Soluciones (problema 3)

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón
Ingeniero de Telecomunicación
Análisis Dinámico de Sistemas 2º Curso
Universidad de Oviedo
Dpto: IEECS
Area: ISA
Calculamos los puntos en que la imágen corta
a los ejes real e imaginario.
G(s) =
k s (s+1) (s+2)
4
(s +1)
Para s= jw obtenemos:
2
Para s = jw
:
k (jw
)
(jw
+1)(jw
+
2
)
G(jw
)=
4
w
+1
2
kw
(-3w
+(2-w
[
)
j]
G(jw
)=
4
w
+1
Parte Real de G(jw
) = 0 => 3w
=0
w
=0 ; |
G(jw
)|
=0
2
Parte Imaginaria de G(jw
) = 0 => w
( 2-w
)=0
w
= 0, w
=±
1,41 ; |
G(j0)|
= 0, |
G(j1,41)|
= k (6/5)
El camino de Nyquist elegido es el indicado en la figura.
Tramo ab: s = jw
:
b
s=Re
R
s=jw
p2
a
z3=-2
z2=-1
jq
kw
|
(jw
+1)|
|
(jw
+2)|
|
G(jw
)|
=
4
w
+1
p1
q
c
z1=0
p3
p4
2
|
G(jw
)|
=
2
1+w
2+w
kw
4
w
+1
Arg (G(jw
)) = p
/2 - Arct ( w
/1) + Arct (w
/2)
d
Para w
=> 0; |
G(j0)|
= 0, y Arg (G(j0)) = p
/2
s=1+jw
s=2+jw
s=jw
Para w
= 1,41; |
G(j1.41)|
= (6/5) k, y Arg (G(j1.41)) = p
Para w
=> ¥
;|
G(j¥
)|
= 0, y Arg (G(j0)) = p
/2 - p
/2 - p
/2 = -p
/2
1
Ex11Junio2009; Ej.Rej3:1
2
Universidad de Oviedo
Dpto: IEECS
Area: ISA
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón
Ingeniero de Telecomunicación
Análisis Dinámico de Sistemas 2º Curso
b
s=Re
R
s=jw
p2
|
G(Re )|
=
jq
p1
jq jq
jq
k|
Re |
|
(Re +1)|
|
(Re +2)|
|
(R e +1)|
4
j4q
c
z1=0
z2=-1
jq
p
/
2
>
q
>
p
/
2
Tramo bcd: s = Re ;
q
a
z3=-2
jq
p3
p4
k|
Re |
3
|
G(Rejq
)|
=>
d
4
Re
j3q
|
G(Rejq
)|
=
j4q
k
R
Arg (G(Rejq
)) = - q
Ri >... R3 > R2 >R1
jq
Si i =>¥
Rie +a => Rie
R 3e
R2e
R 1e
jq
a
jq
jq
Para R => ¥
;|
G(Re )|
=> 0,
jq
R3e +a
jq
a
jq
jq
R2e +a
a
Para q
=p
/2 ; Arg (G(Rejq
)) = -p
/2
jq
R1e +a
Para q
= 0 ; Arg (G(Rejq
)) = 0
q
a
/2
Para q
= -p
/2 ; Arg (G(Re )) = p
jq
Para: 0 < K < 0,83 => |
G(jw
)|
<1
N = 0, P = 2; N = Z - P; Z = 2
El sistema en bucle cerrado tiene dos
polos en el semiplano real positivo.
Por tanto es: INESTABLE
Como se ha visto anteriormente, el corte con el eje
real negativo viene dado por:
6k
|
G(jw
)|
=
5
|
G(jw
)|
= 1 => k = 0,83
G(jw
)|
=1
Para: K = 0,83 => |
El sistema es CRÍTICO
G(jw
)|
>1
Para: K > 0,83 => |
N = -2, P = 2; N = Z - P; Z = 0
El sistema en bucle cerrado no tiene
polos en el semiplano real positivo.
Por tanto es: ESTABLE
Ex11Junio2009; Ej.Rej3:2
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón
Ingeniero de Telecomunicación
Análisis Dinámico de Sistemas 2º Curso
Universidad de Oviedo
Dpto: IEECS
Area: ISA
Nyquist Diagram
Mediante Matlab obtenemos:
1
% Valor de K=0,5,Inestable %
0.8
0.6
Imaginary Axis
0.4
>>
>> p=[1 0.5 1.5 1 1]
0.2
0
-0.2
p =
1.0000
0.5000
1.5000
1.0000
1.0000
-0.4
>> roots(p)
-0.6
ans =
0.2777
0.2777
-0.5277
-0.5277
+
+
-
1.1238i
1.1238i
0.6839i
0.6839i
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
Real Axis
-0.4
-0.2
0
Nyquist Diagram
1
% Valor de K=0,83, Crítico %
0.8
0.6
Imaginary Axis
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
>> roots(p3)
ans =
-0.6
0.0000
0.0000
-0.4167
-0.4167
+
+
-
1.4142i
1.4142i
0.5713i
0.5713i
-0.8
-1
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
Nyquist Diagram
1.5
5/06/09 12:32
MATLAB
1
>> % Valor de K=1,5, Estsble %
Imaginary Axis
0.5
p2 =
0
-0.5
1.0000
1.5000
4.5000
3.0000
1.0000
>> roots(p2)
-1
ans =
-0.3681
-0.3681
-0.3819
-0.3819
+
+
-
1.8786i
1.8786i
0.3564i
0.3564i
-1.5
-2.5
-2
-1.5
-1
Real Axis
Ex11Junio2009; Ej.Rej3:3
-0.5
0