CAPITULO 5 BIS. TORSION

Cátedra de Ingeniería Rural
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
CAPITULO 5 BIS. TORSION
Torsión en piezas de sección circular. Teoría de Coulomb.
“Las secciones transversales circulares de la viga permanecen planas durante
la torsión, girando como un todo rígido alrededor del eje normal X de la sección”. Los
radios giran permaneciendo rectos, y las fibras longitudinales se convierten en
“hélices”.
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γ = tan γ =
CC ' ρ ⋅ dφ x
=
= ρ ⋅ θ , siendo:
dx
AC
- φx el ángulo de torsión.
- θ el ángulo de torsión por unidad de longitud, definido por θ =
dφ
.
dx
De acuerdo con Hook, τ = G ⋅ γ = G ⋅ ρ ⋅ θ , es decir, las tensiones tangenciales son
proporcionales al radio.
El momento resultante de las tensiones tangenciales debe ser igual al momento
torsor actuante Mt.
M t = ∫ ρ ⋅ τ ⋅ dS = ∫ G ⋅ θ ⋅ ρ 2 ⋅ dS = Gθ ∫ ρ 2 ⋅ dS =G ⋅ θ ⋅ I p , siendo Ip el momento polar de
S
S
S
inercia de la sección circular.
El producto GIp es el módulo de rigidez torsional.
θ=
Mt
M ρ
τ
; pero ademas θ =
, luego τ = t
Gρ
GI p
Ip
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El valor de tensión máximo se producirá en los puntos de ρ máximo. En una sección
circular, estará en la circunferencia exterior, es decir, cuando ρ=r.
El momento polar de un círculo es I p =
π ⋅r4
2
2M t ⋅ r 2M t
=
. Por analogía a la flexión denominamos Módulo de torsión
A⋅r
π ⋅ r4
Ar
Wt =
, luego
2
τ max =
τ max =
Mt
Wt
En una sección circular hueca
Ip = ∫
D/2
d/2
r 2 dA = ∫
Por tanto, Wp =
D/2
d/2
r 2 2π ⋅ rdr =
π ⋅ D3 ⎛
d4
⎜⎜1 − 4
16 ⎝ D
π ⋅ D4 ⎛
d4
⎜⎜1 − 4
32 ⎝ D
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
16M t
⎟⎟ , y τ max =
d4
⎠
3⎛
π ⋅ D ⎜⎜1 − 4
⎝ D
⎞
⎟⎟
⎠
Deformaciones en la torsión.
θ=
M
Mt
dφ
, y además, θ =
, por lo que dφ = t ds
dx
GI p
GI p
El giro total de la pieza entre dos secciones A y B será:
φ=∫
B
A
Mt
1
dx =
GI p
GI p
B
∫ M dx ,
A
t
donde la integral representa el área del diagrama de
momentos torsores entre las secciones A y B.
En el caso de momento torsor constante en toda la longitud de la pieza
φ=∫
l
0
Mt
M ⋅l
dx = t
GI p
GI p
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Torsión en piezas de sección prismática. Teoría de SaintVenant.
Con la formulación estudiada hasta ahora, la distribución de tensiones en una
sección prismática sería la de la figura de la izquierda. Esto supone que en puntos
como C o P, existe una tensión rasante τn, lo cual no concuerda con la realidad.
Puede comprobarse que en piezas prismáticas las secciones se alabean, con lo que
no se cumplen los principios de Coulomb.
Saint Venant dedujo que los mayores esfuerzos estaban en los puntos medios de los
lados mayores, siendo su valor:
Mt
, siendo h y b los lados del prisma (h>b), y α un coeficiente que
α ⋅ h ⋅ b2
depende de h/b.
τ max =
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El ángulo de torsión θ =
Mt
, siendo β un coeficiente que depende de h/b.
β ⋅ G ⋅ h ⋅ b3
Torsión en piezas de paredes delgadas.
Se demuestra, mediante la analogía de Prandl, que los esfuerzos cortantes apenas
dependen de la curvatura de la sección transversal. Los esfuerzos y deformaciones
en estas secciones son:
τ max =
θ=
3⋅ Mt
, siendo s y t la longitud y el espesor de la sección.
s ⋅ t2
3⋅ Mt
.
G ⋅ s ⋅t3
Torsión no uniforme.
La teoría de Saint Venant supone que tanto el giro por unidad de longitud
como el alabeo son uniformes en toda la longitud de la pieza. Pero esto en realidad
no sucede en piezas que tengan alguna sección con alabeo impedido (p.e.
empotramientos).
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La distribución de tensiones en la sección libre, si la viga es suficientemente larga,
es la indicada en la siguiente figura, que corresponde con las tensiones de Saint
Venant.
En la sección de empotramiento las tensiones de Saint Venant son nulas, puesto
que el alabeo está impedido. Puede suponerse que las alas soportan un par de
fuerzas F equivalentes al momento torsor, de valor F= Mt/h, que provocan una
tensión cortante de valor τ max =
3⋅ Mt
h⋅b⋅e
Pero también soportan las tensiones
normales producidas por el momento
flector
My
=
Fl,
de
valor
σ max =
F⋅l⋅b/ 2 6⋅ Mt ⋅l
=
e ⋅ b 3 / 12
hb 2 e
Puede decirse que en piezas con
secciones con alabeo impedido se
desarrollan
dos
mecanismos
resistentes totalmente diferentes para
el momento torsor:
- Uno debido a la torsión sin
restricción de alabeo, denominado Momento de Saint Venant, Mv
-
Uno debido a la restricción de alabeo, al que llamamos Momento de Alabeo
Impedido, Mw.
De forma que Mt = Mv + Mw. Ambos mecanismos se distribuyen a lo largo de la
pieza en función de las características de la sección y de la longitud de la pieza.
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