Soluciones (problema 3)

Universidad de Oviedo
Dpto: IEECS
Area: ISA
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón
Ingeniero de Telecomunicación
Análisis Dinámico de Sistemas 2º Curso
10 de Febrero 2009
Puntos: 2; Tiempo: 30 minutos
Problema nº3
1. Mediante la aplicación del criterio de Nyquist, deducir si el sistema realimentado, unitaria y negativamente, es estable o inestable.
2. A partir del resultado anterior, deducir razonadamente, que valores podrían invertir el resultado
obtenido, mediante la modificación de la ganancia.
G(s) =
X(s)
6(s-1)
(s+3) (s+1)
G(s)
Ex10Feb2009; Ej.3
Y(s)
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón
Ingeniero de Telecomunicación
Análisis Dinámico de Sistemas 2º Curso
Universidad de Oviedo
Dpto: IEECS
Area: ISA
Calculamos los puntos en que la imágen corta
a los ejes real e imaginario.
6(jw
-1)
G(jw
)=
2
(3-w
) + j4w
Para s= jw obtenemos:
(
)
2
2
6(jw
-1) [(3-w
) - j4w
]
G(jw
)=
2 2
2
(3-w
) + 16w
2
Parte Real de G(jw
) = 0 => 5w
-3 = 0
w
= 0,77 ; |
G(jw
)|
=±
1,93
2
6[(5w
-3) + jw
(7-w
)]
G(jw
)=
2 2
2
(3-w
) + 16w
2
=0
Parte Imaginaria de G(jw
) = 0 => 7-w
w
= 0, w
=±
2,64 ; |
G(j0)|
= 2, |
G(j2,64)|
= 1,5
El camino de Nyquist elegido es el indicado en la figura.
Tramo ab: s = jw
:
6|
(jw
-1)|
|
G(jw
)|
=
|
(jw
+3)|
|
(jw
+1)|
b
s=Re
jq
|
G(jw
)|
=
R
s=jw
q
-2
1+w
2
2
|
G(jw
)|
=
9+w
1+w
a
-3
2
6
6
2
9+w
c
1
Arg (G(jw
)) = Arct ( w
/-1) - Arct (w
/3) - Arct (w
)
d
P
Para w
=> 0; |
G(j0)|
= 2, y Arg (G(j0)) = p
-0-0=p
Para w
= 0,77; |
G(j0,77)|
= 1,93, y Arg (G(j0)) = p
/2
s=-1+jw s=1+jws=3+jw
Para w
= 2,64; |
G(j2,64)|
= 1,5, y Arg (G(j0)) = 0
Para w
=> ¥
;|
G(j¥
)|
= 0, y Arg (G(j0)) = p
/2 - p
/2 - p
/2 = p
/2
-1
1
Ex10Feb2009; Ej.Rej3:1
3
Universidad de Oviedo
Dpto: IEECS
Area: ISA
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón
Ingeniero de Telecomunicación
Análisis Dinámico de Sistemas 2º Curso
jq
p
/
2
>
q
>
p
/
2
Tramo bcd: s = Re ;
Ri >... R3 > R2 >R1
jq
Si i =>¥
Rie +a => Rie
R3e
R2e
R1e
jq
a
jq
jq
R3e +a
|
G(Re )|
=
jq
jq
a
jq
jq
6|
(Rejq
-1)|
|
(Rejq
+3)|
|
(Rejq
+1)|
R2e +a
jq
a
jq
R1e +a
|
G(Rejq
)|
=
q
a
|
G(Re )|
=
jq
6|
(Re -1)|
jq
jq
|
(Re +3)|
|
(Re +1)|
6|
|
Rejq
Re |
|
Re |
|
jq
jq
|
G(Re )|
=
jq
6
R
Arg (G(Rejq
)) = - q
b
s=Re
s=jw
jq
Para R => ¥
;|
G(Re )|
=> 0,
R
jq
q
a
-3
-2
1
Para q
=p
/2 ; Arg (G(Rejq
)) = -p
/2
c
Para q
= 0 ; Arg (G(Rejq
)) = 0
Para q
= -p
/2 ; Arg (G(Re )) = p
/2
jq
d
P
Criterio de Nyquist:
N = 1, P = 0; N = Z - P; Z = 1
El sistema en bucle cerrado tiene un
polo en el semiplano real positivo.
Por tanto es: INESTABLE
Como se ha visto anteriormente, el corte con el eje
real negativo viene dado por:
|
G(jw
)|
=
k
2
9+w
Para w
= 0 => |
G(jw
)|
= K/3, de esto deducimos:
0 < K < 3 => |
G(jw
)|
< 1 Sistema ESTABLE
K = 3 => |
G(jw
)|
= 1 Sistema CRITICO
K > 3 => |
G(jw
)|
>1 Sistema INESTABLE
Ex10Feb2009; Ej.Rej3:2
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón
Ingeniero de Telecomunicación
Análisis Dinámico de Sistemas 2º Curso
Universidad de Oviedo
Dpto: IEECS
Area: ISA
Mediante Matlab obtenemos:
30/01/09 11:57
MATLAB Command Window
1 of 1
To get started, select MATLAB Help or Demos from the Help menu.
>> % respusta polar.
Nyquist.
nyquist(n1,d1)
axis equal
>>
Nyquist Diagram
2
1.5
1
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
Ex10Feb2009; Ej.Rej3:3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
0.5
1
1.5
2
2.5