Intervalos de confianza

Probabilidad y Estadı́stica
Grado en Ingenierı́a Informática, UAM, 2015-2016
Intervalos de confianza
Estadı́sticos básicos para una muestra x1 , x2 , . . . , xn :
Media muestral
n
1∑
xj
x=
n j=1
Cuasivarianza muestral
n
1 ∑
2
(xj − x)2
s =
n − 1 j=1
Notación para percentiles
1. Normal estándar
En Excel:
zα = distr.norm.estand.inv(1 − α)
= inv.norm(1 − α)
Algunos valores:
z5% = 1.645, z2.5% = 1.960, z0.5% = 2.576.
2. t-Student, n grados de libertad
En Excel:
t{n;α} = distr.t.inv(2α;n) = inv.t(1-α;n)
Algunos valores:
t{3; 5%} = 2.353, t{3; 2.5%} = 3.182, t{3; 0.5%} = 5.841.
t{4; 5%} = 2.132, t{4; 2.5%} = 2.776, t{4; 0.5%} = 4.604.
t{5; 5%} = 2.015, t{5; 2.5%} = 2.571, t{5; 0.5%} = 4.032.
3. χ2 con n grados de libertad
En Excel:
χ2{n;a} = prueba.chi.inv(α;n)
= inv.chicuad(1 − α;n)
4. F de Fisher
En Excel:
F{n1 ,n2 ;α} = distr.f.inv(α;n1 ;n2 )
= inv.f(1 − α;n1 ;n2 )
Intervalos I de confianza 1 − α para UNA distribución
Normal N (µ, σ)
Para la media µ:
(
σ )
I = x ± zα/2 √ .
n
(
s )
I = x ± t{n−1; α/2} √
n
• si σ conocida:
• si σ desconocida:
Para la varianza σ 2 :
(
I=
(n − 1) s2
,
χ2{n−1; α/2}
(n − 1) s2
χ2{n−1; 1−α/2}
Proporción p:
Para n grande:
√
(
)
x (1 − x)
I = x ± zα/2
n
Poisson (λ)
Para la media λ (y con n grande):
√ )
(
x
I = x ± zα/2 √
n
)
Intervalos I de confianza 1 − α para DOS distribuciones
Dos normales, X1 = N (µ1 , σ12 ), X2 = N (µ2 , σ22 )
Datos:
• muestra de tamaño n1 de la variable X1 , con media muestral x1 y cuasivarianza muestral s21 .
• muestra de tamaño n2 de la variable X2 , con media muestral x2 y cuasivarianza muestral s22 .
Para la diferencia de medias µ1 − µ2 :
• si σ1 , σ2 conocidas:
I=
((
)
x1 − x2 ± zα/2
√
σ12
n1
+
σ22
n2
)
• si σ1 , σ2 desconocidas, pero σ1 = σ2 :
√
((
)
I = x1 − x2 ± t{n1 +n2 −2; α/2} · sp n11 +
donde
s2p =
1
n2
)
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
.
(n1 − 1) + (n2 − 1)
• si σ1 , σ2 desconocidas, pero σ1 ̸= σ2 :
√
((
)
s2
I = x1 − x2 ± t{f ; α/2} n11 +
(
donde f es el entero más próximo a
s22
n2
)
s21 /n1 + s22 /n2
(s21 /n1 )2
n1 −1
+
)2
(s22 /n2 )2
n2 −1
.
Para el cociente de varianzas σ12 /σ22 :
(
)
s21 /s22
s21 /s22
I=
,
F{n1 −1 , n2 −1 ; α/2} F{n1 −1 , n2 −1 ; 1−α/2}
Comparación de proporciones p1 y p2
Datos:
• muestra de tamaño n1 de la variable X1 ∼ ber(p1 ), media muestral x1 .
• muestra de tamaño n2 de la variable X2 ∼ ber(p2 ), media muestral x2 .
Para la diferencia p1 − p2 (y con n grande):
√
((
)
1)
I = x1 − x2 ± zα/2 x1 (1−x
+
n1
x2 (1−x2 )
n2
)