Soluciones de distribuciones de probabilidad

SOLUCIONES DE DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Ejercicio nº 1.Hemos lanzado un dado 100 veces, anotando el resultado obtenido cada vez. La información
queda reflejada en la siguiente tabla:
a) Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentajede resultadoshay en el intervalo  x  σ, x  σ  ?
Solución:
a)
x 
 
 fi x i
n
xi
fi
x if i
f ix i2
1
12
12
12
2
20
40
80
3
10
30
90
4
15
60
240
5
20
100
500
6
23
138
828
100
380
1750
380

 3,8
100
 fi x i 2
n
 x2 
1750
 3,8 2  3,06  1,75
100
Hemos obtenido una puntuación media de 3,8, con una desviación típica de 1,75 puntos.
b) x    2,05
En el interv alo  2,05; 5,55 hay 45 resultados, que representan un 45% del total.
x    5,55 

Ejercicio nº 2.La nota media de una clase, A, en un examen ha sido 5,5, con una desviación típica de 2,1.
En otra clase, B, la nota media en el mismo examen ha sido 7,3 y la desviación típica, de
2,6. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos.
Solución:
C.V.A 
C.V.B 
A
xA
B
xB
2,1
 0,382
5,5
2,6

 0,356
7,3




38,2%

 La v ariaciónes un poco may oren el grupo A.
35,6%

Ejercicio nº 3.En un sorteo que se realiza diariamente de lunes a viernes, la probabilidad de ganar es 0,1.
Vamos a jugar los cinco días de la semana y estamos interesados en saber cuál es la
probabilidad de ganar 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 días.
a Haz una tabla con las probabilidades.
b Calcula la media y la desviación típica.
Solución:
a
b
   pi xi  0, 5 
   pi x i2   2 
  0,5
0, 7  0, 25 
0, 45  0, 67
   0, 67
Ejercicio nº 4.En cada una de las siguientes situaciones, explica si se trata de una distribución binomial.
En caso afirmativo, identifica los valores de n y p:
a Se ha comprobado que una determinada vacuna produce reacción alérgica en dos de
cada mil individuos. Se ha vacunado a 500 personas y nos interesamos por el número
de reacciones alérgicas.
b El 35% de una población de 2000 individuos tiene el cabello rubio. Elegimos a diez
personas al azar y estamos interesados en saber cuántas personas rubias hay.
Solución:
a) Es una distribución binomial con n  500, p 
2
 0, 002  B 500; 0, 002
1000
b) Es una distribución binomial con n = 10, p  0, 35  B 10; 0, 35
Ejercicio nº 5.El 65 de los alumnos de un cierto instituto cursan estudios universitarios al terminar el
Bachillerato. En un grupo de ocho alumnos elegidos al azar, halla la probabilidad de que
estudien una carrera:
a Alguno de ellos.
b Más de seis.
Calcula la media y la desviación típica.
Solución:
Si llamamos x  "número de alumnos, de un grupo de 8, que estudian carrera", se trata de una
distribución binomial con n  8, p  0,65  B(8; 0,65)
a) px  0  1  px  0  1  0, 358  0, 9998  px  0  0, 9998
b) p[x > 6] = p[x = 7] + p[x = 8] =
 8
 8
    0, 65 7  0, 35     0, 65 8  8  0, 65 7  0, 35  0, 65 8  0,169  px  6  0,169
 7
 8
Hallamos la media y la desviación típica:
  np  8  0, 65  5, 2
  npq 

  5, 2
8  0,65  0, 35  1, 35    1, 35
Ejercicio nº 6.Se lanzan cuatro dados (no sabemos si son correctos o no) y se cuenta el número de treses
obtenido en cada lanzamiento. En 1000 lanzamientos, los resultados han sido los
siguientes:
¿Se ajustan estos datos a una binomial?
Solución:

Empezamos calculando la media de la variable "n de treses":
Media: x 
xi
fi
fixi
0
490
0
1
381
381
2
112
224
3
15
45
4
2
8
1000
658
658
 0, 658
1000
.
La media  de la binomial es:   np  4p
Como deben coincidir las dos medias μ  x , será:
4 p  0,658


