1 Ecuaciones diferenciales homogéneas . E: .t C r/dt C .7t 4r/dr D 0

1
Ecuaciones diferenciales homogéneas .
E: . t C r/ dt C .7t
4r/ dr D 0
D: H Reescribimos la ecuación:
.7t
4r/ dr D .t
r/ dt )
dt
7t
D
dr
t
t
r 7
4r
r
D t
r
r
r
t 4
7
4
dt
)
D tr
:
dr
1
1
r
t
Si hacemos el cambio u D , hallamos:
r
t
dt
du
) t D ur )
DuCr
)
r
dr
dr
du
7u 4
du
7u 4
u2 C 8u
) uCr
D
) r
D
uD
dr
u 1
dr
u 1
u 1
uD
4
:
Al separar variables:
dr
.u 1/ du
.u 1/ du
D
) 2
D
2
u
8u C 4
r
u
8u C 4
dr
:
r
Ahora integramos usando u2 8u C 4 D .u 4/2 12 D w 2 12 con w D u 4:
Z
Z
.u 1/ du
dr
D
)
2
u
8u C 4
r
Z
Z
Z
.w C 3/ dw
1
2w dw
dw
)
D ln r C C )
C3
D ln r C C )
2
2
2
w
12
2
w
12
w
12
!
p
1
1
w
12
2
p
) ln.w
ln
12/ C 3 p
D ln r C C )
2
2 12
w C 12
p
p !
1
3
u
4
2
3
p
ln
) ln.u2 8u C 4/ C
D ln r C C:
2
4
u 4C2 3
Donde hemos usado la fórmula:
Z
dz
z2
1
D
ln
2
a
2a
t
Como u D , la solución general de la ED es
r
2
p
t 1
3
t
ln
8
C4 C
ln
2
4
r
r
t
t
z a
zCa
:
p !
2 3r
p
D
4r C 2 3r
4r
ln r C C:
2. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010