Solucions_autoavaluacio_tema_6.pdf

UNITAT 6 Punts, rectes i plans en l’espai
Resolucions de l’autoavaluació
1
Sabem que A (–4, 3, 3) i B (6, 3, –2). Calcula:
a) El punt mig de AB.
b) El punt simètric del punt B respecte de A.
c) El punt Q :
A
Q
B
Resolució
a) MAB =
(
–4 + 6 3 + 3 3 – 2
1
,
,
= 1, 3,
2
2
2
2
) (
)
b) Anomenem S (a, b, g) al punt simètric de B respecte de A. Així:
6+a
= –4
2
°
8 a = –14 §
§
§
§
8 b = 3 ¢ S (–14, 3, 8)
§
§
§
8 g=8
§
£
3+b
=3
2
–2 + g
=3
2
8
8
8
8
c) OQ = OA + AQ = OA +
2 8
2
AB = (– 4, 3, 3) + (10, 0, –5) = (–4, 3, 3) + (4, 0, –2) = (0, 3, 1)
5
5
Per tant, Q (0, 3, 1).
2
Donats els punts A (1, 3, –2), B (–5, 4, 1) i C (7, 2, 4):
a) Determina la recta r que passa per A i B.
b) Troba m i n per tal que P (3, m, n) pertanyi a r.
c) Determina l’equació del pla π que passa per A, B i C.
d) Troba k per tal que Q (k, 7, –1) pertanyi a π.
e) Quina és la posició relativa de r i π?
Resolució
° x = 1 – 6l
§
a) AB (–6, 1, 3), r : ¢ y = 3 + l
§
£ z = –2 + 3l
8
b) Substituint P (3, m, n) en les equacions de r :
–1
°
§ 3 = 1 – 6l 8 l = 3
§
§
–1
8
§
=
¢ m = 3 + l ÄÄÄÄÄ8 m = 3 +
3
3
§
§
§
–1
§ n = –2 + 3l ÄÄÄÄ8 n = –2 + 3 ·
8 n = –3
3
£
Així, m =
( )
( )
( )
8
8
i n = –3, per tant, P 3, , –3 .
3
3
Pàg. 1 de 4
UNITAT 6 Punts, rectes i plans en l’espai
Resolucions de l’autoavaluació
8
8
c) AB (–6, 1, 3); AC (6, –1, 6)
8
8
Trobem un vector perpendicular a AB i AC :
8
8
AB Ò AC = (–6, 1, 3) Ò (6, –1, 6) = (9, 54, 0) // (1, 6, 0)
Per tant, l’equació de π serà:
(x – 1) + 6(y – 3) + 0(z + 2) = 0
x + 6y – 19 = 0
• Una altra forma de fer-ho seria:
|
x–1
–6
6
y–3
1
–1
|
z–2
3
= 0 8 x + 6y – 19 = 0
6
Sens dubte, arribaríem a la mateixa conclusió.
• Una altra forma:
π: ax + by + cz + d = 0
Aéπ 8
a + 3b – 2c + d = 0 °
§
B é π 8 –5a + 4b + c + d = 0 ¢
§
C é π 8 7a + 2b + 4c + d = 0 £
Resolent el sistema obtenim una solució indeterminada:
a=l
b=6l
c=0
d = –19 l
Fent l = 1 arribem a la conclusió anterior:
x + 6y – 19 = 0
d) Si Q (k, 7, –1) é π, ha de complir-ne l’equació:
k + 6 · 7 – 19 = 0 ò k = –23 8 Q (–23, 7, –1) é π
e) Com que r passa per A i B, i π passa per A, B i C, òbviament r està continguda en π.
3
x – 17 y – 1 z – 8
r:
=
=
7
0
2
° x = 15 + 4l
§
s : ¢ y = –2 – l
§
£ z = 19 + kl
Troba la posició relativa de les rectes r i s (si es tallen, digues en quin punt):
a) Per a k = 2.
b) Per a k = 5.
Resolució
a) k = 2
8
dr (7, 0, 2); R (17, 1, 8) é r
° 8
¢ SR (2, 3, –11)
ds (4, –1, 2); S (15, –2, 19) é s £
8
Vegem el rang de tots tres vectors:
|
7
4
2
|
0 2
–1 2 = 77 + 24 + 4 – 42 = 63 ? 0
3 –11
Tots tres vectors són linealment independents. Per tant, les rectes es tallen.
