Soluciones Integrales impropias -Lehitold-Cap 7.9

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BARINAS
Contenido: Integrales impropias –Primera especie-Unidad III -Matemática II –
Sección F –Semestre 2 - Lcdo. Eliezer Montoya
(7.9-Ejercicios del texto Louis Leithold – El cálculo)
En los ejercicios 1 a 18, determine si la integral impropia es convergente o divergente, y si
es convergente evalúela. Apoye gráficamente la respuesta.
+∞
1. ∫ e− x / 3 dx
0
1
2. ∫ e dx
3 xdx
( 3x
2
+ 2)
3
+∞
−∞
0
3. ∫ x.5− x dx
2
3dx
x2 + 9)
3 (
11. ∫
+∞
−∞
+∞
4. ∫ 2 − x dx
12. ∫
e
dx
x.ln x
+∞
1
13. ∫ e dx
−x
+∞
5. ∫ x.2 dx
−x
−∞
+∞
0
14. ∫ x.e − x dx
2
+∞
dx
x −1
6. ∫
5
+∞
7. ∫ x.cosh xdx
−∞
+∞
15. ∫
e
dx
x.(ln x)2
+∞
−∞
0
8. ∫ x .e dx
2
x
−∞
dx
16 + x 2
−∞
16. ∫
+∞
+∞
5
10. ∫
−∞
x
9. ∫
+∞
x.dx
3
9 − x2
17. ∫ ln xdx
1
+∞
18. ∫ e − x cos xdx
0
*Ver soluciones de los números impares en el libro de Leithold
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
1
1
2. ∫ e dx ⇒
x
−∞
 x 1
x
e − ea  = e − e −∞ = e
e
dx
=
lim
e  = alim
∫−∞
a →−∞
→−∞
 a
1
La grafica de la izquierda muestra
1
como la función
∫ e dx cuando x
x
−∞
tiende a menos infinito converge a
e ≈ 2.718
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
2
0
3. ∫ x.5− x dx
2
−∞
Integrando por sustitución o cambio de variables la variable muda
Sea:


u = − x 2

2
2


1 u
1 5u
1 5− x
−x
∫ x.5 dx =  du = −2 xdx  ⇒ − 2 ∫ 5 du = − 2 ln 5 + C = − 2 ln 5 + C
 du

 = xdx 
 −2

Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
3
0
3. ∫ x.5− x dx =
2
−∞
Solución: Eliezer Montoya
0
2
 1 50 1 5 − a 

x.5
+
−
=
∫ x.5 dx = alim
 = alim
→−∞ ∫a
→−∞
2
ln
5
2
ln
5


−∞

a 
2
1 ∞
1 5− a
5−∞
−1
−1
−1
−1
0
= lim
+ lim
=
+
=
+ 5 =
+
a →−∞ 2 ln 5
a →−∞ 2 ln 5
2 ln 5 2 ln 5 2 ln 5 2 ln 5 2 ln 5 2 ln 5
1
−1
=
+0= −
≈ −0.3106
2 ln 5
2 ln 5
0
0
− x2
− x2

− x2
 15
dx = lim  −
a →−∞
2 ln 5

+∞
4. ∫ 2− x dx =
1
Solución: Eliezer Montoya
+∞
∫2
1
−x
dx =⇒ lim
∫
b
a →+∞ 1
 − x b
 2− b 2−1 
2−∞
1
1
 2

2 dx = lim  −
lim
=
−
+
=
−
+
=
≈ 0.7213


a →+∞
ln 2  a →+∞  ln 2 ln 2 
ln 2 2 ln 2 2 ln 2

1 
−x
2− x + 1
2 − x 2 −1
2 tenemos:
Graficando y = −
+
=−
ln 2 ln 2
ln 2
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
4
+∞
La figura adjunta confirma geométricamente el hecho de que cuando
∫2
−x
dx x tiende a
1
más infinito la curva converge a
1
≈ 0.7213
2 ln 2
+∞
5. ∫ x.2− x dx
0
Integrando la variable muda a través de la técnica de integración por partes:
Solución: Eliezer Montoya
dx = uv − ∫ vdu
∫ x.2
−x
u
dv
u = x ⇒ du = dx

−x
 ∫ dv = ∫ 2 dx

2t

dv = 2− x dx ⇒ v = − ∫ 2t dt = −
+C
ln
2


2− x
v
=
−
+C


ln 2
−x
⇒ ∫
x.2
dx = − x
u
dv
− x.2− x
2− x
1
2− x
1  2− x 
2− x
−x
dx
x
+
2
=
−
+
−
+
C
=
−
+C


