Auxiliar 2: Inducción y Sumatorias - U

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile
Matemáticas II
Profesor: Leonardo Sanchez.
Auxiliar: Juan Pedro Ross
Cristóbal Zenteno.
Fecha: Martes 5 de Enero.
Auxiliar 2: Inducción y Sumatorias
P1. Demostrar que la multiplicación de 3 naturales consecutivos es múltiplo de 6
P2. Demuestre que (1 + x)n ≥ 1 + nx ∀n ∈ N
P3. Demostrar que la cantidad de diagonales de un polígono regular de n lados está dada por la
expresión : n(n−3)
2
P4. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n − 2)
P5. Una "torre de Hanoi" es un juego consistente de n anillos de distintos tamaños y tres estacas
verticales fijas en un tablero A,B,C, alineadas de izquierda a derecha, en las que se colocan los
anillos. Al iniciar el juego todos los anillos estaán en la estaca A, apilados de mayor a menor,
el más grande en la base, es decir, formando una pila cónica.El juego consiste en trasladar los
anillos a la estaca C, para obtener una pila igual a la original. La complicación es que cada
vez se puede mover un solo anillo para ubicarlo en otra estaca y si en esta hay otros anillos
ellos deben ser de menor diámetro, es decir, en cada etapa del juego en cada estaca debe haber
una pila cónica
Demostrar que la cantidad de pasos mínimos para ganar el juego está dado por la expresión:
p(n) = 2n − 1
P6. El teorema fundamental de la aritmt́ica nos dice que todo número natural se puede escribir
como el producto de factores primos. Usando inducción fuerte demuestre este teorema.
P7. (a) Demostrar que:
n
X
i=a
xi =
xa − xn+1
1−x
(b) Si debo atravesar una distancia de 100 metros, pero cada vez que avanzo decido recorrer
la mitad de lo que me falta. ¿Cúanto me demoro en cruzar dicha distancia?