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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ
Ing. Griselda Ballerini
2006
Definición:
Dada A=(aij)pxq se dice que el rango de A es r  la máxima submatriz cuadrada de A cuyo
determinante asociado sea no nulo es de orden r.
Observaciones:
1- rango()=0
2- rango(A) mínimo{p,q}
3- Si A=(aij)n , entonces rango(A) n, vale el igualDet(A)  0
Operaciones elementales sobre matrices:
Dada A=(aij)pxq se dice que se efectúan operaciones elementales sobre A si:
a) Se intercambian dos filas o columnas entre si.
b) Se multiplica una línea por un escalar distinto de 0.
c) Se suma a una línea el producto de otra u otras paralelas por escalares distintos de 0.
En todos los casos se obtienen matrices equivalentes a la dada.
Matriz equivalente: Si sobre una matriz A se efectúan operaciones elementales se obtiene
otra matriz B cuyo rango es igual al de A. Se dice que B es equivalente a A.
Cálculo del rango de una matriz:
Veremos el método de Gauss, que se basa en aplicar operaciones elementales a la matriz dada.
Nos apoyaremos en los siguientes teoremas:
T1: El rango de una matriz no cambia si sobre ella se efectúan operaciones elementales.
T2: El determinante de toda matriz triangular es igual al producto de los elementos de la
diagonal principal.
Observación:
La condición necesaria y suficiente de nulidad del determinante de una matriz
triangular es que sea 0 algún elemento de la diagonal principal.
Mediante operaciones elementales y basándonos en los teoremas anteriores trataremos de
obtener la máxima submatriz triangular de A ( matriz dada) cuyo determinante sea distinto de
0 y con ello visualizar fácilmente el rango de A.
1
Método de Gauss:
 a11 a12  a1q 
 a21   a2q 
Sea A  



 


a p1 a p2  a pq 
Partimos de a11 distinto de 0, si no lo fuera lo logramos mediante intercambio de líneas.
Multiplicamos la primera fila por - a21 y la segunda por a11 , sumando ambas obtenemos:
a11
a12
. . a1q 


a a  a a
21 11
11 21 a11a22  a21a12 . . a2q


0
a22




 
 



a p1
a p2
. . a pq 

Repetimos este procedimiento entre la 1º y la 3º fila y así sucesivamente hasta la 1º y la
p-esima para lograr:
a11 a12  a1q 
 0 a   a 
22
2q


A 








 0 a p2  a pq 
Se retoma el proceso inicial a partir de a22* si es no nulo, continuando hasta lograr ver la
máxima submatriz triangular cuyo determinante será por hipótesis distinto de 0, el orden de
ésta dará el rango de la matriz equivalente obtenida, que es igual al de la dada: A.
** Observar que todos los aij* se obtienen según:
aij* = a11 aij - a1j ai1
a11
a12
a21
a22
a22* =
2
En forma esquemática
 col. control
q
a11
a12
a13
.
.
a1q
a21
a22
a23
.
.
a2q
.
.
.
.
.
.
 a1 j
j 1
q
 a2 j
j 1
ap1
ap2
ap3
.
.
apq
____________________________________________
0
a22* .
.
.
a2q*
0
a32* .
.
.
a3q*
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
*
0
ap2
.
.
.
apq*
____________________________________________
Ejemplo:
Hallar el rango de las siguientes matrices:
1-
*
2 1 0 3 
A   0 2 1 1


 3 1 1 0 
2
1
0
3
6
0
2
1
-1
2
3
1
-1
0
3
_____________________________
*
4
2
-2
4
-1
-2
-9
-12
______________________________
*
-6
-38
-44
La matriz equivalente estará formada por todas las filas asteriscadas excluyendo la columna
control,
3
2 1 0  3 
 0 4 2  2 En esta matriz se ha indicado la máxima submatriz triangular cuyo



 0 0 6 38
determinante es distinto de 0, por lo tanto su rango es 3 igual al rango de A.
2-
0
2
B 
1

0
1 1
1 2
0 0
0 1
1
1
0

0
0
1
-1
1
1
2
1
2
1
6
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
____________________________
*
2
1
2
1
6
0
1
-1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
_____________________________
*
2
-2
2
2
-1
-2
-1
-4
0
2
0
2
______________________________
*
-6
0
-6
4
0
4
_______________________________
*
0
0
Observar que en el primer cuadro no puede iniciarse el método de Gauss puesto que b11 es
nulo, entonces se indica la operación elemental ( intercambio de filas), se inicia a partir del
segundo cuadro.
2
0
La matriz equivalente : 
0

0
1 2 1
2 2 2 
0 6 0 

0 0 0
En ella se observa que la máxima submatriz
triangular que cumple la hipótesis del método es de orden 3, entonces rango(A)=3
4