2
ln 2 ln 2 ∫
ln 2 ln 2  ln 2 
ln 2
( ln 2 )
Luego:
+∞
∫
0

a
−x
−x
−
x
.2
2


x.2 − x dx = lim ∫ x.2− x dx = lim 
−
2
a →+∞
a →+∞
ln 2
( ln 2 ) 0 
0


a
 − a.2− a
2− a
⇒ lim 
−
2
a →+∞  ln 2

( ln 2 )
 −∞.0
0
⇒
−
2

 ln 2 ( ln 2 )
  −0.20
20
−
−
  ln 2 ( ln 2 )2
 
 − a.2− a

2− a
  = lim 
−
2
  a →+∞  ln 2
( ln 2 )




1 
  − lim 0 −
2 
  a→+∞ 
ln
2
(
)




1
1
+
=
≈ 2.0813
2
2
 ( ln 2 )
l
n
2
(
)

Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
5
+∞
7. ∫ x.cosh xdx
−∞
Solución- Eliezer Montoya
Calculemos primero la integral de la variable muda (la integral indefinida) usemos
integración por partes
∫ x.cosh xdx = uv − ∫ vdu
u = x ⇒ du = dx
dv = cosh xdx ⇒ v = sinh x + C
∫ x.cosh xdx = x sinh x − ∫ sinh xdx = x sinh x − cosh x + C
Por definición sabemos que:
e x − e− x
e− x + e x
y cosh x =
2
2
Usemos dicha definición en la antiderivada encontrada.
 e x − e − x   e− x + e x 
∫ x cosh xdx = x sinh x − cosh x + C = x  2  −  2  + C
xe x xe − x e − x e x
ex
e− x
⇒
−
−
− + C = ( x − 1) −
( x + 1) + C
2
2
2
2
2
2
sinh x =
0
+∞
∫
x.cosh xdx =
−∞
∫
+∞
x.cosh xdx +
∫ x.cosh xdx =
0
−∞
0
b
lim ∫ x.cosh xdx + lim ∫ x.cosh xdx =
a →−∞
a
b →∞
0
El primer sumando
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
6
 x
0
e− x
e
lim x.cosh xdx = lim  ( x − 1) −
( x + 1)  =
a →−∞ ∫
a →−∞
2
2
a

a 
 ea

1
e− a
1

⇒ lim  ( 0 − 1) − ( 0 + 1)  − lim  ( a − 1) −
( a + 1)
a →−∞ 2
a
→−∞
2
2


2

0
⇒−
1 1
− − 0 + ∞ = −1 + ∞ = +∞
2 2
Por lo tanto diverge a +∞ como vemos en la grafica adjunta
0
8. ∫ x 2 .e x dx
−∞
Solución: Eliezer Montoya
Apliquemos integración por partes – recuerde la regla nemotécnica ILATE
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
7
∫ x .e dx = uv − ∫ vdu
2
x
u = x 2 ⇒ du = 2 xdx
dv = e x dx ⇒ v = e x + C
∫ x .e dx = x .e
2
x
2
x
− 2 ∫ xe x dx (1)
nuevamente integrando por partes el segundo termino de (1)
u = x ⇒ du = dx
dv = e x dx ⇒ v = e x + C
−2 ∫ xe x dx = −2  xe x − ∫ e x dx  = −2 xe x + 2e x + C (2)


sustituimos la ecuación (2) en la ecuación (1) ,sacando factor común e x
∫ x .e dx = x .e
2
x
2
x
− 2xe x + 2e x + C = e x ( x 2 − 2 x + 2 ) + C

