 'f Hvwr lpsolfd txh ho wlsr gh lqwhuìv gh htxloleulr hv= n o|n ' /2 c ;| q/ Sdud orv sduäphwurv gho hmhpsor ho wlsr gh lqwhuìv hv frqvwdqwh sdud wrgrv orv shulrgrv h ljxdo d n o ' *2 Dkrud frpsuredprv txh hihfwlydphqwh do suhflr gh htxloleulr/ o ' *2/ od hohfflöq öswlpd gh orv frqvxplgruhv hv mxvwdphqwh od dvljqdflöq gh dxwdutxðd/ hv ghflu frqvxphq od grwdflöq gh fdgd shulrgr vlq lqwhufdpeldu uhfxuvrv1 Vxvwlwx|hqgr o hq odv ixqflrqhv gh frqvxpr rewhqhprv= S | S2 | '2 2 *2 ' n ' 2 2 ' n ;171 LQHILFLHQFLD GHO HTXLOLEULR FRPSHWLWLYR 48: Ho uhvxowdgr gh htxloleulr frpshwlwlyr hv ghvdohqwdgru/ sxhv orv lqglylgxrv ghflghq qr lqwhufdpeldu uhfxuvrv1 Hv iäflo yhu txh od dvljqdflöq gho htxloleulr qr hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr/ sxhv h{lvwhq rwudv dvljqdflrqhv txh vrq idfwleohv | txh sxhghq phmrudu od xwlolgdg gh wrgrv orv lqglylgxrv hq od hfrqrpðd1 Sru hmhpsor xqd dvljqdflöq vlpìwulfd E*2c *2c txh phmrud hv0 wulfwdphqwh od xwlolgdg gh wrgrv orv lqglylgxrv hq od hfrqrpðd vlq hpshrudu d qdglh + *? *2 n *? *2 : *? 2 n *? ,/ r od dvljqdflöq Ec 2 txh qr hpsh0 rud d odv jhqhudflrqhv ixwxudv +od xwlolgdg gh ìvwdv qr yduðd, | phmrud d od jhqhudflöq lqlfldo1 Frpr srghprv revhuydu odv dvljqdflrqhv hflhqwhv lpsolfdq txh S /|c hv ghflu sdud dofdq}du dvljqdflrqhv txh vhdq hflhqwhv hq ho vhqwlgr gh Sduhwr d sduwlu gh od lqlfldo hv qhfhvdulr hqfrqwudu xq phfdqlvpr txh shuplwd wudqvihulu uhfxuvrv gh odv jhqhudflrqhv möyhqhv d odv jhqhudflrqhv ylhmdv1 Wdpelìq hv lpsruwdqwh ghvwdfdu txh vl od glvwulexflöq lqlfldo gh uhfxuvrv ixhud Ec 2 hq yh} gh od sursxhvwd/ od dvljqdflöq gh dxwdutxðd +txh hv od txh ghwhuplqduðd ho phufdgr, hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr1 Hq hvwh fdvr/ od dvljqdflöq vlpìwulfd E*2c *2 phmrud d wrgrv orv lqglylgxrv h{fhswr do ylhmr lqlfldo/ txh txhgduðd shru txh frq vx grwdflöq lqlfldo1 Ho remhwlyr hq odv suö{lpdv vhfflrqhv vhuä hqfrqwudu phfdqlvprv hq od hfrqrpðd txh jhqhuhq wudqvihuhqfldv lqwhujhqhudflrqdohv | shuplwdq dofdq}du dvljqdflrqhv hflhqwhv hq ho vhqwlgr gh Sduhwr d sduwlu gh xqd glvwulexflöq lqlfldo gh uhfxuvrv txh qr or hv1 ;17 hflhqfld gho Htxloleulr Frpshwlwlyr Lq Uhvwulqjluhprv do dqäolvlv d htxloleulrv gh hvwdgr hvwdflrqdulr1 Hv ghflu/ vlwxd0 flrqhv hq odv fxäohv ho frqvxpr sdud fdgd xqd gh odv jhqhudflrqhv +S| ' S | S2| ' S2c ;|, | orv suhflrv shupdqhfhq frqvwdqwhv +o| ' oc ;|,1 Sdud vlpsolfdu ho dqäolvlv vxsrqhprv txh od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxu0 vrv qr fdpeld hq ho wlhpsr hq wìuplqrv shu fäslwd/ hv ghflu/ `|n ' `|En ? Hqwrqfhv hq xq htxloleulr frpshwlwlyr wdo | frpr or khprv ghqlgr hq od vhf0 flöq dqwhulru ghehq fxpsoluvh odv vljxlhqwhv frqglflrqhv vreuh orv suhflrv gh htxloleulr= Od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho lqglylgxr gh fdgd jhqhudflöq1 Htxloleulr hq ho phufdgr gh dfwlyrv | od frqglflöq gh idfwlelolgdg1 Frqvlghuh od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho frqvxplgru= eS n eS2 no / n /2 no 48; FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV Uhrughqdqgr rewhqhprv od vljxlhqwh h{suhvlöq= E n oEe S / n Ee S2 / 2 f Od uhvwulfflöq gh idfwlelolgdg d vx yh} lpsolfd od vljxlhqwh h{suhvlöq= E n ?Ee S / n Ee S2 /2 f Frpelqdqgr dpedv hfxdflrqhv rewhqhprv od vljxlhqwh hfxdflöq txh gheh fxpsoluvh vlhpsuh hq htxloleulr= Eo e ?ES / f Sru vlpsolflgdg hq ho dqäolvlv vxsrqguhprv txh wdqwr od uhvwulfflöq suh0 vxsxhvwduld frpr idfwlelolgdg vh fxpsohq frq ljxdogdg1 Sdud hoor edvwd frq vxsrqhu txh odv suhihuhqfldv gh orv lqglylgxrv vrq prqöwrqdv hq ho frqvxpr1 Sru or wdqwr/ rewhqhprv txh od vljxlhqwh h{suhvlöq vh fxpsoh frq ljxdogdg/ Eo e ?ES / ' f Vl hvwr hv flhuwr whqhprv grv srvleohv fdvrv sdud dqdol}du= Fdvr 4 +Uhjod gh rur, Hq ho sulphu fdvr vh fxpsoh od ghqrplqdgd uhjod gh rur/ hvwr lpsolfd txh ho wlsr gh lqwhuìv frlqflgh frq od wdvd gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq/ o ' ? Vl hvwr hv flhuwr od uhodflöq hqwuh ho frqvxpr gh od jhqhudflöq möyhq | vx V // sxhvwr txh hq hvwh fdvr od shqglhqwh gh od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gh orv frqvxplgruhv frlqflgh frq od shqglhqwh gh od uhvwulfflöq gh idfwlelolgdg1 Juäfdphqwh= grwdflöq hvwäq lqghwhuplqdgdv/ S Juäfr 4= Htxloleulr frq od uhjod gh rur Ct+1 -(1+r)=-(1+n) Wt+1 Wt Ct Gdgd od hvwuxfwxud gh phufdgrv qdqflhurv gho prghor/ odv jhqhudflrqhv ylhmdv qxqfd wudqvhuhq uhfxuvrv d odv jhqhudflrqhv möyhqhv/ sru or wdqwr ;171 LQHILFLHQFLD GHO HTXLOLEULR FRPSHWLWLYR 48< S / Hv srvleoh txh hqwrqfhv xqd dvljqdflöq frpr od uhsuhvhqwdgd hq ho juäfr 4 +frq S / c S2 : / 2 , grplqh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr d od dvljqdflöq gh dxwdutxðd/ txh frqvwlwx|h ho htxloleulr gh hvwd hfrqrpðd1 Od ýqlfd irupd gh frqvhjxlu txh hq htxloleulr vh rewhqjd hvwd dvljqdflöq dowhuqdwlyd hflhqwh hv glvhôdu xq hvtxhpd gh wudqvihuhqfldv gh odv jhqhud0 flrqhv möyhqhv d odv jhqhudflrqhv ylhmdv gh od hfrqrpðd1 Hvwh phfdqlvpr uhglvwulexwlyr wlhqh glyhuvdv lqwhusuhwdflrqhv hfrqöplfdv/ yhdprv dojxqdv gh hoodv= Vdpxhovrq EbDH lqwuhsuhwd od fdqwlgdg wudqvihulgd frpr glqhur gx0 fldulr1 Ho glqhur gxfldulr hv xq dfwlyr txh qr wlhqh ydoru lqwuðqvhfr1 Sru or wdqwr/ ho glqhur hv ýwlo hq od phglgd txh rwudv jhqhudflrqhv qr slhugdq frqdq}d hq vx ydoru1 Orv ylhmrv gdq hvwd fdqwlgdg gh glqhur gxfldulr d orv möyhqhv d fdpelr gh elhqhv gh frqvxpr1 Orv möyhqhv hvwäq glvsxhvwrv d dfhswdu hvh glqhur vlhpsuh | fxdqgr frqiðhq hq txh fxdqgr vhdq ylhmrv srguäq d vx yh} lqwhufdpeldu hvh glqhur sru elhqhv1 Od frqdq}d hq ho pdqwhqlplhqwr gho ydoru gh xq dfwlyr +ho glqhur gxfldulr, fx|r ydoru lqwuðqvhfr hv qxor hv hvhqfldo1 Hvwrv whpdv vhuäq wudwdgrv hq päv surixqglgdg hq ho fdsðwxor 451 Vdpxhovrq Eb.D uhlqwhusuhwd hvwd wudqvihuhqfld frpr xq vlvwhpd gh vhjxulgdg vrfldo/ hq ho fxdo odv jhqhudflrqhv möyhqhv vrq vrolgduldv frq odv ylhmdv srutxh vdehq txh odv jhqhudflrqhv yhqlghudv kduäq or plvpr frq hoorv hq ho ixwxur1 Plhqwudv hvwh phfdqlvpr vhd fuhðeoh sru sduwh gh odv qxhydv jhqhudflrqhv od vroxflöq hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr +frq uhglvwulexflöq gh möyhqhv d ylhmrv, sxhgh vhu vrvwhqlgd hq ho wlhpsr1 Revhuyh txh hq dpedv lqwhusuhwdflrqhv od frqdq}d hv hvhqfldo sdud txh vhd yldeoh xq vlvwhpd gh hvwh hvwlor1 Dvlplvpr/ hv lqphgldwr frpsuredu föpr hv qhfhvdulr txh od ylgd gh od hfrqrpðd vhd lqqlwd1 Vl kxelhud xq shulrgr qdo A qlwr/ hqwrqfhv hvwh wlsr gh hvtxhpdv gh wudqvihuhqfldv lqwhujhqhudflrqdohv qr vhuðdq vrvwhqleohv1 Vl od jhqhudflöq mryhq hq A vdeh txh qr uhfleluä qlqjxqd wudqvihuhqfld hq A n +r vx glqhur gxfldulr qr vhuyluä sdud qdgd,/ hqwrqfhv qr hvwduä glvsxhvwd d uhqxqfldu d elhqhv gh frqvxpr sdud wudqvihuluorv d od jhqhudflöq ylhmd hq A 1 Hqwrqfhv/ od jhqhudflöq qdflgd hq A vdeh txh qr uhfleluä qdgd hq A / dvð txh qr hvwä glvsxhvwd d uhqxqfldu d frqvxpr hq A 1 Dvð vxfhvlydphqwh kdvwd ho shulrgr lqlfldo1 Od vroxflöq frq wudqvihuhqfldv qr vhuðd vrvwhqleoh1 Fdvr 5 +Dxwdutxðd, Frpr ylprv dqwhulruphqwh/ od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho frqvxplgru/ mxqwr frq idfwlelolgdg/ lpsolfdq txh hq xq hvwdgr hvwdflrqdulr gheh vdwlvidf0 493 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV huvh txh Eo ?Ee S / ' f Hqwrqfhv/ ixhud gh od uhjod gh rur o 9' ? | hqwrqfhv od ýqlfd vroxflöq srvleoh hv dxwdutxðd/ e S ' /1 Dkrud ho wlsr gh lqwhuìv sxhgh vhu vxshulru r lqihulru d od wdvd gh fuhf0 lplhqwr gh sreodflöq1 Vl o : ? ho wlsr gh lqwhuìv hvwä sru hqflpd gh od uhjod gh rur/ sru or wdqwr od hfrqrpðd vh hqfxhqwud hq od uhjlöq glqäplfdphqwh hflhqwh1 Dvð plvpr vl o ? ho wlsr gh lqwhuìv hvwä sru ghedmr gh od uhjod gh rur/ sru or wdqwr od hfrqrpðd hvwduä hq xqd uhjlöq glqäplfdphqwh lqhflhqwh1 D frqwlqxdflöq vh dqdol}d fdgd xqr gh hvwrv fdvrv1 Hflhqfld glqäplfd o : ? Hq hvwh fdvr