TABLAS ESTADÍSTICAS

XXVI.1
TABLAS ESTADÍSTICAS1
Para comenzar el análisis de este capítulo, voy a sugerir un repaso de conceptos introductorios
que hemos venido brindando en capítulos previos.2
1. La Función Normal Estándar (Z)
La distribución Normal Estándar es utilizada en tests de hipótesis que incluyen contrastes sobre
medias aisladas, diferencia entre dos medias, y contrastes sobre proporciones. La Normal
Estándar tiene 0 como media y desvío típico de 1. Ustedes pueden ver una animación que
muestra varias colas (a la izquierda) de esta distribución.3 Más información sobre la Distribución
Normal tal como es usada en el contraste estadístico puede ser hallada repasando algunos
conceptos elementales.4 También hallarán un desarrollo matemático algo más avanzado.5
Como se muestra en la Figura 1, los valores de la tabla
representan el área por debajo de la curva normal estándar entre
0 y el número relativo z. Por ejemplo, a fin de calcular el área
entre 0 y 2.36, hay que buscar la celda de intersección de la fila
indicada 2.30 y la columna indicada 0.06.6 El área resultante es
.4909. Para calcular el área entre 0 y un valor negativo, fíjense
en la celda de intersección de la fila y la columna que dan como
suma el valor absoluto del número en cuestión. Por ejemplo, el
área debajo de la curva entre -1.3 y 0 es igual al área debajo de
la curva entre 1.3 y 0, de modo que hay que buscar la celda
correspondiente a la fila 1.3 y la columna 0.00 (el área es 0.4032).
Figura 1. Área entre 0 y z
Ustedes pueden apreciar que la integral A (z) de la distribución normal desde -∞ hasta z (en otros
términos, el área de la curva a la izquierda de z) proporciona la
probabilidad de que una variable aleatoria normal no sea superior
a z desvíos estándar por encima de su media.7
2. La Distribución t de Student
La forma de la distribución t de Student queda determinada por el
número de grados de libertad. En esta animación,8 su forma
cambia al aumentar el número de grados de libertad. Para ver
Figura 2
cómo esta distribución es usada en el contraste de hipótesis, vean
el test t de muestras independientes9 y el test t de muestras dependientes, en Estadísticos y
Tablas Básicas.10 Pueden leer también algo sobre la Distribución de la t de Student.11 Como indica
1
He utilizado material producido por StatSoft Electronic Statistics Textbook, StatSoft, Inc. (2011). Tulsa, OK,
que puede ser bajado de internet en http://www.statsoft.com/textbook/
2
Getting Started with Statistics Concepts http://www.statsoft.com/textbook/elementary-statisticsconcepts/button/1/
3
http://www.statsoft.com/textbook/graphics/anima2.gif
4
http://www.statsoft.com/textbook/elementary-concepts-in-statistics/
5
http://www.statsoft.com/textbook/statistics-glossary/n/button/n/#Normal%20Distribution
6
http://www.statsoft.com/textbook/distribution-tables/#t
7
http://www.statsoft.com/textbook/distribution-tables/
8
http://www.statsoft.com/textbook/graphics/an_tdf.gif
9
http://www.statsoft.com/textbook/basic-statistics/#t-test%20for%20independent%20samples
10
http://www.statsoft.com/textbook/basic-statistics/
XXVI.2
la Figura 2, el área en la parte de arriba de la tabla es el área de la cola derecha del valor-t que
está en tabla. Para calcular el valor crítico al 0.05 de la distribución t con 6 grados de libertad, hay
que fijarse en la columna 0.05 y en la fila 6: t (.05, 6) =1.94318.
3. La distribución χ² o chi cuadrado
Al igual que la distribución t de Student, la forma de la distribución chi cuadrado queda
determinada por sus grados de libertad.12 La animación muestra cómo se transforma la curva de
la distribución chi cuadrado a medida que los grados de libertad aumentan (1, 2, 5, 10, 25 y 50).