Pàg. 2 de 4
UNITAT 6 Punts, rectes i plans en l’espai
Resolucions de l’autoavaluació
Pàg. 3 de 4
b) k = 5
8
dr (7, 0, 2); R (17, 1, 8) é r
° 8
¢ SR (2, 3, –11)
ds (4, –1, 5); S (15, –2, 19) é s £
8
Vegem el rang de tots tres vectors:
|
7
4
2
|
0 2
–1 5 = 0
3 –11
8
8
8
El vector SR depèn linealment de d r i d s . Per tant, les rectes es tallen.
Expressem r en paramètrics i igualem coordenada a coordenada:
° x = 17 + 7µ
° 17 + 7µ = 15 + 4l °
§
§
§
1 = –2 – l ¢ El sistema té solució: l = –3; µ = –2
r: ¢ y = 1
8 ¢
§
§
§
£ z = 8 + 2µ
£ 8 + 2µ = 19 + 5l £
Substituïm l = –3 en s :
x = 15 + 4 (–3) = 3 °
§
y = –2 – (–3) = 1 ¢ Es tallen en el punt (3, 1, 4)
§
z = 19 + 5(–3) = 4 £
Substituint µ = –2 en les equacions de r s’obté el mateix punt.
4
Determina les equacions de la recta que talla r i s, i és paral·lela a t :
°x = 2 + l
§
r : ¢ y = –3 – l
§
£z = 6 + l
°x = 3
§
l
s: ¢ y =
§
z
=
–9
–
l
£
°x = 8 – l
§
t: ¢ y = 5 + l
§
£ z = –6 + 2l
Resolució
Prenem un punt genèric de r, R (2 + l, –3 – l, 6 + l), i un altre de s, S (3, µ, –9 – µ).
8
Fem que el vector RS sigui paral·lel al vector director de t, (–1, 1, 2), fent-ne les coordenades proporcionals.
8
RS = (1 – l, 3 + l + µ, –15 – l – µ) // (–1, 1, 2)
°1 – l 3 +l +µ
=—
§—
1
–1
¢
1
–
l
–15
–l –µ
§ — = ——
2
£ –1
°
§
¢ La solució d’aquest sistema és: l = –3, µ = –4
§
£
Per a l = –3 obtenim el punt (–1, 0, 3), que pertany a r i a la recta buscada. Per tant, l’equació és:
° x = –1 – l
§
l
¢y =
§
£ z = 3 + 2l
UNITAT 6 Punts, rectes i plans en l’espai
Resolucions de l’autoavaluació
5
Pàg. 4 de 4
Considera el punt P (2, 0, 1) i les rectes:
°x = 1
§
r1: ¢ y = 5 + l
§
£ z = 2 + 2l
°x = 7 – l
§
r2: ¢ y = –15 + 3l
§
£z = 7
Troba una recta s que passa per P i talla r1 i r2.
Resolució
La recta que busquem, s, serà la intersecció de dos plans:
• π1, que conté P i a r1.
• π2, que conté P i a r2.
8
El vector director de la recta r1, d1(0, 1, 2), és paral·lel al pla i el vector que va des del punt P al punt R1(1, 5,
8
2) de la recta r1, PR 1(–1, 5, 1), també ho és. Per tant, el pla π1 serà:
|
x–2
–1
0
|
z–1
1
= 0 8 9(x – 2) + 2y – (z – 1) = 0
2
y
5
1
π1: 9x + 2y – z – 17 = 0
De manera anàloga, π2 serà:
|
|
x–2 y z–1
5
–15
6
= 0 8 –18(x – 2) – 6y = 0
–1
3
0
π2: 3x + y – 6 = 0
s és la intersecció dels plans π1 i π2:
°
x=l
9x + 2y – z – 17 = 0 °
§
¢ 8 y = 6 – 3l ¢
3x + y
– 6 = 0£
§
z = –5 + 3l £
6
Descriu i representa cada una de les figures següents:
a) y = 3
°x = 0
§
b) ¢ y = 3
§
£z = l
°x = 0
§
c) ¢ y = 3
§
£z = 0
°x = 0
d) ¢
£z = 0
°x = l
§
e) ¢ y = µ
§
£z = 0
f) x = y = z
Resolució
Z
a) Pla
Z
a)
Z
b)
c)
b) Recta
c) Punt
d) Recta
Y
X
Y
X
X
Z
e) Pla
Y
Z
d)
Z
e)
f)
f) Recta
Y
X
Y
X
Y
X