Fenómeno de Gibbs

Fenómeno de Gibbs
La serie de Fourier en [−1/2, 1/2] de P
la función signo f (x) = sgn(x) converge
a f pero no uniformemente. Si SN (x) = |n|≤N an e(nx), con an sus coeficientes
de Fourier, se tiene
lı́m SN (x) = f (x)
pero ∀ > 0, lı́m sup SN (x) − f (x) = 00 089 . . .
N →∞
N →∞ |x|<
Por simetrı́a, el supremos de f (x) − SN (x) tendrá también el mismo valor. En
general, uno puede representar un salto de tamaño 2α en una función buena
como g(x) + αf (x) con g regular, y este resultado implica que por muchos
términos que tomemos en la serie de Fourier no podremos evitar un error por
arriba y por abajo como 00 089α, aproximadamente el 9 % de α. A esto se le
llama fenómeno de Gibbs.
Para probar el resultado anterior se escribe
SN (x) = (D ∗ f )(x)
con D(t) =
X
sen((2N + 1)πt)
.
sen(πt)
e(nt) =
|n|≤N
Usando la definición (D ∗ f )(x) =
Z
x+1/2
SN (x) = −
x
R
D(y)f (x − y) dy,
sen((2N + 1)πt)
dt +
sen(πt)
x
Z
x−1/2
sen((2N + 1)πt)
dt.
sen(πt)
Cambiando t por −t en la primera integral
Z
−x
SN (x) = −
Z
x
Z
+
−x−1/2
x
=
−x
x−1/2
Z
−x−1/2
+
.
x−1/2
Cuando x es pequeña, la última integral también lo es. De hecho integrando
por partes es posible probar que tiende a cero cuando N → ∞. Por otra parte
sen(πt) ∼ πt para |t| pequeño. Como esto se puede probar que
Z x
sen((2N + 1)πt)
dt − f (x) .
lı́m sup SN (x) − f (x) = lı́m sup
N →∞ |x|<
N →∞ |x|<
πt
−x
Dibujando la función h(t) = t−1 sen((2N + 1)πt) es fácil ver su integral entre
−algo y algo será máxima cuando algo = 1/(2N + 1), el primer punto donde
deja de ser positiva. Entonces el supremo es
Z
1/(2N +1)
−1/(2N +1)
sen((2N + 1)πt)
dt − 1 =
πt
Z
1
−1
sen(πu)
du − 1 = 00 08949 . . .
πu
donde se ha empleado el cambio u = (2N + 1)t, y se ha aproximado la integral
con métodos numéricos.