TEMA 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

TEMA 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
• Las distribuciones t de Student, Chi cuadrado () y F, se derivan de la distribución Normal y están
relacionadas con la teoría del muestreo pequeño n< 30.
• Son muy importantes pues son la base de metodologías inferenciales, tales como Intervalos de
Confianza y Pruebas de Hipótesis.
• Las variables t, y F surgen de transformaciones de variables aleatorias en las que están
involucrados estadísticos muestrales, tales como la media y la variancia. En la práctica, por lo
tanto, no podemos decir por Ej. que el peso, la altura, etc., se distribuyen según t, y F
DISTRIBUCIÓN DE STUDENT O DISTRIBUCIÓN t
En muchos casos se seleccionan de una población normal, muestras de tamaño pequeño n < 30 y x
desconocido
El estadístico t será
DEFINICIÓN
Una variable con distribución t de Student se define como el cociente entre una variable normal
estandarizada y la raíz cuadrada positiva de una variable dividida por sus grados de libertad.
CARACTERISTICAS
• La distribución se denomina distribución de Student o distribución t.
• Es simétrica, con media de 0, y variancia mayor que 1.
• Es más achatada que la normal y adopta diferentes formas, según el número de grados de libertad.
• La variable t se extiende desde − a +.
• A medida que aumenta los (n −1) grados de libertad la distribución t se aproxima en su forma a una
distribución normal.
• El parámetro de la distribución es (n−1) grados de libertad, originando una distribución diferente para
cada tamaño de muestra.
¿Cómo se deduce una distribución de t?
• Extraigo K muestras de tamaño n < 30.
• Calculo para cada muestra el valor de t.
• Grafique la distribución para cada tamaño muestral
Distribución t para diferentes grados de libertad (n−1)
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DISTRIBUCIÓN CHI_ CUADRADO
Para muestras extraídas de una población normal con variancia , con tamaño n < 30, siendo S2 la
variancia de la muestra entonces el estadístico será
DEFINICIÓN
Una variable Chi cuadrado se define como la suma de n variables normales estandarizadas elevadas al
cuadrado.
CARACTERISTICAS
• Por definición, una variable adopta valores positivos: 0 " " ".
• La distribución es asimétrica positiva.
• A medida que aumenta el tamaño de la muestra la curva es menos asimétrica, aproximándose a una
curva normal.
• Para cada tamaño muestral, se tendrá una distribución diferente.
• El parámetro que caracteriza a una distribución son sus grados de libertad (n−1), originado una
distribución para cada grado de libertad,
¿Cómo se deduce una distribución ?
• Extraer K muestras de tamaño n < 30
• Para cada muestra, por ejemplo n = 5, transformamos cada valor de x: x1, x2, x3, x4 y x5 en Z: z1, z2,
z3, z4 y z5, utilizando:
• Para cada muestra calculamos:
• Entonces podríamos escribir , así:
(1)
• Si cambiamos en (1) la media poblacional por X, resulta:
2
(2)
• Dado que: , despejando tenemos:
, al reemplazar en (2) llegamos a:
• Finalmente si se calcula para cada una de las K muestras y se grafica en un eje de coordenadas el
se genera una distribución de con (n−1) grados de libertad.
Distribución de ji−cuadrado para algunos valores de grados de libertad.
DISTRIBUCIÓN F DE FISHER
Considerando dos muestras aleatorias independientes, de tamaño n1 y n2, extraídas de una población normal,
el estadístico F será
DEFINICIÓN
Una variable F se define como el cociente entre dos variables ji−cuadrado divididas por sus correspondientes
grados de libertad.
CARACTERISTICAS
• Una variable con distribución F es siempre positiva por lo tanto su campo de variación es 0 " F
""
• La distribución de la variable es asimétrica, pero su asimetría disminuye cuando aumentan los
grados de libertad del numerador y denominador.
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• Hay una distribución F por cada par de grados de libertad.
• Parámetros: Grados de libertad asociados al numerador y denominador
¿Cómo se deduce una distribución F?
• Extraiga k pares de muestras aleatorias independientes de tamaño n < 30.
• Calcule para cada par el cociente de variancias que proporciona un valor de F.
• Graficar los valores de F de los k pares de muestras.
Distribución F para diferentes grados de libertad
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