CINEMÁTICA

CINEMÁTICA
CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA
• Vector velocidad instantánea (𝑣).
• Ecuación de movimiento para un movimiento
con velocidad constante.
• Vector aceleración media (𝑎).
• vector aceleración instantánea (𝑎).
• Ecuaciones cinemáticas de posición y
velocidad para un movimiento con aceleración
constante.
CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA
Vector velocidad instantánea (𝒗)
Consideremos dos puntos fijos A y B a lo
largo de la trayectoria descrita por una
partícula, ahora, vamos a acercarnos al
punto A moviendo el punto B, tal como se
indica en la figura.
∆𝑟 se hace muy pequeño y este vector
tiende a ser un vector tangente a la
trayectoria en dicho punto y el intervalo de
tiempo también se hace pequeño.
CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA
Geométricamente, el vector velocidad es un
vector tangente a la trayectoria descrita por
la partícula en cualquiera de sus puntos.
CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA
Vector velocidad instantánea (𝒗)
Es igual al valor limite de la proporción Δx/ Δt
conforme Δt tiende a cero.
Puede ser positiva, negativa o cero.
∆𝑥
𝑣𝑥= lim
∆𝑡→0 ∆𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
De aquí en adelante, se usa la palabra velocidad
para designar velocidad instantánea.
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• Rapidez instantánea
Se define como la magnitud de la velocidad
instantánea.
Como con la rapidez promedio, la rapidez
instantánea no tiene dirección asociada con ella.
Ejemplo: Si una partícula tiene una velocidad
instantánea de -40 m/s a lo largo de una línea
dada, esta tiene una rapidez de 40 m/s.
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• Ejemplo:
• Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición
varia con el tiempo de acuerdo con la expresión
𝑥 = −4𝑡 + 2𝑡 2 , donde x esta en metros y 𝑡 en
segundos.
• A). Graficar
• B). Determinar el desplazamiento de la partícula en los
intervalos t=0 a t=1s y t=1 a t=3 s.
• C). Calcule la velocidad promedio durante estos dos
intervalos de tiempo.
• D). Encuentre la velocidad instantánea de la partícula
en t=2,5 s
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• La partícula bajo velocidad constante:
Este modelo se aplica a cualquier situación en la
que una entidad que se pueda representar
como partícula se mueva con velocidad
constante.
Si la velocidad de una partícula es constante, su
velocidad instantánea es la misma que la
promedio en ese intervalo.
𝑣𝑥 = 𝑣𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚
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• Representación matemática:
∆𝑥
𝑣𝑥 =
∆𝑡
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑣𝑥 =
∆𝑡
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥 ∆𝑡
Tomando el tiempo al principio del intervalo 𝑡𝑖 =0, con tiempo
final 𝑡𝑓 queda la ecuación
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥 𝑡 para 𝑣𝑥 constante
Ecuación cinemática de posición que permite describir
cualquier
movimiento con velocidad constante.
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• Una partícula bajo velocidad constante se
mueve con una rapidez constante a lo largo de
una línea recta.
• La partícula bajo rapidez constante:
Se aplica a trayectorias curvas, donde la rapidez
promedio se sustituye por rapidez constante 𝑣.
𝑑
𝑣 =
∆𝑡
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• Aceleración: Es una magnitud vectorial que
nos indica el cambio de la velocidad con
respecto al tiempo.
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• Aceleración promedio 𝒂𝒙,𝒑𝒓𝒐𝒎 : Cambio de la
velocidad ∆𝑣𝑥 , dividido por el intervalo de
tiempo ∆𝑡 durante el que ocurre el cambio.
𝑎𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆𝑣𝑥
∆𝑡
=
𝑣𝑥𝑓 −𝑣𝑥𝑖
𝑡𝑓 −𝑡𝑖
CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA
• Aceleración instantánea 𝒂𝒙 : Limite de la
aceleración promedio, conforme ∆𝑡 tiende a
cero.
∆𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥
𝑎𝑥= lim
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
.
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• La aceleración instantánea es igual a la
derivada de la velocidad respecto al tiempo.
𝑑𝑣𝑥
𝑑 𝑑𝑥
𝑑2 𝑥
𝑎𝑥 =
=
= 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
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• Cuando la velocidad y la aceleración del objeto están
en la misma dirección, el objeto aumenta su
velocidad, pero cuando la velocidad y la aceleración
están en direcciones opuestas, el objeto frena.
Aceleración negativa no necesariamente significa que
el objeto esta frenando, si la aceleración es negativa
y la velocidad también, el objeto esta aumentando
velocidad.
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• La partícula bajo aceleración constante:
En este caso la aceleración promedio 𝑎𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 en
cualquier
intervalo
de
tiempo
es
numéricamente igual a la aceleración
instantánea 𝑎𝑥 en cualquier instante dentro del
intervalo.
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Ecuaciones cinemáticas útiles para resolver
problemas
Las ecuaciones cinemáticas de movimiento de
una partícula bajo aceleración constante, se
determinan conociendo la definición de
aceleración promedio, aceleración constante y
desplazamiento.
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Ecuaciones cinemáticas útiles para resolver
problemas
Las ecuaciones cinemáticas de movimiento de
una partícula bajo aceleración constante, se
determinan conociendo la definición de
aceleración promedio, aceleración constante y
desplazamiento.
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• Llegamos a las siguientes ecuaciones:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡
(1)
𝑣𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 +
𝑣𝑖 +𝑣𝑓
(2)
2
1
2
(𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 )𝑡 (3)
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 +
1
2
𝑎𝑡 2 (4)
𝑣𝑓 2 =𝑣𝑖 2 + 2 𝑎(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 ) (5)