Fen´omeno de Gibbs*

LAFA. Laboratorio de Análisis de Fourier Aplicado
Fenómeno de Gibbs*
Consideremos la serie formal de Fourier asociada a la función escalonada
½
−1/2
si t ∈ (−π, 0)
x(t) =
.
1/2
si t ∈ [0, π]
Esta serie ya la habı́amos calculado previamente, y es:
∞
2 X sin((2k + 1)t)
x(t) ∼
π k=0
2k + 1
La correspondiente suma parcial N -ésima la podemos escribir, pues, como:
)
Z ( N
N Z
2 t X
2X t
cos((2k + 1)u)du =
(SN x)(t) =
cos((2k + 1)u) du
π k=0 0
π 0 k=0
Ahora, podemos calcular la suma
PN
k=0
cos((2k + 1)u) utilizando (nuevamente) que
sin(a + b) − sin(a − b)
= cos a sin b
2
y, por tanto,
sin(2(k + 1)u) − sin(2ku)
,
2
cos((2k + 1)u) sin u =
lo que nos lleva a la identidad
N
X
cos((2k + 1)u) sin u =
k=0
y, por tanto,
1
(SN x)(t) =
π
Z
t
0
1
sin(2(N + 1)u)
2
sin(2(N + 1)u)
du.
sin u
Con esta fórmula podemos fácilmente calcular los extremos relativos de (SN x)(t).
J. Willard Gibbs fue el primer matemático que dió importancia al siguiente fenómeno (que luego
fue bautizado como fenómeno de Gibbs, aunque en realidad éste habı́a sido descubierto previamente
*
Este documento está basado ampliamente en el libro de texto del autor: J.M. Almira, “Matemáticas para la recuperación de señales”, Grupo Editorial Universitario, 2005.
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por Michelson, mientras realizaba ciertos experimentos eléctricos, ver [2]): el grafo de las sumas
parciales SN x tiende a exceder el tamaño del salto de discontinuidad de la señal x(t) con una altura
que representa aproximadamente el 9 % del salto (independientemente de N ).
En nuestro ejemplo, podemos ver que
(SN x)0 (t) =
1 sin(2(N + 1)t)
π
sin t
y, por tanto, el primer máximo de (SN x)(t) en el intervalo (0, π] ocurre para t =
toma el valor
Z π
π
1 2(N +1) sin(2(N + 1)u)
(SN x)(
)=
du.
2(N + 1)
π 0
sin u
π
,
2(N +1)
donde SN x
Hacemos el cambio de variable v = 2(N + 1)u para obtener que
Z
π
1 π
sin v
dv
(SN x)(
) =
2(N + 1)
π 0 sin(v/(2(N + 1))) 2(N + 1)
Z
1 π sin v v/(2(N + 1))
=
dv.
π 0
v sin(v/(2(N + 1)))
Ahora bien,
sin v
v
es una función acotada en [0, π] y
)
(
v/(2(N + 1))
| = 0.
lı́m
sup |1 −
N →∞ v∈(0,π)
sin(v/(2(N + 1)))
Por tanto,
µ Z π
¶
1
sin v
π
lı́m
dv − (SN x)(
)
N →∞
π 0
v
2(N + 1)
¶
µ Z π
Z
sin v
1
1 π sin v v/(2(N + 1))
= lı́m
dv −
dv
N →∞
π 0
v
π 0
v sin(v/(2(N + 1)))
µ Z π
½
¾ ¶
1
sin v
v/(2(N + 1))
= lı́m
1−
dv = 0
N →∞
π 0
v
sin(v/(2(N + 1)))
Es decir,
1
π
)=
lı́m (SN x)(
N →∞
2(N + 1)
π
Z
π
0
sin v
dv ≈ 0,58949 = 0,5 + 0,08949,
v
que es lo que querı́amos probar.
Nota. Si se realiza una cirugı́a adecuada sobre la señal, es fácil demostrar que el fenómeno de Gibbs
se produce para señales generales en los puntos de discontinuidad. Es un bonito ejercicio que dejamos
al lector.
Las siguientes gráficas se corresponden con las sumas parciales S3 (x), S10 (x) y S40 (x), respectivamente, para la señal con la que hemos hecho los cálculos en esta sección, y muestran claramente el
fenómeno de Gibbs:
2
LAFA. Laboratorio de Análisis de Fourier Aplicado
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
-0.1
-0.2
P10
-0.3
k=0
sin(2k+1)t
2k+1
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
-0.1
-0.2
P20
-0.3
k=0
sin(2k+1)t
2k+1
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
-0.1
-0.2
P50
-0.3
k=0
sin(2k+1)t
2k+1
El fenómeno de Gibbs se produce siempre que truncamos una serie de Fourier, y es de especial
importancia para el estudio de sistemas lineales (e.g., filtros digitales).
Referencias
[1] C. Gasquet and P. Witomski, Fourier Analysis and Applications. Filtering, Numerical Computation, Wavelets Texts in Applied Mathematics 30 Springer 1999.
[2] C. Lanczos, Discourse on Fourier Series, Olyver and Boyd, Edinburg, 1966.
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