0
0 2 x 
 x 2

e ( x − 2x + 2) 
 x .e dx  = alim
∫−∞ x .e dx = alim
→−∞ ∫
→−∞ 
a


a 

0
2
x
(
)
lim 1.(2) − ea ( a 2 − 2a + 2 ) = lim (2) − lim ea ( a 2 − 2a + 2 ) = 2 − (0)(+∞ + 2) = 2 + 0 = 2
a →−∞
a →−∞
a →−∞
Como se observa en la grafica adjunta
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
8
+∞
9. ∫
5
x.dx
3
9 − x2
Resolvamos la integral muda por medio de sustitución o cambio de variables
Solución: Eliezer Montoya
∫
∫


u = 9 − x 2 


−3u 2 / 3
x.dx
1 du
1 −1/ 3
1  u2/3 
=  du = −2 xdx  ⇒ − ∫ 3 = − ∫ u du = − 
+C
+C =
3
2
2
2 2/3
4
u
9 − x2 

du
= xdx 
−
 2

2 2/3
x.dx
3(9 − x )
3
=−
+ C = − 3 (9 − x 2 )2 + C
3
2
4
4
9− x
+∞
∫
5
 b x.dx 
= lim  ∫
=
5 3
b →+∞
9− x
9 − x2 

x.dx
3
2

b
 33

 3

 3

2 2
= lim  −
(9 − x )  = lim  − 3 (9 − b 2 ) 2  − lim  − 3 (9 − (5) 2 ) 2 
b →+∞
b→+∞
 4
 b→+∞  4

 4

5


2
3
 3
 3
=  − 3 (9 − (+∞) 2 ) 2  + 3 (−16)2 = −∞ + 3 ( (−2)4 ) = −∞ − 3 3 4 = −∞
4
 4
 4
+∞
Por lo tanto la integral impropia
∫
5
+∞
10. ∫
−∞
x.dx
3
9 − x2
es divergente
3 xdx
( 3x
2
+ 2)
3
Solución: Eliezer Montoya
Usemos la integración por sustitución o cambio de variables para la integral indefinida


u = 3 x 2 + 2 


3 xdx
1 du 1 −3
1  u −2 
1 −2
∫ 3x 2 + 2 3 =  du = 6 xdx  ⇒ 2 ∫ u 3 = 2 ∫ u du = 2  −2  + C = − 4 u + C
(
)  du

 = 3 xdx 
2

3 xdx
1
∴∫
=−
+C
3
2
2
2
3
x
+
2
4
3
x
+
2
(
)
(
)
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
9
La integral impropia en todo R quedaría descompuestas en:
 0

 b

+∞
0
+∞
3 xdx
3 xdx
3 xdx
3 xdx 
3 xdx 


=
+
=
lim
+
lim
∫ 2 3 −∞∫ 3x 2 + 2 3 ∫0 3x 2 + 2 3 a→−∞  ∫a 3x 2 + 2 3  b→+∞  ∫0 3x 2 + 2 3  =
−∞ ( 3 x + 2 )
(
) (
)
)
)
 (
 (
El primer termino quedaria asi:

0
 0



3 xdx 
1
1


 1


 = −1 + 0 = −1
lim ∫
=
lim
−
=
lim
lim
−
+
3
a →−∞  a
2
 a →−∞  4 ( 3 x 2 + 2 ) 2  a →−∞  16  a →−∞  4 ( 3a 2 + 2 )2  16
16
3
2
x
+
(
)


a






El segundo termino quedaria así:

b
 b

3 xdx 
1

 1

lim ∫
= lim  −
3
2
 = 16
b →+∞  0
b →+∞
2
2

+
3
2
x
x
+
4
3
2
)
) 0 
 (
 (

En conclusión
 b

 0

3 xdx 
3 xdx  −1 1

lim  ∫
l
im
+
=
+ =0
3
3
a →−∞  a
b →+∞  ∫0
2
2


16
16
+
+
3
x
2
3
x
2
)
)
 (
 (
+∞
Por tanto ∫
−∞
3 xdx
( 3x 2 + 2 )
3
=0, es convergente
Como verás en la grafica adjunta
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
10
+∞
3dx
=
2
x
+
9
(
)
3
11. ∫
Integrando por definición o integración directa –ver tablas

b 
b
 b
b
1

3dx
dx 
dx 
x
 
∫ ( x 2 + 9 ) =  3 ∫ ( x 2 + 9 )  = 3.  ∫ ( x 2 + 32 )  = 3.  3 arctan  3  
3


 3

 3

3


b 
 3
1

x
b
b π
⇒ 3 .  arctan  
 + C = arctan   − + C
 = arctan   − arctan 
3
3
3 6
 3 
3

3


3dx


π 
b π 
 b 
= lim  arctan   −  = lim  arctan    − lim   =
2
b →+∞
 3  6  b→+∞ 
 3   b→+∞  6 