od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gh orv frqvxplgruhv wlhqh xqd shqglhqwh vxshulru txh od uhvwulfflöq gh idfwlelolgdg/ sru or wdqwr h{lvwh xqd uhjlöq gho frqmxqwr gh hohfflöq gh fdgd jhqhudflöq hq od fxdo d orv suhflrv gh htxloleulr n oc odv dvljqdflrqhv öswlpdv ylrodq od frqglflöq gh idfwlelolgdg1 Juäfr 5= Hflhqfld glqäplfd +u:q, Ct+1 Región no factible (1+r) Wt+1 (1+n) Wt Ct Edmr hvwdv flufxqvwdqfldv dkruudu qr hv idfwleoh/ frpr lqglfd ho juä0 fr1 Hqghxgduvh/ d shvdu gh vhu idfwleoh/ qr hv srvleoh gdgr txh qr h{lvwh xqd hvwuxfwxud ohjdo txh jdudqwlfh txh ho frqwudwr vh fxpsod sru dpedv sduwhv1 Orv lqglylgxrv gh od jhqhudflöq ylhmd qxqfd upduðdq xq frqwudwr txh lpsoltxh wudqvplwlu uhfxuvrv d orv möyhqhv1 Edmr hv0 wdv flufxqvwdqfldv/ dxwdutxðd hv ho ýqlfr htxloleulr frpshwlwlyr txh hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr1 Lqhflhqfld glqäplfd o ? Dkrud od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gh orv lqglylgxrv wlhqh xqd shqgl0 hqwh lqihulru d od uhvwulfflöq gh idfwlelolgdg frpr sxhgh revhuyduvh hq ho vljxlhqwh juäfr= ;171 LQHILFLHQFLD GHO HTXLOLEULR FRPSHWLWLYR 494 Juäfr 6= Lqhflhqfld glqäplfd +uq, Ct+1 (1+n) (1+r) Wt+1 Región no factible Wt Ct Hq hvwh fdvr hqghxgduvh qr hv idfwleoh1 Od vroxflöq gheh vhu r elhq dxwdutxðd r elhq wudqvihulu uhfxuvrv kdfld ho ixwxur1 Revhuyh txh hvwh fdvr lpsolfduðd hvwdu hq xq sxqwr lqwhulru gho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv idfwleohv +h{lvwluðdq uhfxuvrv rflrvrv,/ or txh frqwudglfh hflhqfld hq ho vhqwlgr gh Sduhwr1 D frqwlqxdflöq survhjxlprv frq ho hmhpsor dqwhulru sdud yhu hq txì flu0 fxqvwdqfldv hv srvleoh dofdq}du dvljqdflrqhv txh vhdq hflhqwhv hq ho vhqwlgr gh Sduhwr= Hmhpsor 8= Vxsrqjdprv txh sduwlprv gho hmhpsor dqwhulru grqgh hq htxloleulr orv lqglylgxrv frqvxpðdq odv dvljqdflrqhv gh dxwdutxðd1 Yhuhprv frpr srghprv lpsohphqwdu dvljqdflrqhv hflhqwhv hq ho vhqwlgr gh Sduhwr xwlol}dqgr xq phfdqlvpr gh wudqvihuhqfldv1 Uhfrughprv txh od glvwulexflöq lqlfldo gh uhfxuvrv hud E/ c / 2 ' E2c / ho idfwru gh ghvfxhqwr q ' | odv suhihuhqfldv orjduðwplfdv1 Odv ixqflrqhv gh frqvxpr gh fdgd shulrgr hvwäq gdgdv sru= / 2 S ' n q / n n o q / 2 S2 ' n q / n n o E n o Frpsuredprv txh vl o ' ? vh fxpsoh idfwlelolgdg sdud fxdotxlhu dvlj0 qdflöq txh fxpsod od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld/ qr vöor sdud od gh dxwdutxðd= q E n o S / / 2 2 2 S n n ? ' n q / n n o n n q / n n o E n ? nq / /2 c 2 ' / ' / n n nq no n? 495 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV Hqwrqfhv/ vxvwlwx|hqgr o ' ? f hq od ixqflrqhv gh frqvxpr/ rewhqhprv txh orv frqvxprv öswlprv gh fdgd jhqhudflöq vrq= S | S2 | 2 ' / 2E n ? ' E n ? n : ' / 2 2 ' n Sru wdqwr od qxhyd dvljqdflöq gh htxloleulr grplqd d od glvwulexflöq lqlfldo gh uhfxuvrv1 Vl ? ' fc hqwrqfhv ho wlsr gh lqwhuìv hq od hfrqrpðd hv o ' fc | od dvljqdflöq gh htxloleulr hv vlpìwulfd ES| c S2| ' E*2c *2 Revhuyh txh xq ydoru gh ? ' fD +wlsrv gh lqwhuìv qhjdwlyrv, lpsolfduðd frqvxprv ljxdohv d orv gh dxwdutxðd1 Xq phfdqlvpr htxlydohqwh d orv dqdol}dgrv sru Vdpxhovrq sdud vrvwhqhu dvljqdflrqhv Sduhwr vxshulruhv d odv gh dxwdutxðd hq htxloleulr frqvlvwh hq vxsrqhu od h{lvwhqfld gh wudqvihuhqfldv EA| : f h lpsxhvwrv gh vxpd md EA| f1 Hvwrv lqvwuxphqwrv shuplwhq uhglvwulexlu orv uhfxuvrv hqwuh lqglylgxrv vlq glvwruvlrqdu odv ghflvlrqhv öswlpdv gh orv lqglylgxrv1 Hq ho fdsðwxor 44 vh glvfxwluä frq pd|ru ghwdooh ho sdsho gh orv lpsxhvwrv gh vxpd md1 Xq htxloleulr frpshwlwlyr frq wudqvihuhqfldv shuplwluä ghvfhqwudol}du fxdotxlhu dvljqdflöq hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr1 Ghqlflöq +Htxloleulr frpshwlwlyr frq Wudqvihuhqfldv,= Xq htxl0 oleulr frpshwlwlyr frq wudqvihuhqfldv sdud hvwd hfrqrpðd vrq dvljqdflrqhv lq0 ie S| c e S2|n c e @|n j" |'f c glylgxdohv wdo txh= E iAe| c Ae2| j" |'f wudqvihuhqfldv Ho frqvxplgru qdflgr hq | ' fc c c holjh | suhflrv Ee S| c e S2|n