ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES. FORMULARIO CURSO 2011/2012

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES.
FORMULARIO CURSO 2011/2012
Este formulario, sin anotaciones de ningún tipo, es el único que podría ser usado durante la realización de los
exámenes de la asignatura si el profesorado lo considera pertinente.
ELASTICIDAD EN COORDENADAS CARTESIANAS
● EQUILIBRIO INTERNO:




 x  xy  xz




 X  0; xy  y  yz  Y  0; xz  yz  z  Z  0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
● EQUILIBRIO EN EL CONTORNO: σ = σ n
● RELACIONES CINEMÁTICAS (TENSOR DE DEFORMACIÓNES):
x 
u
v
w
;  y  ; z 
x
y
z
1
1  u v 
1
1  v w 
1
1  w u 
 xy   xy     ;  yz   yz   
;  zx   zx  
 

2
2  y x 
2
2  z y 
2
2  x z 
● COMPATIBILIDAD EN DEFORMACIONES:
 2  xy
2
2
2
 2 x   y  2  xz  2 x  2 z   yz   y  2 z

 2 ;

 2 ;
 2  2 ;
xy y 2
x xz z 2
x yz
z
y
2

    y


 
 2 x
  
  
   2 z
  
2
  xz  xy  yz  ; 2
  yx  yz  zx  ; 2
  zx  zy  xy 
yz x  y
z
x  zx y  z
x
y  xy z  y
x
z 
● COMPORTAMIENTO (HOOKE)
1
1
1
 x     y   z  ;  y   y     z   x   ;  z   z    x   y 



E
E
E



 xy  xy ;  yz  yz ;  zx  zx
G
G
G
x 
● COMPORTAMIENTO (LAMÉ)
 x  2G  x   e;  y  2G  y   e;  z  2G  z   e ;  xy  G  xy ;  yz  G  yz ; zx  G  zx e   x   y   z
● RELACIÓN ENTRE CONSTANTES:
G=
Eν
E
; λ=
2 1+ν 
1+ν 1-2ν 
● INVARIANTES (TENSIONES)
I1   x   y  z  I  II  III ; I 2   x y   y z   z x   2xy   2yz   zx2  σ Iσ II +σ IIσIII +σIII σI
x
I 3   xy
 xz
 xy
y
 yz
 xz
 yz  σ I σ II σ III
z
● INVARIANTES (DEFORMACIONES)
1
1
1
4
4
4
J1   x   y   z  ε I +ε II +ε III ; J 2   x  y   y  z   z x   2xy   2yz   zx2  ε Iε II +ε IIε III +εIII εI
x
J 3  12  xy
1
2  xz
 xy
y
1
2  yz
1
2
 xz
1
2  yz  ε I ε II ε III
z
1
2
● TENSIONES OCTAÉDRICAS: oct 
2 2 2
I1
I1  I 2
; oct 
9
3
3
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● ENERGÍA DE DEFORMACIÓN (POR UNIDAD DE VOLUMEN):
1
U
 
  y  y   z  z   xy  xy   yz  yz   xz  xz 
x x
2
● CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN:

RANKINE: eq  Max I , II , III
 σ I -ν  σ II +σ III 

SAINT-VENANT: σ eq =Max  σ II -ν  σ I +σ III 

 σ III -ν  σ II +σ I 

TRESCKA: σ eq =σ I -σ III
BELTRAMI:
σeq = σ 2I +σ 2II +σ 2III -2ν  σ Iσ II +σ Iσ III +σ IIσ III 
VON-MISES:
σ eq =
 σ I -σ II 2 +  σ I -σ III 2 +  σ II -σ III 2  

2
1
σ
2 
1
x
eq  I  k III ; k 
MOHR:
2
2
2
-σ y  +  σ x -σ z  +  σ y -σ z   6  2xy  2xz  2yz  

σ RT
σ RC
ELASTICIDAD PLANA
x   y
  y
   y 
I 
  x

 2xy ; II  x

2
2
 2 
2


x   y   x   y 
2 

n 
 
  xy  cos 2 ;   

  2 

2



2
 x   y 
2
 2    xy


2
2

 x   y 
2 
 2    xy   sen 2



Fig 1: Direcciones x, y, principales y
normal genérica
RESISTENCIA DE MATERIALES
TENSIONES NORMALES EN LA SECCIÓN
(EN VALOR ABSOLUTO)
x 
MZ.y
Iz
● ECUACION DIFERENCIAL DE LA ELÁSTICA:
 xy 
● TORSIÓN EN PERFILES ABIERTOS DE PARED DELGADA:
TENSIONES TANGENCIALES EN LA SECCIÓN:
Mt
i=n
S e
i
VySz ( s)
qsx ( s)  sx ( s)e( s) 
● TENSIONES TANGENCIALES PARA TORSIÓN CIRCULAR:
ixs 
Sz ( y )
Vy
I z b(y )
d 2 y(x) M z (x)

dx 2
EI z
● FLUJO DE CORTANTE EN LA SECCIÓN (ABIERTA):
3ei
TEOREMA DE COLIGNON-JOURAVSKI
(TENSIÓN EN VALOR ABSOLUTO)
 xr ( x, r ) 
Iz
M x ( x)
r
Ip
ÁNGULO UNITARIO DE TORSIÓN:
x 
3
i
i=1
3
Mt
i=n
G  Si e
3
i
i=1
n ES EL NÚMERO DE RAMIFICACIONES
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● TORSIÓN EN PERFILES CERRADOS DE PARED DELGADA:
FLUJO DE TENSIONES EN LA SECCIÓN:
ÁNGULO UNITARIO DE TORSIÓN:
M
 x  t CON I t 
G It
M
q s  t*
2A
● TENSIÓN EQUIVALENTE DE VON MISES:
4A*2
1
 e( s) ds
VM
eq
 2  32
L
L
L
L
Mr Mv
Nr Nv
Mr Mv
Vr Vv
dx  
dx   t t dx  
dx
● TEOREMA DE TRABAJOS VIRTUALES:   F .  M .   
EA
EI
GI t
GI
0
0
0
0
DONDE r ES EL ESTADO REAL Y v ES EL ESTADO VIRTUAL
● TENSIÓN CRÍTICA DE EULER:
2
   EI   
P
cr  cr  
   E  =0.5 E-E;  =0.7 E-A;  =1 A-A; BIARTICULADA;  =2 E-L;
A  L  A   
2
● RAÍCES DEL POLINOMIO DE TERCER GRADO:   I1   I 2   I3  0
3
1
1
2
3
27
q  I1 I 2 
p  I 2  I12
3
SI P=0:
2
1


q
  arccos  

 2  p3 27 


I13  I 3
q 2 p3

0
4 27
I
 
 I  1  2 cos    p 3
3
3
I
   2 
 II  1  2cos 
 p 3
3
 3 
I
   4 
 III  1  2cos 
 p 3
3
 3 
SI
 I   II   III   I3 
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