3 ( x + 9)
+∞
11. ∫
2π π
 π  π π 3π − π
= ( arctan ( ∞ ) ) −   = − =
=
= rad ≡ 60º sexagesimales
6
3
6
6 2 6
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
11
+∞
12.
dx
∫ x.ln x
e
Integrando la variable muda, es decir, la integral indefinida por la técnica de cambio
de variable o sustitución tenemos
∫
u = ln x 
dx
 ⇒ du = ln u + C = ln ln x + C
=
dx
∫u
x.ln x  du = 
x

+∞
∫
e

b
 b dx 
dx


= lim  ∫
ln ln x  = lim ( ln ln b ) − lim ( ln ln e ) =
 = blim

b
→+∞
→+∞
b →+∞
b→+∞
x.ln x
 e x.ln x 


e


(
)
= ln ln ( +∞ ) − ( ln 1 ) = +∞ − 0 = +∞
Podemos ver la tendencia de la gráfica en la medida que aumenta x, el valor y =ln(lnx) se
pierde al infinito
 x si x ≥ 0
dx Recordemos que la función valor absoluto f ( x) = x 
− x si x < 0
−∞
Al dividir los limites de integración en dos:
 0

b
+∞
0
+∞




−x
. ∫ e dx = ∫ e x dx + ∫ e − x dx = lim  e x  + lim  −e − x  = (1 − e( −∞ ) ) + ( −e− ( +∞ ) + 1) = 2
a →−∞
b→+∞
−∞
−∞
0
 a

0 



+∞
13.
∫e
−x
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
12
+∞
14.
∫ x.e
− x2
dx
−∞
Integrando la variable muda a través de integración por sustitución o cambio de variables
tenemos:


u = − x 2



1 u
1 u
1 − x2
− x2
∫ x.e dx =  du = −2 xdx  ⇒ − 2 ∫ e du = − 2 e + C = − 2 e + C
 du

= xdx 
−
 2

0
+∞
∫ x.e
− x2
dx =
−∞
∫ x.e
+∞
− x2
dx +
−∞
∫ x.e
0
− x2
 0 − x2 
 +∞ − x2 
dx = lim  ∫ x.e dx  + lim  ∫ x.e dx  =
a →−∞
b →−∞
a

0



0
b
 1 1 2
 1 2 1
 1 − x2 
 1 − x2 
= lim  − e
+ lim  − e
= lim  − + e − a  + lim  − e − b +  =


a →−∞
b →+∞
a →−∞
2
 2 2
 b→+∞  2
 2
 2
0 
a 


2
2
1
1
= e − ( −∞ ) − e− ( +∞ ) = 0
2
2
+∞
15.
dx
∫ x.(ln x)
2
e
Integrando por sustitución o cambio de variables
u = ln x 
dx
du
u −1
1
−2


∫ x.(ln x)2 = du = dx  ⇒ ∫ u 2 = ∫ u du = −1 + C = − ln x + C
x

Evaluando la integral impropia

b
+∞
 b dx 
dx
1 
−1
 −1 
 −1
= lim 
= lim 
+
=
+1 = 0 +1 = 1



2
∫e x.(ln x)2 = blim
∫

e
→+∞
 x.(ln x)  b→+∞  ln x  b→+∞  ln b ln e  ln(+∞)
e

Podemos ver que ocurre en la gráfica adjunta cuando nos movemos hacia mas infinito
−1
desde e, el valor de y =
+ 1 , converge 1
ln x
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
13
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
14
+∞
dx
∫ 16 + x
16.
2
−∞
El problema siguiente es muy semejante al problema 11 aquí planteado
0
+∞
dx
dx
∫−∞ (16 + x 2 ) = −∞∫ (16 + x 2 ) +
+∞
dx
∫ (16 + x ) =
2
0

0

b
1
1
x 
 x 
= lim  arctan    + lim  arctan    =
a →−∞ 4
 4   b →+∞  4
4 

a
0


1
1

1
 b 
b 1
= lim  arctan ( 0 ) − arctan    + lim  arctan   − arctan ( 0 )  =
a →−∞ 4
b
→+∞
4
 4 
4 4