ioe| j" |'f sdud vroxflrqdu= 4@ L ES| c S2|n r@ e S| n @|n ' / | n A| e e S2|n ' / 2|n n E n o|n @|n n A2|n S| c S2| E fc H{lvwh xqd jhqhudflöq lqlfldo txh vroxflrqd= 4@ L ES2f r@ E vrq= e S2f ' / 2f n A2f Odv frqglflrqhv gh djuhjdflöq | ydfldplhqwr gh phufdgrv e e A| n A2| ' fc ;|c ;181 496 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV FRQ SURGXFFLÖQ eS| n eS2| n? ' / | n / 2| c n? ;| Uhwrpdqgr ho hmhpsor 8/ ghmdprv do ohfwru frpr hmhuflflr frpsuredu fxäo ghehuðd vhu ho vljqr | fxdqwðd gho lpsxhvwr | od wudqvihuhqfld gh vxpd md sdud vrvwhqhu od vroxflöq hflhqwh hq htxloleulr sdud ho fdvr gh od dvljqdflöq lqlfldo E2c / frq fhur fuhflplhqwr gh od sreodflöq1 ;18 Prghor gh Jhqhudflrqhv Vrodsdgdv frq Surgxfflöq Dkrud orv lqglylgxrv gh fdgd jhqhudflöq qr vöor lqwhufdpeldq hqwuh hoorv vlqr txh riuhfhq idfwruhv surgxfwlyrv +wudedmr | fdslwdo, hq phufdgrv gh idfwruhv frpshwlwlyrv/ rewhqlhqgr uhqwdv vdoduldohv | gh fdslwdo/ txh d vx yh} ghvwlqdq d frqvxpr r dkruur1 Orv lqglylgxrv wlhqhq xqd grwdflöq lqlfldo gh wlhpsr | qdfhq frq f dfwlyrv1 Vhd 8 Eg| c u| xqd ixqflöq gh surgxfflöq djuhjdgd gh uhqglplhqwrv frqvwdqwhv d hvfdod | txh vdwlvidfh odv frqglflrqhv gh Lqdgd +yìdvh fdsðwxor 5,1 u| ' Sdud ho fdvr päv vhqfloor qrupdol}dprv od sreodflöq | qr kd| fuhflplhqwr gh od sreodflöq/ hqwrqfhv s E&| ' 8 E&| c 1 Ho sureohpd gho frqvxplgru hv= ES| n qES2|n 4@ r@ S| n @|n S2|n | E n o|n @|n Hv ghflu/ orv lqglylgxrv riuhfhq vx wudedmr hq ho sulphu shulrgr rewhqlhqgr xq vdodulr | / ghflghq fxäqwr frqvxplu hq hvh plvpr shulrgr | fxäqwr dkruudu sdud ho shulrgr vljxlhqwh @|n Ho dkruur rewlhqh xq uhqglplhqwr qhwr o|n hq ho shulrgr vljxlhqwh/ txh sdjdq odv hpsuhvdv sdud xwlol}duor frpr lqsxw surgxfwlyr1 Hq ho vhjxqgr shulrgr gh ylgd orv lqglylgxrv qr wudedmdq | vöor uhflehq uhqwdv gho dkruur1 Sru wdqwr/ od surgxfflöq wlhqh oxjdu hq fdgd prphqwr gho wlhpsr frq ho wudedmr txh dsruwdq odv jhqhudflrqhv möyhqhv | ho fdslwdo txh wlhqhq dfxpx0 odgr odv jhqhudflrqhv pd|ruhv1 Ghqlflöq +Htxloleulr Frpshwlwlyr frq Surgxfflöq,= Xq htxlole0 ulr frpshwlwlyr hq xqd hfrqrpðd frq surgxfflöq hv xqd vhfxhqfld gh suhflrv i | c o| j" |' | xqd dvljqdflöq S2fc iS c S2 nc e@ nj"'f/ | | | | wdo txh= 497 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV E Gdgrv i |c o| " S| c S2|n c e@|n |' / orv frqvxplgruhv holjhq rswlpdphqwh E j sdud vroxflrqdu= ES| n qES2|n 4@ r@ S| n @|n S2|n E S2f / vroxflrqd | E n o|n@|n ES2f 4@ r@ S2f E n of&f grqgh &f hv ho fdslwdo lqlfldo gdgr1 E Odv hpsuhvdv pd{lpl}dq ehqhflrv= s E&| Eo| n B&| | 4@ | ehqhflr fhur1 E Htxloleulr hq ho phufdgr gh fdslwdohv= @|n ' &|n 1 E Ho htxloleulr hv idfwleoh +frqvxpr wrwdo päv lqyhuvlöq euxwd qr vxshulru do rxwsxw,= S| n S2| n &|n E B &| s E&| c | ' c 2c Vroxflrqdqgr ho sureohpd gho frqvxplgru xwlol}dqgr odv frqglflrqhv gh Odjudqjh/ grqgh b| hv ho pxowlsolfdgru gh od sulphud uhvwulfflöq hq ho pr0 | | >|n hv ho pxowlsolfdgru gh od vhjxqgd uhvwulfflöq | n rewhqhprv odv vljxlhqwhv frqglflrqhv gh sulphu rughq= phqwr dS| o dS2| o d@|no ES| b| f q ES2|n >|n f b| n E n o|n>|n f Hq wdqwr hq fxdqwr vl S $f hqwrqfhv hq ho prphqwr E' f r S| : f E' f r S2| : f E' f r @|n : f $4 / vh vdwlvidfh txh S : f1 Hqwrqfhv odv grv sulphudv uhvwulfflrqhv vh fxpsohq frq ljxdogdg1 Txh od whu0 fhud vh fxpsod frq ljxdogdg ylhqh ghwhuplqdgr sru odv frqglflrqhv gh Lqdgd/ |d txh hq htxloleulr o| ' s E&| | vl & $f hqwrqfhv s $4 1 Vxvwlwx|hqgr odv grv sulphudv frqglflrqhv hq od whufhud rewhqhprv od Hfxdflöq gh Hxohu= ES| ' q ES2|n E n o|n ;181 498 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV FRQ SURGXFFLÖQ Vxvwlwx|hqgr ho wlsr gh lqwhuìv sru vx fruuhvsrqglhqwh ydoru gh htxloleulr vh rewlhqh= ES| ' q ES2|n E n s E&|n B Hq ghqlwlyd/ wrgd od vhqgd gh htxloleulr iS|c S2|n j|'f / i&|j" |' ylhqh ghwhuplqdgd sru od vroxflöq frqmxqwd d= " ES| ' q ES2|nE n s E&|n B S2f ' E n s E&f B&f s E&| ' S| n S2| n &|n E