Dualidad onda-partícula: Hipótesis de De Broglie Dualidad Onda

05/05/2015
Dualidad onda-partícula:
Hipótesis de De Broglie
Dr. Armando Ayala Corona
Dualidad Onda-Partícula:
El efecto fotoeléctrico y el efecto
Compton ofrecen una rigurosa evidencia
de que la luz se comporta como una
onda y como una partícula.
¿Pero cuál modelo es el correcto?
1
05/05/2015
Postulados de De Broglie:
Tradicionalmente, los electrones se
habían
considerado
como
partículas, y por tanto un haz de
electrones sería algo claramente
distinto de una onda.
De Broglie propuso (1923) eliminar
esta distinción: un haz de partículas
y una onda son esencialmente el
mismo fenómeno; simplemente,
dependiendo del experimento que
realicemos, observaremos un haz
de partículas u observaremos una
onda.
Basado en esto, de Broglie desarrolla un álgebra sencilla para
expresar sus ideas
Postulados de De Broglie (Cont.):
c

Según Planck:
E  h. f  h.
Teniendo en cuenta la ecuación de
Einstein:
E  m.c 2
Al fotón como partícula, le correspondería
un momento lineal relacionado con su
longitud de onda y se puede deducir de
las expresiones anteriores:
c
 m.c 2 

h

m.c
De Broglie, asignó a las partículas una
onda asociada cuya longitud de onda
viene dada por la siguiente expresión:
h.
h

m.v
h

p

2
05/05/2015
Difracción de electrones
La hipótesis de De Broglie se comprobó para los electrones,
mediante la observación de la difracción de electrones en dos
experimentos independientes, realizados por Thomson; Davisson y
Germen, quienes hicieron pasar un haz de electrones a través de
una rejilla cristalina.
El resultado obtenido fue un
circulo de difracción, parecidos
al producido por los rayos X.
Difracción de los electrones (Cont.):
Partiendo de esta figura, imaginemos a
un solo electrón que produce ondas
secundarias en fase cuando llegan a una
de las rendijas, la separación angular 
entre el máximo de probabilidad y el
mínimo vecino.
Se obtiene por la siguiente ecuación:
dsen 

2
Aplicando la ecuación de De Broglie, se
obtiene que:

h
2dmv
3
05/05/2015
Difracción de los electrones (Cont.):
De este modo la naturaleza dual del electrón se muestra claramente, ya
que los electrones se detectan como partículas en un punto localizado
en algún instante de tiempo, pero la probabilidad de llegada a ese punto
se determina encontrando la intensidad de las dos ondas de materia
que interfieren.
Debido a que el fenómeno muestra interferencia, el electrón debe estar
en un estado de superposición dado por la ecuación cuántica de la
onda:
   1  2
De manera que la probabilidad de detectarlo en la pantalla es  1   2
dada por la ecuación:
 1  2
2
2
  1   2  2 1  2 cos 
2
2
Principio de Incertidumbre de Heisenberg:
En la búsqueda de una estructura que fuera compatible con la mecánica
cuántica Heisenberg descubrió el «principio de incertidumbre», según el
cual ciertos pares de variables físicas, como la posición x y el momento
p de una partícula, no pueden calcularse simultáneamente con la
precisión que se quiera.
Según el principio el producto de esas incertidumbres en los cálculos no
puede reducirse a cero, ya que en la mecánica cuántica, sólo nos
permite conocer una distribución de la probabilidad de esos cálculos, es
decir, es intrínsecamente estadística.
Heisenberg postuló, que en la mecánica cuántica es imposible conocer
exactamente, en un instante dado, los valores de dos variables
canónicas conjugadas (posición-impulso, energía-tiempo,…, etc.) de
forma que una medición precisa de una de ellas implica una total
indeterminación en el valor de la otra
4
05/05/2015
Principio de Incertidumbre de Heisenberg (Cont.):
Matemáticamente, se expresa para la posición y
el impulso en la siguiente forma:
xp 

2
donde ∆x, corresponde a la incertidumbre en la
medida de la posición; y ∆p, a la medida del
impulso.
Para la energía, E, y el tiempo, t, se tiene:
Et 
Donde:


2
h
2
Postulados de Bohr:
El modelo de Rutherford plantea que las órbitas del átomo eran
similares a las del sistema planetario, pero este modelo no permitía
explicar, por medio de las leyes clásicas de la mecánica y el
electromagnetismo,
los espectros emitidos por los átomos
incandescentes.
Bohr, valiéndose de los trabajos de Planck y Einstein, lo modificó y
concibió una nueva imagen del átomo, bajo el concepto de que estos
responden a los postulados de la mecánica cuántica, introduciendo el
concepto de cuanto de Planck.
En éste modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededor del
núcleo; ocupando la órbita de menor energía posible, o sea la órbita
más cercana posible al núcleo.
5
05/05/2015
Postulados de Bohr (Cont.):
Bohr para desarrollar su modelo
atómico utilizó el átomo de
hidrógeno, describiéndolo con un
protón en el núcleo y girando a su
alrededor un electrón.
En el modelo, cada órbita electrónica está caracterizada por un
número cuántico, siendo la más próxima al núcleo aquélla con un
cuanto, la órbita K, seguida por la de dos quantum llamada L, y así
sucesivamente. Si el electrón salta de una de las órbitas exteriores a
la órbita L, el átomo irradia las líneas espectrales de la serie Balmer,
que cruzan la parte visible del espectro del hidrógeno.
Según la proveniencia del electrón saltarín, las cantidades de energía
irradiadas, y con ellas la frecuencia (color) de la línea, serán diferentes:
la línea roja de esta serie es el producto de un salto procedente de la
órbita M; la línea azul, de uno desde la órbita N, y así sucesivamente.
Postulados de Bohr (Cont.):
Bohr, de acuerdo al número cuántico principal calculó las distancias a
las cuales se hallaba cada una de las órbitas permitidas en el átomo
de hidrógeno, respecto del núcleo.
Representación de las órbitas
n
distancia
1
0,53 Å
2
2,12 Å
3
4,76 Å
4
8,46 Å
5
13,22 Å
6
19,05 Å
7
25,93 Å
6
05/05/2015
Postulados de Bohr (Cont.):
Los postulados de Bohr se resumen en los siguientes:
1. Los electrones orbitan el átomo en niveles discretos y cuantizados
de energía, es decir, no todas las órbitas están permitidas, tan
sólo un número finito de éstas
2. Los electrones pueden saltar de un nivel electrónico a otro sin
pasar por estados intermedios.
3. El salto de un electrón de un nivel cuántico a otro implica la
emisión o absorción de un único fotón cuya energía corresponde a
la diferencia de energía entre ambas órbitas.
4. Las órbitas permitidas tienen valores
discretos o cuantizados del momento
angular orbital p de acuerdo con la
siguiente ecuación:
p  n.  n.
h
2
Postulados de Bohr (Cont.):
En el átomo más simple, el hidrógeno,
solamente orbita un electrón, siendo la orbita
de menor radio o radio de Bohr:
ao 
4 0  2
me e 2
Generalizando la ecuación del radio de Bohr, obtenemos:
rn 
4 0 n 2  2
me e 2
o
rn  n 2. a0
La cuantización del radio de órbita, permitió la
cuantización de la energía:
En  
e2
8 0 a0 n 2
Y arrancando del tercer postulado de Bohr podemos obtener la
frecuencia del fotón emitido:
f 
Ei  E f
h

e 2  1
1 

8 0 a0 h  n 2f ni2 
7
05/05/2015
Postulados de Bohr (Cont.):
Y como la cantidad medida es la longitud de onda, se obtiene:
 1
1 f
e2
1 

 
 2
2
 c 8 0 a0 hc  n f ni 
Donde:
e2
 RH  1,0973732  10 7 m 1
8 0 a0 hc
Que se conoce como la constante de Rydberg, de esta forma queda
la ecuación:
 1
1
1 
 Rh  2  2 
n


 f ni 
Referencias

Notas del curso: Física III – M.Sc. José Fernando Pinto


UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA
UNEFA
NÚCLEO MÉRIDA
[email protected]
8