4

1 −π

= 0−
4 2

 1π
 π π 2π π
− 0 = + =
= rad ≡ 45º Sexagesimales
+
4
8
 4 2
 8 8
+∞
dx
π
=
2
4
−∞ (16 + x )
∴∫
+∞
17.
∫ ln xdx
1
Resolvemos la integral de la variable muda. Usando la técnica de integración por partes
u= lnx y dv=dx.
∫ ln xdx = uv − ∫ vdu
u = ln x ⇒ du =
dx
x
dv = dx ⇒ ∫ dv = ∫ dx ∴ v = x
∫ ln xdx = x.ln x − ∫ x
dx
= x.ln x − ∫ dx = x.ln x − x + C
x
Lcdo. Eliezer Montoya
Integrales Impropias
15
+∞
∫
1

b
b



ln xdx = lim  ∫ ln xdx  = lim  x ln x − x  = lim [b ln b − b ] − lim [ ln1 − 1] =
b →+∞
b →+∞
b → +∞
b →+∞
1


1 
= lim [b ln b − b ] − lim [ 0 − 1] = [ ∞ − ∞ ] + 1
b →+∞
b → +∞
Tenemos una indeterminación, apliquemos la conjugada,(matemática I) para pasarlo
∞
, luego dividimos por el mayor exponente b 2
∞
 b 2 ln b − b 2 


2
2
2
[b ln b + b ] = lim b ln b − b  = lim
b
= lim [b ln b − b ]
=
b →+∞
[b ln b + b ] b→+∞ [b ln b + b ] b→+∞  b ln b + b 
b2
∞
Nos sigue quedando una forma , apliquemos L´Hopital, esdecir, calculemos
∞
la derivada del numerador y del denominador
a una forma indeterminada
( ln b − 1)´
ln b − 1
= lim
b →+∞ ln b
1 b →+∞  ln b 1 ´
+
+ 

b
b
 b b
= lim
1

 − 0
b


1
 
b
= lim
= lim
b →+∞  1
 b →+∞  1 ln b 1 
 b . b − 1.ln b 1 
 2 − 2 − 2 
b
b 
b

−

2
2
b
b






1
 
b2
b
b
= lim   = lim
= lim
→ nuevamente L´hopital
b →+∞  ln b 
b →+∞ b ln b
b →+∞ ln b
 2 
 b 
( b )´ = lim 1 = lim b = +∞
= lim
b →+∞ ( ln b )´
b →+∞ 1
b →+∞
b
De esta manera:
lim [b ln b − b ] − lim [ 0 − 1] = ∞ + 1 = ∞
b →+∞
b →+∞
+∞
En conclusión, la integral impropia
∫ ln xdx ;es divergente.
1
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Integrales Impropias
16
18.- ∫ e − x cos xdx
Nuevamente repasemos el calculo integral indefinida
∫e
−x
cos xdx
Usando la técnica de integración por partes, ya que existe el producto de funciones, una
exponencial y otra trigonométrica, y la regla nemotécnica para considerar quien es u ( I-LA-T-E)
∫e
cos xdx = u.v − ∫ vdu
−x
u = cos x ⇒ du = − senxdx
dv = e− x dx ⇒ v = −e − x + c
∫e
cos xdx = −e − x cos x − ∫ e− x sin xdx (1)
−x
nuevamente integramos por partes ∫ e − x sin xdx
u = sin x ⇒ du = cos xdx
dv = e − x dx ⇒ v = −e − x + c
∫e
−x
sin xdx = −e − x sin x + ∫ e − x cos xdx + C (2)
Sustituimos (2) en (1), y transponemos pasando al primer miembro
términos semejantes:
∫ e cos xdx = −e cos x − ( −e sin x + ∫ e cos xdx ) + C
∫ e cos xdx = −e cos x + e sin x − ∫ e cos xdx + C
∫ e cos xdx + ∫ e cos xdx = −e cos x + e sin x + C
2 ∫ e cos xdx = e (sin x − cos x) + C
(sacamos factor común e
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
)
e− x (sin x − cos x) + C e− x (sin x − cos x)
=
+ C (dividiendo por 2)
2
2
e − x (sin x − cos x)
∴ ∫ e − x cos xdx =
+C
2
−x
∫ e cos xdx =
Ahora podemos evaluar la integral impropia,
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17
+∞
∫
0
 −x
 t −x

 e ( sin x − cos x )
e cos xdx = lim  ∫ e cos xdx  = lim 
t →+∞
t →+∞
2
0



−x
t


0 
 e − t ( sin t − cos t ) 
 e−0 ( sin 0 − cos 0 ) 
= lim 
− lim 


t →+∞
t →+∞
2
2




 e −∞ ( sin(∞) − cos(∞) )   1(0 − 1) 
1 1
=
−
=0+ =
2
2 2

  2 
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18