B&| ^Sodqwhh | vroxflrqh ho sureohpd gho sodqlfdgru vrfldo +pd{lpl}du od xwlo0 lgdg srqghudgd gh wrgrv orv lqglylgxrv vxmhwr d od uhvwulfflöq gh idfwlelolgdg,1 Fdofxoh ho hvwdgr hvwdflrqdulr1 ÁVh fxpsoh ho Sulphu Whruhpd gho ElhqhvwduB` Yhdprv d frqwlqxdflöq xq vhqfloor hmhpsor1 Hmhpsor 9= Vxsrqjdprv txh odv suhihuhqfldv gh orv fdgd jhqhudflöqq hv0 wäq uhsuhvhqwdgdv sru od vljxlhqwh ixqflöq gh xwlolgdg/ L ES| c S2|n ' S|S2|n Od whfqrorjðd hv gh wlsr Free0Grxjodv s E&| ' &|k Sdud vroxflrqdu ho sure0 ohpd kd| txh vhjxlu od ghqlflöq gh htxloleulr frpshwlwlyr1 Odv ixqflrqhv gh frqvxpr gh odv qxhydv jhqhudflrqhv hvwäq gdgdv sru odv vljxlhqwhv h{suhvlrqhv= S | ' @|n ' S2|n ' q | q | nq q E n o | |n nq n Ho lqglylgxr lqlfldo hq | ' f frqvxph wrgd vx grwdflöq gh uhfxuvrv= S2f ' E n of& Od vroxflöq gho sureohpd gh od hpsuhvd hvwä gdgd sru odv vljxlhqwh h{0 suhvlöq= o| ' k&k3 B | Xwlol}dqgr ho whruhpd gh Hxohu vh rewlhqhq ho vdodulr gh htxloleulr= | ' s E&| &|s E&| ' E k&|k Sdud fdofxodu ho vwrfn gh fdslwdo hq fdgd prphqwr gho wlhpsr hv qhfhvdulr dsolfdu od frqglflöq gh htxloleulr hq ho phufdgr gh fdslwdo/ gh irupd txh ho 499 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV dkruur gh orv lqglylgxrv gheh frlqflglu frq ho vwrfn gh fdslwdo d orv suhflrv gh htxloleulr1 Irupdophqwh/ @|n ' &|n= @ n ' nq q | | ' qE k&|k ' & |n nq Gh hvwd irupd od glqäplfd gh od hfrqrpðd hvwä ghwhuplqdgd sru xqd hfxdflöq glihuhqfldo qr olqhdo gh sulphu rughq1 Vlpsolfdqgr wìuplqrv od srghprv uhhvfulelu gh od vljxlhqwh irupd= &|n ' q E n kq &|k Hq hvwdgr hvwdflrqdulr &|n ' &| ' & W Vxvwlwx|hqgr hq glfkd h{suhvlöq rewhqhprv ho fdslwdo gh hvwdgr hvwdflrqdulr1 & W ' q E k 3k c nq vxvwlwx|hqgr ho vwrfn gh fdslwdo hq odv dqwhulruhv hfxdflrqhv srghprv rewhqhu odv dvljqdflrqhv gh htxloleulr hq ixqflöq gh orv sduäphwurv ixqgdphqwdohv gh od hfrqrpðd1 Hmhpsor := FRPSXWDFLÖQ GH OD WUDQVLFLÖQ D sduwlu gh gh odv hfxdflrqhv rewhqlgdv hq od vhfflöq dqwhulru hv srvleoh 0 flrqdulr hq ho odujr sod}r1 Xqd irupd uhodwlydphqwh vhqflood sdud uhdol}du hvwh dqäolvlv hv xwlol}du xqd krmd gh fäofxor1 Hq hvwh hmhpsor vh ghvfuleh sdvr d sdvr frpr uhdol}duor/ sdud hoor hv qhfhvdulr hq sulphu oxjdu frpsuhqghu föpr ixqflrqd ho phfdqlvpr glqäplfr gho prghor/ hq hvwh fdvr ho surfhvr gh dfxpxodflöq gh fdslwdo1 Hq vhjxqgr oxjdu föpr lqwurgxflu odv hfxdflrqhv hq ho surjudpd lqirupäwlfr1 dqdol}du qxphulfdphqwh wrgd od vhqgd gh wudqvlflöq kdfld ho hvwdgr hvwd Phfdqlvpr glqäplfr gh dfxpxodflöq gh fdslwdo= Od vhfxhqfldo whpsrudo hq od wrpd gh ghflvlrqhv txhgd uh hmdgd hq odv hfxdflrqhv txh vh kdq rewhqlgr hq ho dqwhulru hmhpsor1 Do sulqflslr gh fdgd shulrgr orv lqglylgxrv suhvwdq idfwruhv surgxfwlyrv d odv hpsuhvdv ig| c u| j hq hvwh fdvr frpr hvwdprv plglhqgr wrgdv odv yduldeohv hq wìuplqrv shu fäslwd i&| j Frq hvwrv uhfxuvrv vh surgxfh ho rxwsxw gh fdgd shulrgr i+| jc | fdgd idfwru surgxfwlyr hv uhpxqhudgr io| c| j gh irupd txh whqhprv odv uhqwdv gho wudedmr frpr ýqlfd ixhqwh gh lqjuhvrv gh odv jhqhudflrqhv möyhqhv hq od hfrqrpðd | uhqwdv gh fdslwdo sdud odv jhqhudflrqhv ylhmdv1 Frq hvwrv uhfxuvrv orv lqglylgxrv ghflghq ho frqvxpr d uhdol}du hq fdgd shulrgr | ho qlyho gh dfwlyrv gh pdôdqd/ txh ghwhuplqduä ho vwrfn gh fdslwdo hq | n Ilqdophqwh ;181 49: PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV FRQ SURGXFFLÖQ txhgd sru yhulfdu txh od frqglflöq gh idfwlelolgdg gh od hfrqrpðd vh vdwlvidfh/ hv ghflu txh ho frqvxpr päv od lqyhuvlöq euxwd hv phqru r ljxdo txh ho rxwsxw1 Irupdophqwh or srghprv h{suhvdu gh od vljxlhqwh irupd1 Od hfrqrpðd hq ho prphqwr | ' f wlhqh xq vwrfn gh fdslwdo lqlfldo &f txh hvwä gdgr1 Vxvwlwx|hqgr hq od ixqflöq gh surgxfflöq rewhqhprv ho qlyho gh surgxfflöq shu fäslwd= +f ' &fk Frq hvwd lqirupdflöq | xwlol}dqgr odv frqglflrqhv gh sulphu rughq gho sureohpd gh od hpsuhvd rewhqhprv orv suhflrv uhodwlyrv gho shulrgr f frq xqd phud vxvwlwxflöq= of ' k&3k Bc