Para ver ejemplos de contrastes de hipótesis que usan esta distribución véase Estadísticos en
tablas cruzadas13 como así también Estimación no Lineal.14 Como se indica en la Figura 3, los
valores de esta tabla son valores críticos de la distribución chi cuadrado con los grados de libertad
correspondientes. Para calcular el valor de una distribución chi cuadrado (con determinados
grados de libertad) que contiene a cierta área, hay que ir a la columna del área dada y a la fila de
los grados deseados de libertad. Por ejemplo, el valor crítico al 25% de una chi cuadrado con 4
grados de libertad es 5.38527. Lo cual significa que el área a la derecha de 5.38527 en una
distribución chi cuadrado con 4 grados de libertad es 25%.
4. Grados de Libertad
En este libro el concepto de “grados de libertad” es el de un estimador del número de categorías
independientes en un test particular o experimento estadístico. Se encuentran mediante la fórmula
n−r, donde n=número de sujetos en la muestra y r es el número de
sujetos o grupos estadísticamente dependientes.
Cuando uno trata de ajustar un modelo estadístico a un conjunto de
datos, los residuos -expresados en forma de vector- se encuentran
habitualmente en un espacio de menor dimensión que aquél en el que
se encontraban los datos originales. Los grados de libertad del error
Figura 3. Área de la cola
los determina, justamente, el valor de esta menor dimensión. Por
derecha
de la distribución
ejemplo, supongan que disponemos de n variables aleatorias Y1, Y2,...
chi
cuadrado
Yn, que constituyen una muestra de datos con media muestral igual a
n
‹Y›. La media muestral viene expresada como ‹Y› = (∑i=1 Yi)/n. Entonces las cantidades Yi - ‹Y›
son los residuos, que pueden ser considerados estimadores de los errores Yi – μ (donde μ es la
media de la población). La suma de los residuos (a diferencia de la suma de los errores, que no es
conocida) es necesariamente 0, pues ∑i=1n (Yi - ‹Y›) = ∑i=1n Yi – n ‹Y› = ‹Y› - ‹Y› = 0, ya que existen
variables con valores superiores e inferiores a la media muestral. Esto también significa que los
residuos están restringidos a encontrarse en un espacio de dimensión n − 1 (en este ejemplo, en
el caso general a n − r) ya que, si se conoce el valor de n − 1 de estos residuos, la determinación
del valor del residuo restante es inmediata. Así, decimos que "el error tiene n − 1 grados de
libertad" (o que el error tiene n − r grados de libertad en el caso general).
5. La Distribución F
Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad
continua. También es conocida como distribución F de Snedecor o como distribución F de Fisher11
http://www.statsoft.com/textbook/statistics-glossary/s.aspx?button=s#Student%27s%20t%20Distribution
http://www.statsoft.com/textbook/graphics/an_chi.gif
13
http://www.statsoft.com/textbook/basic-statistics/#Statistics%20in%20crosstabulation%20tables
14
http://www.statsoft.com/textbook/nonlinear-estimation/
12
XXVI.3
Snedecor. Esta distribución está sesgada hacia la derecha y es utilizada frecuentemente en lo
que se conoce como Análisis de la Varianza (ver ANOVA/MANOVA).15 Es un cociente de dos
distribuciones chi cuadrado, y una distribución F específica se denota indicando los grados de
libertad de la chi cuadrado del numerador y los grados de libertad de la chi cuadrado del
denominador. Como un ejemplo de la distribución F (10, 10) se tiene
el indicado en nota al pie.16 Siempre se pone en primer término la
cantidad de grados de libertad del numerador. En las cuatro tablas
de la función F,17 las filas representan los grados de libertad del
denominador y las columnas los del numerador. El área de la cola
a la derecha le da el nombre a la tabla (p.ej., .025). Ejemplo: para
determinar el valor crítico al 5% de una distribución F con 7 y 12
grados de libertad, hay que fijarse en la columna 7 (numerador) y
la fila 12 (denominador) para un alfa=0.05. F(0.05, 7, 12) = 2.9134. Las
Figura 4. F. de distribución F
cuatro tablas corresponden a los valores críticos .10, .05, .025 y
al 10% y con grados de
.01. La Figura 4 representa una función F al 10% con df1 grados
libertad df1 y df2
de libertad en el numerador y df2 grados de libertad en el
denominador. El test F es utilizado para calcular la probabilidad
unilateral de la eventualidad de que dos varianzas sean distintas.
15
http://www.statsoft.com/textbook/anova-manova/
http://www.statsoft.com/textbook/graphics/newan_fdist.gif
17
http://www.statsoft.com/textbook/distribution-tables/#t
16