p
0, 658
 0, 16
4

q  1  0,16  0,84
Compararemos la distribución empírica con una distribución binomial B(4;0,16). En una
distribución B(4;0,16) la variable x toma los valores 0, 1, 2, 3, 4. Si repitiéramos la
experiencia 1000 veces, ¿cuántas veces se darían cada uno de estos valores?
xi
p i = p [x = x i ]
1000 · p i
Números
esperados
Números
observados
Diferencias
0
0,844 = 0,498
498
498
490
8
1
4 · 0,16 · 0,843 = 0,379
379
379
381
2
2
6 · 0,162 · 0,842 = 0,108
108
108
112
4
3
4 · 0,163 · 0,84 = 0,0138
13,8
14
15
1
4
0,164 = 0,000655
0,655
1
2
1
Las diferencias son suficientemente pequeñas para suponer que el ajuste es bueno; es decir, que
los datos iniciales provenían de una distribución binomial.
Ejercicio nº 7.La siguiente gráfica corresponde a la función de probabilidad de una variable continua, x :
Calcula la probabilidad de que x:
a Sea menor que 1.
1
3
b) Esté entre
y .
2
2
Solución:

El área total bajo la curva es:
Área 
2 1
 1u 2
2
a) Entre 0 y 1 tenemosun trapeciocuy asbases miden 1 y
1
, y su altura es 1. Su área será:
2
1

1    1 3
2
3

Área 
 2  u2
2
2
4
Por tanto:
3
3
px  1  4 
4
1
1
3
3
1
b) Entre
y tenemosun trapeciode bases
y , y de altura 1. Su área será:
2
2
4
4
 3 1
   1
1
 4 4
Área 
 u2
2
2
Por tanto:
1
3 2 1
1
p  x   

2 1 2
2
Ejercicio nº 8.Halla, en una distribución N(0, 1), las siguientes probabilidades:
a) pz   0,2
b) pz  1, 27
c) p  0, 52  z  1, 03
Solución:
a) pz   0, 2  pz  0, 2  0, 5793
b) pz  1, 27  1  pz  1, 27  1  0, 8980  0,1020
c) p  0, 52  z  1, 03  pz  1, 03  pz   0, 52 
pz  1, 03  pz  0, 52  pz  1, 03   1  pz  0, 52  
 0, 8485   1 0, 6985  0, 5470
Ejercicio nº 9.Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución N(950,
200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:
a) Superen los 1200 euros.
b) Estén entre 700 y 1000 euros.
Solución:
 x  950 1200  950 
a) px  1200  p 

  pz  1, 25 
200
 200

 1  pz  1, 25  1  0, 8944  0,1056
 700  950 x  950 1000  950 
b) p 700  x  1000  p 



200
200
200


 p1  z  0, 25  pz  0, 25  pz  1 
 pz  0, 25  pz  1  pz  0, 25   1  pz  1  
 0, 5987   1  0, 8413  0, 44
Ejercicio nº 10.En una distribución N(0, 1), halla el valor de k en cada caso:
a) pz  k   0, 9969
b) p k  z  k   0, 985
Solución:
a) φ  2, 74  0, 9969

k  2, 74
b) p k  z  k   2pz  k   0, 5  2φ k   0, 5  0, 985
φ k   0, 5 
0, 985
2

φ k   0, 9925

k  2, 43
Ejercicio nº 11.Al preguntar a 100 familias por el número de hijos, hemos obtenido los siguientes
resultados:
Estudia si es aceptable considerar que estos datos provienen de una distribución normal
Solución:

Hallamos la media y la desviación típica de la distribución:
Media: x 
252
 2, 52
100
Desviación típica:
s

838
 2, 522 
100
2, 03  1, 42
Tenemos que comparar la distribución empírica con una normal N(2,52; 1,42). Para ello:
Partimos el recorrido de la variable en intervalos:
 0, 5;
0, 5 ,  0, 5; 1, 5 ,  1, 5; 2, 5 ,  2, 5; 3, 5 ,  3, 5; 4, 5 ,  4, 5; 5, 5
y vemos cómo se distribuirían 100 unidades de una teórica N(2,52; 1,42) en estos intervalos.
Luego compararemos esa distribución con la distribución empírica y evaluaremos las
diferencias.
Se puede aceptar que los datos empíricos provienen de una distribución normal.
Ejercicio nº 12.En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y
la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencia 50 veces, ¿cuál es la probabilidad de
sacar roja en más de 20 ocasiones?
Solución:
Si llamamos x  " número de bolas rojas", entonces x es una binomial con n  50;
en la que tenemosque calcular px  20.
La calculamos aproximando con una normal:
La media de x es np  50  0, 3  15; su desv iacióntípicaes
x es B 50; 0, 3  x' es N 15; 3, 24  z es N 0, 1

20, 5  15 
px  20  px'  20, 5  pz 
  pz  1, 70 
3, 24 

 1  pz  1, 70  1  0, 9 554  0, 0446  px  20  0, 0446
npq  3, 24.
p
3
 0, 3,
10