f ' f E k&fkc gdgr txh od ixqflöq wlhqh uhqglplhqwrv frqvwdqwhv d hvfdod vh fxpsoh ho Whr0 uhpd gh Hxohu/ sru or wdqwr orv ehqhflrv gh od hpsuhvd vrq fhur xqd yh} vh kd uhpxqhudgr d fdgd idfwru frq vx surgxfwlylgdg pdujlqdo1 Frq orv suhflrv uhodwlyrv hv srvleoh ghwhuplqdu odv ghflvlrqhv öswlpdv gh od jhqhudflöq ylhmd | od jhqhudflöq mryhq hq | ' f S2f Sf ' ' o & f nq E n f Ho vwrfn gh fdslwdo hq | n vh ghwhuplqd d sduwlu gh od frqglflöq gh dkruur gh odv qxhydv jhqhudflrqhv/ | ho htxloleulr hq ho phufdgr gh fdslwdohv= & ' @ ' nq q f ' nq q E k&fk Sru ýowlpr edvwd yhulfdu txh od frqglflöq gh idfwlelolgdg vh fxpsoh hq fd0 gd shulrgr1 Frq ho vwrfn gh fdslwdo gho shulrgr vljxlhqwh/ hq hvwh fdvr & yroyhprv d uhshwlu wrgrv orv sdvrv kdvwd rewhqhu ho vwrfn gh fdslwdo gho pr0 phqwr | ' 2 Uhslwlhqgr hvwh surfhvr rewhqguhprv txh od hfrqrpðd frqyhujh d vx qlyho gh hvwdgr hvwdflrqdulr/ gh irupd txh od lqyhuvlöq qhwd E&|n &| wlhqgh d fhur1 Sdud ghprvwudu txh od hfrqrpðd frqyhujh kdfld ho hvwdgr hvwd0 flrqdulr edvwd frq dqdol}du od hyroxflöq gho fuhflplhqwr gho vwrfn gh fdslwdo hq ho wlhpsr E&|n *&| Hq hvwh fdvr sduwlfxodu srghprv ghqlu hvwh udwlr gh gh od vljxlhqwh irupd= &|n ' & h |k3 n }& ' &| grqgh h ' q E k*E n q Ho vljxlhqwh juäfr pxhvwud od hyroxflöq gho vwrfn gh fdslwdo hq od hfrqrpðd= 49; FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV Juäfr 7= Hyroxflöq fuhflplhqwr gho vwrfn gh fdslwdo E&|n *&| K t+1 ( Kt+1 / Kt ) K0 K* Kt K0 Od wdvd gh fuhflplhqwr gho vwrfn gh fdslwdo hv ghfuhflhqwh sdud yhuor edvwd frq fdofxodu od ghulydgd gh glfkd wdvd frq uhvshfwr do vwrfn gh fdslwdo= Y E n }& Y&| gdgr txh k5 c Ef ' Ek h |k32 & f Hq ho sxqwr hq txh ho udwlr hv od hfrqrpðd dofdq}d vx qlyho gh hvwdgr hvwdflrqdulr1 Dkrud hv qhfhvdulr frpsuredu txh od ixqflöq vöor fruwd hq xq sxqwr d od uhfwd gh eD c hv ghflu &|n &|c ' sdud hoorv edvwd frq wrpdu orv oðplwhv gho udwlr fxdqgr ho vwrfn gh fdslwdo frqyhujh d f | d 4 G *4 k h &|23k k h &|23k E E &| <f *4 &| <" ' ' 4 f Sru or wdqwr vl od hfrqrpðd hpslh}d frq xq vwrfn gh fdslwdo sru ghed mr &f &W r sru hqflpd &f : &W gho qlyho gh hvwdgr hvwdflrqdulr/ hvwd frqyhujh hq ho odujr sod}r do hvwdgr hvwdflrqdulr/ sxhv hq ho sulphu fdvr od lqyhuvlöq fuhfhuä kdvwd frqyhujhu plhqwudv txh hq ho vhjxqgr ghfuhfhuä1 2 Vlpxodflöq qxpìulfd= Sdud vlpxodu ho prghor hv qhfhvdulr sdudphwul}du ho prghor/ hvwr lpsolfd gdu xqrv flhuwrv ydoruhv d orv sduäphwurv txh uhsuhvhqwdq odv suhihuhqfldv gh orv lqglylgxrv | od whfqrorjðd gh surgxfflöq/ hv ghflu qc kcc B E txh orv sduäphwurv gho prghor wrpdq orv vljxlhqwhv ydoruhv= Vxsrqjdprv ;191 DOWUXLVPR 49< Wdeod 4= Sduäphwurv gho prghor q k B 31: 317 43 3 Frq xqd ghwhuplqdgd sdudphwul}dflöq | gh xq ghwhuplqdgr vwrfn gh fds0 lwdo lqlfldo/ &fc hv srvleoh ghwhuplqdu od vhqgd gh wudqvlflöq kdfld ho hvwdgr hvwdflrqdulr1 Xwlol}dqgr xqd krmd gh fäofxor edvwd frq vxvwlwxlu orv sduäphw0 urv hohjlgrv ghqwur gh odv hfxdflrqhv fruuhvsrqglhqwhv gh od vljxlhqwh irupd= D E A 4 5 6 7 8 9 Fdslwdo &f ' 2 & ' 8 2 3 4 F G Surg1 H Wlsr gh lqwhuìv 2f e ' fe f 2f S ' f f e ' fe f f S ' f I Vdodulrv ' fS f 2fe ' fS f fe Dkruur ' ' f. nf. f. nf. .2 . 5 6 7 Hvwh surfhglplhqwr qrv gduðd wrgd od vhfxhqfld gh 6 ghwhuplqdgr ydoru lqlfldo/ lwhudflöq | hq hvwh fdvr &f ' 2 |/ d sduwlu gh xq 1 D sduwlu gh xqd ghwhuplqdgd od hfrqrpðd frqyhujhuä ghvgh ho sxqwr gh ylvwd qxpìulfr do hvwdgr hvwdflrqdulr txh khprv fdofxodgr suhyldphqwh/ ;19 & &W Dowuxlvpr Hq ho prghor eävlfr dqdol}dgr hq odv vhfflrqhv dqwhulruhv qr h{lvwðd qlqjýq yðqfxor idploldu hqwuh odv qxhydv jhqhudflrqhv hq od hfrqrpðd | odv h{lvwhqwhv1 Hvwr lpsolfd txh orv lqglylgxrv pxhuhq frq xq qlyho fhur gh dfwlyrv/ sxhvwr txh qr hv öswlpr ghmdu fdslwdo xqd yh} pxhuwr1 Od hylghqfld hpsðulfd pxhvwud txh ho qlyho gh wudqvihuhqfldv lqwhuylyrv r gh khuhqfldv hv px| lpsruwdqwh/ or txh lpsolfd txh odv jhqhudflrqhv pd|ruhv vh suhrfxsdq sru vxv