tema: 9 - sistemas de ecuaciones lineales

TEMA 10: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE
GAUSS
1- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Llamaremos sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a una
expresión de la forma:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
..............................................
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn x n = bm
Donde:
aij son números reales llamados coeficientes
x1, x2, x3, ... xn son las incógnitas
los números b1, b2, b3, ..., bn se llaman términos independientes
El conjunto (s1, s2, s3, ... sn) es solución de un sistema si al sustituir las
incógnitas xj por los números sj se verifican todas las igualdades.
2- DISCUSIÓN DE UN SISTEMA
Atendiendo al número de soluciones, los sistemas se clasifican en:

Compatible: si tiene solución
-

Si la solución es única: compatible determinado
Si tiene infinitas soluciones: compatible indeterminado
Incompatible: no tiene solución
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3- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
MÉTODO DE GAUSS
En un sistema de ecuaciones
transformaciones elementales:
podemos
realizar
las
siguientes
 Multiplicar/dividir una ecuación por un número real no nulo.
 Intercambiar las ecuaciones, procurando poner como primera aquella
en la que a11 = 1
 Sumar o restar a una ecuación otra que previamente hemos
multiplicado por un número..
 Eliminar una ecuación que valga todo cero.
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro
equivalente, con forma escalonada, mediante las transformaciones
elementales.
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
..............................................
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn x n = bm
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a22 x2 + ... + a2n xn = b2
amn x n = bm
Para facilitar las cosas utilizamos la matriz ampliada A*:
a11
a21
a12
a22
a1n
a2n
A* = ..................................
………………………………
am1
am2
amn
b1
b2
=
bm
a11
0
a12
a22
0
0
0
0
0
0 …
a1n
a2n
b1
b2
0
0
amn bm
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EJEMPLO
Un padre y sus dos hijos tienen en total 52 años. La edad del padre es el
triple que la suma de las edades de sus hijos; y el hijo mayor tiene 3 años
más que el menor. Hallar las edades del padre y de sus hijos.
SOLUCIÓN
Llamemos: x = edad del padre
y = edad del hijo mayor
z = edad del hijo menor
x +y +z = 52
x = 3(y+z)
y =z +3
1
1
x +y +z = 52
x-3y -3z =0
y -z =3
1
52
A* = 1 -3 -3
0
0 4
0
3
0 1 -1
1 -1
1 1 1 52
0 4 4 52
0 0 8 40
F1  F2
y el sistema quedaría:
1
1 1
4
52
52
F2  4F3
3
x +y +z = 52
4y +4z =52
8z =40
Empezando a resolver de abajo arriba tenemos:
8 z = 40
4y + 4z = 52
x + y + z = 52
40
8
z= 5
4y + 4.5= 52
x + 8 + 5 =52
4y = 52- 20
4y = 32
y=8
x +13 = 52
x = 39
z=
Luego el padre tiene 39 años, el hijo mayor 12 años y el hijo menor 5 años.
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EJERCICIOS
1.- En cierta heladería, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro
batidos te cobran 34 € un día. Otro día, por cuatro copas de la casa y 4
horchatas te cobran 44€, y un tercer día, te piden 26€ por una horchata y
cuatro batidos. ¿Tienes motivo para pensar que alguno de los tres días te
han presentado una cuenta incorrecta?
2.- En un edificio viven 82 personas en edad de trabajar clasificadas en
tres grupos: parados, de baja por enfermedad y activos. Entre estas
personas, el número de parados duplica el número de los que están de baja
por enfermedad, mientras que el número de activos es igual a 9 veces el
número de los que están de baja más diez. ¿Cuántas personas están en paro?
¿Cuántas personas están de baja por enfermedad? ¿Cuántas personas están
activas?
3.- En una competición escolar participan 1500 niños de tres categorías,
alevines, infantiles y juveniles. Se sabe que los juveniles son el doble de los
alevines y que, sumados los alevines e infantiles, hay 100 menos que
juveniles. ¿Cuántos hay de cada categoría?
4.- Una aseguradora tiene tres tarifas: una para adulto, otra para niño y
otra para anciano. Se sabe que una familia de 3 adultos, 2 niños y 1 anciano
paga 215 €, una segunda familia de 4 adultos, 1 niño y 2 ancianos paga 260 €,
una tercera familia de 2 adultos, 2 niños y 1 anciano paga 190 €.
a) ¿Cuánto paga cada niño, adulto y anciano?
b) ¿Cuánto pagará una familia de 5 adultos 3 niños y 2 ancianos?
5.- Un agricultor compra semillas de garbanzos 1,30 € el kilo, de alubias a
1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de
semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el
doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular
qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre.
6.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de
2000€. Si el número de billetes de 10€ es el doble que el número de billetes
de 20€, averigua cuántos billetes hay de cada tipo.
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