FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO – GUIA SISTEMAS NUMERICOS DOCENTE: IDALY MONTOYA A. 1. FAMILIA DE LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES REALES (ℜ) IRRACIONALES (Q`) RACIONALES (Q) ENTEROS (Z) - NEGATIVOS (Z ) {0} + POSITIVOS (Z ) NATURALES (ℵ) 2. LEY DE LOS SIGNOS Las operaciones entre NÚMEROS REALES (ℜ) , se basan en las combinaciones de los signos que se encuentran entre ellas, los cuales se definen mediante las siguientes leyes: 2.1. LEY DE LOS SIGNOS PARA LA ADICIÓN OPERACIÓN (+ ) + (+ ) = (+ ) (− ) + (− ) = (− ) (+ ) + (− ) = ( ) (− ) + (+ ) = ( ) LECTURA DE LA OPERACIÓN Un número positivo adicionado con otro número positivo da como resultado otro número positivo Un número negativo adicionado con otro número negativo da como resultado otro número negativo Un número positivo adicionado con un numero negativo da como resultado otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor Un número negativo adicionado con un numero positivo da como resultado otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor EJEMPLO (8 ) + (4 ) = (12 ) (− 8 ) + (− 4 ) = (− 12 ) (8 ) + (− 4 ) = (4 ) (4 ) + (− 8 ) = (− 4 ) (− 4 ) + (8 ) = (4 ) (− 8 ) + (4 ) = (− 4 ) 2.2. LEY DE LOS SIGNOS PARA LA SUSTRACCIÓN OPERACIÓN LECTURA DE LA OPERACIÓN (+ ) − (+ ) = ( ) Un número positivo restado con otro número positivo da como resultado otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor (− ) − (− ) = ( ) Un número negativo restado con otro número negativo da como resultado otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor (+ ) − (− ) = (+ ) Un número positivo restado con un numero negativo da como resultado otro número positivo (− ) − (+ ) = (− ) Un número negativo restado con un numero positivo da como resultado otro número negativo EJEMPLO (8 ) − (4 ) = (4 ) (4 ) − (8 ) = (− 4) (− 8) − (− 4) = −8 + 4 = −4 (− 4 ) − (− 8 ) = − 4 + 8 = 4 (8) − (− 4 ) = 8 + 4 = 12 (4 ) − (− 8 ) = 4 + 8 = 12 (− 8 ) − (4 ) = − 8 − 4 = −12 (− 4 ) − (8 ) = − 4 − 8 = − 12 2.3. LEY DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN OPERACIÓN (+ )× (+ ) = (+ ) LECTURA DE LA OPERACIÓN Un número positivo multiplicado con otro número positivo da como resultado otro número positivo EJEMPLO (8 ) × (4 ) = (32 ) FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO – GUIA SISTEMAS NUMERICOS DOCENTE: IDALY MONTOYA A. (− )× (− ) = (+ ) Un número negativo multiplicado con otro número negativo da como resultado otro número positivo (+ )× (− ) = (− ) Un número positivo multiplicado con un numero negativo da como resultado otro número negativo (− ) × (+ ) = (− ) Un número negativo multiplicado con un numero positivo da como resultado otro número negativo (− 8)× (− 4) = (32) (8)× (− 4) = −32 (4)× (− 8) = −32 (− 8)× (4) = −32 (− 4)× (8) = −32 2.4. LEY DE LOS SIGNOS PARA LA DIVISIÓN OPERACIÓN (+ ) ÷ (+ ) = (+ ) LECTURA DE LA OPERACIÓN Un número positivo dividido con otro número positivo da como resultado otro número positivo (−) ÷ (−) = (+ ) Un número negativo dividido con otro número negativo da como resultado otro número positivo (+ ) ÷ (− ) = (− ) Un número positivo dividido con un numero negativo da como resultado otro número negativo (− ) ÷ (+ ) = (− ) Un número negativo dividido con un numero positivo da como resultado otro número negativo EJEMPLO (8 ) ÷ (4 ) = (2 ) (− 8) ÷ (− 4) = (2) (8) ÷ (− 4) = −2 (4) ÷ (− 8) = −0,5 (− 8) ÷ (4) = −2 (− 4) ÷ (8) = −0,5 3. OPERACIONES CON NUMEROS: Reglas importantes para resolver en operaciones Binarias: 1. Primero resolver lo que esté dentro de símbolos de agrupación. 2. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. 3. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha 4. SIGNOS DE AGRUPACIÓN Dentro de los signos de agrupación tenemos: ( ) Paréntesis [ ] Corchetes { } Llaves 4.1. USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION Se usan para agrupar operaciones, facilitan el orden al operar, ejemplo: Algunas veces se hace necesario realizar operaciones de suma y resta con más de dos números enteros, por ejemplo: La diferencia entre un signo de agrupación y otro es sólo que se usan en este orden: el más interno: paréntesis, luego viene el corchete, y el más externo es la llave. FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO – GUIA SISTEMAS NUMERICOS DOCENTE: IDALY MONTOYA A. Un signo negativo (-) delante de un paréntesis o de un corchete, o de una llave, indica que se tomará el opuesto de todo lo que hay dentro del signo de agrupación. Deberán, entonces, realizarse las operaciones que están dentro de cada signo de agrupación y luego cambiarse el signo en este caso. Si el paréntesis, el corchete o la llave están precedidos por un signo positivo (+), no se cambia el signo de lo que está dentro de los signos de agrupación. Para realizar la operación anterior, se comienza por operar con lo que hay dentro de los signos de agrupación más internos: los paréntesis. Así la expresión Se transforma en Ahora se calcula lo que hay dentro de los corchetes: y se escribe Resolviendo las operaciones dentro de las llaves, se obtiene y así la expresión original es igual a 5. NUMEROS FRACCIONARIOS Los Números Fraccionarios, son el cociente indicado a/b de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Donde b ≠ 0. Un fraccionario puede ser negativo o positivo. El numerador indica el número de partes que se toman de la unidad y el denominador en cuantas partes iguales se divide esa unidad. FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO – GUIA SISTEMAS NUMERICOS DOCENTE: IDALY MONTOYA A. 5.1. CLASIFICACION DE LOS NUMEROS FRACIONARIOS CLASIFICACIÓN DEFINICIÓN SÍMBOLOS FRACCIONARIOS HOMOGÉNEOS Son aquellas fracciones que tienen el mismo denominador. FRACCIONARIOS HETEROGÉNEOS Son aquellas fracciones que tienen diferente denominador FRACCIONARIOS PROPIOS Son aquellas fracciones que tienen el numerador menor que el denominador FRACCIONARIOS IMPROPIOS Son aquellas fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador. FRACCIONARIOS MIXTOS Son aquellas fracciones que tienen una parte entera y una parte fraccionaria propia. a c d , , b b b a c d , , ; e f g a donde a<e e a donde a>e e a c donde a<e e EJEMPLOS 1 4 7 , , 3 3 3 1 4 7 , , 3 5 6 1 4 5 , , 3 5 6 19 14 17 , , 3 5 6 1 2 7 5 ,−4 ,8 2 3 10 5.2. OPERACIONES ENTRE NUMEROS FRACCIONARIOS Los números fraccionarios se operan de la siguiente manera: OPERACIÓN ADICIÓN SUSTRACCIÓN MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN DESCRIPCIÓN Existen dos maneras: obteniendo el mínimo común múltiplo entre los denominadores y la otra forma es realizando una serie de productos entre los términos de las fracciones. SÍMBOLOS a c ad + bc + = b d bd Para resolver la sustracción entre fraccionarios se utiliza el mismo proceso empleado en la adición de fracciones, con la variación en la operación. Es decir: a c ad − bc − = b d bd Para resolver la multiplicación entre fraccionarios, se realiza el producto entre numeradores sobre el producto de los denominadores. Se debe tener en cuenta las leyes de los signos. a c a c = * b d b d ac = bd La solución depende de la presentación en la cual se ubiquen los números. EJEMPLOS 2 5 (2 * 7 ) + (5 * 3) + = = [(3 * 7 )] 3 7 14 + 15 29 = 21 21 1/2 +2/3+5/6 =3/6+4/6+5/6 = 12/6 = 2 6 7 (6 * 5) − (7 * 8) − = = (8 * 5) 8 5 30 − 56 26 13 =− =− 40 40 20 6 7 6 * −7 42 21 *− = =− =− 8 5 8*5 40 20 Horizontal Horizontal a c a d ÷ = * = b d b c ad bc 4 7 4 5 20 ÷ = * = 3 5 3 7 21 Vertical a b = a ∗ d = ad c b ∗ c bc d Vertical 4 3 = 4 ∗ 5 = 20 7 3 ∗ 7 21 5