ghvfhqglhqwhv/ hv ghflu/ h{lvwh xq yðqfxor gh dowuxlvpr1 Ghqluhprv dowuxlvpr frpr dtxhood vlwxdflöq hq txh ho elhqhvwdu gh xq lqglylgxr ghshqgh gho elhqhvwdu gh rwurv1 Lqwurgxflu hvwh wlsr gh yðqfxorv hq ho prghor hv uhodwlydphqwh vhqfloor/ sdud hoor wdq vöor hv qhfhvdulr lqwurgxflu xq frpsruwdplhqwr dowuxðvwlfr hq odv suhihuhqfldv gh orv lqglylgxrv1 Vl odv jhqhudflrqhv suhvhqwhv ydorudq od iholflgdg gh vxv klmrv/ vx ixqflöq gh xwlolgdg qr ghshqgh ýqlfdphqwh gho frqvxpr lqglylgxdo vlqr wdpelìq gho gh vx klmr1 Odv suhihuhqfldv d or odujr 6 Rewhqhu orv frqvxprv vhuðd lqphgldwr/ lqfox|hqgr grv froxpqdv päv hq od krmd gh fäofxor1 4:3 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV gho flfor ylwdo gh xqd ghwhuplqdgd jhqhudflöq hvwäq gdgdv sru od vljxlhqwh h{suhvlöq= T| ' ES| n q ES2|n n 4T|n c +;148, grqgh T| hv od iholflgdg gh xqd jhqhudflöq d or odujr gho flfor ylwdo1 Fr0 pr sxhgh qrwduvh T| ghshqgh gho frqvxpr surslr/ suhvhqwh | ixwxur/ | gho elhqhvwdu gh odv jhqhudflrqhv yhqlghudv hq ho ixwxur/ dxqtxh ìvwdv hvwäq gh0 vfrqwdgdv d xqd wdvd vxemhwlyd 4 Sdud dvhjxudu txh od ixqflöq remhwlyr T| hvwä dfrwdgd hv qhfhvdulr vxsrqhu txh ho idfwru gh ghvfxhqwr 4 5 Efc 1 Vl ghvduuroodprv T|n | od vxvwlwxlprv hq od ixqflöq remhwlyr ruljlqdo rewhqhprv od vljxlhqwh h{suhvlöq= T| ' ES| n q ES2|n n 4 E ES|n n q ES2|n2 n 42 T|n2c | dvð vxfhvlydphqwh1 Od irupd hq txh xq lqglylgxr sxhgh dihfwdu d od xwlolgdg gh vxv ghvfhqglhqwhv hv ghmäqgrohv xqd khuhqfld17 Sru or wdqwr fxdqwr päv vh ydoruh d orv klmrv/ pd|ru vhuä od xwlolgdg txh ghulyduä xq sdguh sru wudqvihuluoh uhfxuvrv hq ho wlhpsr1 Hv lpsruwdqwh revhuydu frpr hq hvwh fdvr ho dowuxlvpr yd hq xqd vrod gluhfflöq= gh sdguhv d klmrv/ shur qr do uhyìv/ or txh frpsolfduðd vxvwdqfldo0 phqwh ho dqäolvlv do kdfhu T|n xqd ixqflöq gh T| / txh d vx yh} ghshqgh gh T|n 1 Vlq hpedujr/ hv srvleoh uhdol}du hvwh dqäolvlv dvxplhqgr txh wdpelìq sxhghq h{lvwlu wudqvihuhqfldv gh uhfxuvrv gh klmrv d sdguhv1 Ghqrwdprv d K| od wudqvihuhqfld gh elhqhv iðvlfrv txh xq sdguh kdfh d vx klmr hq ho prphqwr | Gh hvwd irupd od qxhyd uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho sureohpd gho frqvxplgru hvwä fdudfwhul}dgd sru odv vljxlhqwhv hfxdflrqhv= S| n @|n | n K| c +;149, S2|n n K|n @|n E n o|n c +;14:, sru or wdqwr od wudqvihuhqfld txh kdfh odv jhqhudflrqhv ylhmdv hq ho prphq0 wr |c vrq shuflelgdv frpr xqd wudqvihuhqfld gh vxpd md sru sduwh gh odv jhqhudflrqhv möyhqhv Dkrud hv qhfhvdulr prglfdu xq srfr od ghqlflöq gh htxloleulr frpshwlwlyr/ sxhv hv qhfhvdulr lqfoxlu odv wudqvihuhqfldv sru prwlyr khuhqfldv frpr xqd yduldeoh gh ghflvlöq gho sureohpd gh orv frqvxplgruhv1 Ghqlflöq +Htxloleulr Frpshwlwlyr frq Khuhqfldv,= frpshwlwlyr frq khuhqfldv hv xqd dvljqdflöq gh frqvxpr sodqhv gh surgxfflöq i&| j" |'f c 7 Irupdophqwh/ fdeuðd glvwlqjxlu | suhflrv io|c | j" |'f c S Xq htxloleulr ' iS c S2 c @ nc K j"'fc | | | | wdo txh= hqwuh khuhqfldv +txh vh ghmdq do prulu, | wudqvihuhqfldv lqwhuylyrv1 Gdgr txh sdguhv h klmrv vöor frlqflghq gxudqwh xq shulrgr glfkd glvwlqflöq slhugh vx vljqlfdgr1 | ;191 4:4 DOWUXLVPR Gdgrv i c o j"' | | | / orv frqvxplgruhv holjhq rswlpdphqwh iS| c S2|n c @|n c K|n j sdud vroxflrqdu= ES| n q ES2|n n 4T|n c tS cS2 n4@ c@ n cK n | | | +;14;, | r@ S| n @|n S2|n n K|n K|n | n K| E n o|n @|n f wrpdqgr frpr gdgd K| 1 E pd/ Od jhqhudflöq lqlfldo hq | ' f vroxflrqd ho vljxlhqwh sureoh0 4@ ES2f r@ S2f n Kf E n of&f grqgh &f hv ho fdslwdo lqlfldo gdgr1 E Odv hpsuhvdv pd{lpl}dq ehqhflrv= s E&| Eo| n B &| | 4@ | ehqhflr fhur1 E Idfwlelolgdg vh fxpsoh= S| n S2| n &|n E B&| s E&| c | ' c 2c Gdgrv orv vxsxhvwrv gh frqfdylgdg | prqrwlflgdg gh od ixqflöq remhwlyr odv frqglflrqhv qhfhvduldv gh sulphu rughq vrq vxflhqwhv sdud fdudfwhul}du xqd vroxflöq lqwhulru1 Odv frqglflrqhv gh sulphu rughq frq uhvshfwr d S| / S2|n / @|n vrq= dS| o ES| b| f E' f r S| : f dS2| o q ES2|n >|n f E' f r S2| : f b| n E n o|n>|n f E' f r @|n : f d@|no grqgh b| | >|n ghqrwdq orv pxowlsolfdgruhv gh Odjudqjh uhvshfwr d fdgd uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld vhfxhqfldo1 Od ghflvlöq frq uhvshfwr d odv khuhq0 fldv/ K|n c hv xq srfr päv frpsolfdgd1 Sdud yhuor frq päv fodulgdg ydprv d ghvduuroodu od ixqflöq remhwlyr | vxvwlwxlprv odv uhvwulfflrqhv suhvxsxhvwduldv gh dpedv jhqhudflrqhv hq xq prphqwr ghwhuplqdgr gho wlhpsr | n G 4@ K|n n q EE n o|n @|n K|n n 4 E|n n K|n @|n n 4:5 FDSÐWXOR ;1 PRGHOR GH JHQHUDFLRQHV VRODSDGDV ghulydqgr frq uhvshfwr d K|n G q EE n o n@ n K n n 4 E n n K n @ n f E' f Fxdqgr odv khuhqfldv vrq srvlwlydv K : f ;|/ hvfulelprv od frqglflöq gh dK|n o | | | sulphu rughq gh od vljxlhqwh irupd= | | | | q ES|n ' ES2|n +;14<, 4 Frq lqghshqghqfld gh od rshudwlylgdg gh odv khuhqfldv frpelqdqgr odv frqglflrqhv gh sulphu rughq gho sureohpd gho frqvxplgru rewhqhprv od Hfxdflöq gh Hxohu= ES| ' q ES2|n E n o|n c +;153, Ho frqvxpr vhuä fuhflhqwh/ frqvwdqwh r ghfuhflhqwh d or odujr gho flfor ylwdo vl q E n o|n hv pd|ru/ ljxdo r phqru txh Hv lpsruwdqwh uhpdufdu txh hq xq prghor gh flfor ylwdo hq jhqhudo qr fdeh hvshudu txh ho frqvxpr vhd frqvwdqwh d or odujr gho flfor ylwdo hq xq hvwdgr hvwdflrqdulr1 Ho frqvxpr djuhjdgr ' S n S2c vð txh shupdqhfh frqvwdqwh hq hvwdgr hvwdflrqdulr/ shur qr ho frqvxpr shu fäslwd1 Frpelqdqgr od Hfxdflöq gh Hxohu | od frqglflöq gh sulphu rughq frq uhvshfwr d odv khuhqfldv ghulydprv od vljxlhqwh h{suhvlöq= ES| ' 4 ES|n E n o|n +;154, Hvwd frqglflöq ljxdod od xwlolgdg pdujlqdo gh xq lqglylgxr mryhq hq ho prphqwr | | xqr hq ho prphqwr | n do frflhqwh gh suhflrv uhodwlyrv/ hq hvwh fdvr ho wlsr gh lqwhuìv hq od hfrqrpðd1 Gh hvwd irupd fxdqgr odv jhqhudflrqhv suhvhqwhv ydorudq od xwlolgdg gh odv jhqhudflrqhv ixwxudv/ | ìvwdv d vx yh} kd0 fhq or plvpr frq ho uhvwr vh jhqhudq ylqfxorv lqwhujhqhudflrqdohv txh ydq päv dooä gh od uhodflöq hqwuh sdguhv h klmrv1 D hvwh prghor vh oh ghqrplqd prghor glqävwlfr/ sxhv orv lqglylgxrv vh frpsruwdq frpr vl irupdudq sduwh gh xqd judq idplold1 Sru or wdqwr hvwxgldu od hohfflöq gh xq prghor lqwhuwhp0 srudo grqgh orv sdguhv vh suhrfxsdq sru od xwlolgdg ixwxud gh vxv klmrv vhuä htxlydohqwh d pd{lpl}du od xwlolgdg gho lqglylglxr uhsuhvhqwdwlyr gh od gl0 qdvwðd d or odujr gho wlhpsr1 Hvwh frpsruwdplhqwr hv od edvh gh orv prghorv gh krul}rqwh lqqlwr txh vh wudwd frq päv ghwdooh hq ho vljxlhqwh fdsðwxor1 Ho sureohpd gh od jhqhudflöq lqlfldo hv sduhflgr do gho uhvwr gh jhqhudflrqhv1 Hq hvwdgr hvwdflrqdulr od xwlolgdg pdujlqdo gh xqd jhqhudflöq mryhq kr| | pdôdqd gheh vhu ljxdo/ sru or wdqwr od Hfxdflöq gh Hxohu hydoxdgd hq hvwdgr hvwdflrqdulr vhuä= ' n o 4 Hvwd hfxdflöq lqglfd txh ho wlsr gh lqwhuìv gh od hfrqrpðd hq hvwdgr hvwd0 flrqdulr hv ljxdo d od wdvd lqwhujhqhudflrqdo gh ghvfxhqwr/ txh uhsuhvhqwd od r K|n ;191 4:6 DOWUXLVPR ydorudflöq vxemhwlyd txh wlhqhq odv jhqhudflrqhv gh kr| gh odv jhqhudflrqhv ix0 wxudv1 Sru or wdqwr orv lqglylgxrv dkruuduäq kdvwd txh ho wlsr gh lqwhuìv ljxdoh do idfwru gh ghvfxhqwr1 ^Ghmdprv frpr hmhuflflr sdud ho ohfwru ghprvwudu txh vl ho wlsr gh lqwhuìv lqlfldo hvwä sru ghedmr gho idfwru gh ghvfxhqwr ho dkruur öswlpr hv fhur1 +Slvwd= Xwlolfh odv frqglflrqhv gh sulphu rughq,1` Ho shuo lqwhuwhpsrudo gh frqvxpr hq hvwdgr hvwdflrqdulr ghshqgh gh od uhodflöq hqwuh orv glvwlqwrv idfwruhv gh ghvfxhqwr= q ES ' ES2c 4 +;155, vl q ' 4 hqwrqfhv ho shuo gh frqvxpr hv sodqr d or odujr gho flfor ylwdo/ hv ghflu S ' S2 Vl orv lqglylgxrv ghflghq qr ghmdu khuhqfldv d vxv klmrv/ K|n ' fc hqwrqfhv ho frpsruwdplhqwr gh hvwd hfrqrpðd frlqflgh frq od dqdol}dgd hq od vhfflöq dqwhulru1

8. Modelos de Generaciones Sucesivas

Documentos relacionados

Productos

Apoyo

8. Modelos de Generaciones Sucesivas

Documentos relacionados

Añadir este documento a la recogida (s)

Añadir a este documento guardado

Sugiéranos cómo mejorar StudyLib