Función Cuadrática -gráficas

1
La Función Cuadrática
Función Cuadrática
La función cuadrática es una función real de variable real f : » → » , es decir,
f : x → y Definida así: f ( x) = ax 2 + bx + c donde a ≠ 0, b ∧ c ∈ R .(Por un Polinomio
de 2º grado). Su gráfica es una parábola; que abre hacia arriba si a > 0 ó abre hacia
 −b 4.a.c − b 2 
abajo si a < 0 , su vértice es la coordenada ( h, k ) = 
,

4a
 2.a

Representar gráficamente las funciones cuadráticas siguientes:
1. f ( x) = 3 x 2
Es una función cuadrática, formada por un polinomio incompleto, donde:
[ a = 3, b = 0, c = 0] , su grafica es una parábola que abre hacia arriba ya que a > 0.
El Dominio de la función es todos los números reales. Dom f ( x) = ( −∞, +∞ ) = »
El rango de la función esta formado por los números reales positivo incluyendo el
cero. Rgo f ( x) = [ 0, +∞ ) = » +
Las coordenada del vértice son (0,0), en es te caso el corte con el eje x e y también lo
es dicho punto.
Tabla de valores para f ( x) = 3 x 2
y = f(x)
x
2
−∞
f ( −∞) = 3. ( −∞ ) = 3. ( +∞ ) = +∞
-3
f ( −3) = 3. ( −3) = 3. ( 9 ) = 27
-2
f ( −2) = 3. ( −2 ) = 3. ( 4 ) = 12
-1
f ( −1) = 3. ( −1) = 3. (1) = 3
0
f (0) = 3. ( 0 ) = 3. ( 0 ) = 0
1
f (1) = 3. (1) = 3. (1) = 3
2
f (2) = 3. ( 2 ) = 3. ( 4 ) = 12
3
f (3) = 3. ( 3) = 3. ( 9 ) = 27
+∞
f ( +∞) = 3. ( +∞ ) = 3. ( +∞ ) = +∞
2
2
2
2
2
2
2
2
Par ordenado
( x , y)
−∞
( , +∞ )
( −3, 27 )
( −2,12 )
( −1,3)
( 0, 0 )
(1, 3)
( 2,12 )
( 3, 27 )
( +∞, +∞ )
Veamos la gráfica de la función f ( x) = 3 x 2
Elaborado por Licdo. Eliezer Montoya
http://elimath.jimdo.com/
2
La Función Cuadrática
1
3
Es una función cuadrática, formada por un polinomio incompleto, donde:
[ a = −1/ 3, b = 0, c = 0] , su grafica es una parábola que abre hacia abajo ya que
a <0
El Dominio de la función es todos los números reales. Dom f ( x) = ( −∞, +∞ ) = »
El rango de la función esta formado por los números reales negativos incluyendo el
cero. Rgo f ( x) = ( −∞, 0] = » −
Las coordenada del vértice (h,k) =(0,0), en este caso el corte con el eje x e y también
lo es dicho punto.
1
Tabla de valores para f ( x) = − x 2
3
2. f ( x) = − x 2
y =f(x)
x
−∞
-3
-2
-1
2
f ( −∞ ) = − 1 . ( −∞ ) = − 1 . ( +∞ ) = −∞
3
3
1
1
2
f (−3) = − . ( −3) = − ( 9 ) = −3
3
3
1
1
4
2
f (−2) = − . ( −2 ) = − . ( 4 ) = −
3
3
3
1
1
1
2
f ( −1) = − . ( −1) = − . (1) = −
3
3
3
0
f (0) = 3. ( 0 ) = 3. ( 0 ) = 0
1
1
1
1
2
f ( +1) = − . (1) = − . (1) = −
3
3
3
1
1
4
2
f ( +2) = − . ( 2 ) = − . ( 4 ) = −
3
3
3
2
2
Elaborado por Licdo. Eliezer Montoya
Par ordenado
( x , y)
( −∞, −∞ )
( −3, −3)
( −2, −4 / 3)
( −1, −1/ 3)
( 0, 0 )
(1, −1/ 3)
( 2, −4 / 3)
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3
La Función Cuadrática
3
+∞
1
1
2
f ( +3) = − . ( +3) = − ( 9 ) = −3
3
3
2
f ( +∞ ) = − 1 . ( +∞ ) = − 1 . ( +∞ ) = −∞
3
3
( 3, −3)
( +∞, −∞ )
1
Veamos la gráfica de la función f ( x) = − x 2
3
Con otra vista
Elaborado por Licdo. Eliezer Montoya
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La Función Cuadrática
3. f ( x) = − x 2 + 4 x = − x ( x − 4 )
Es una función cuadrática, formada por un polinomio incompleto, donde:
[ a = −1, b = 4, c = 0] , su grafica es una parábola que abre hacia abajo ya que
a <0
El Dominio de la función es todos los números reales. Dom f ( x) = ( −∞, +∞ ) = »
El rango de la función esta formado por el intervalo semi-abierto que desde k valor
máximo hasta menos infinito Rgo f ( x) = ( −∞, k ] = ( −∞, 4]
Las coordenada del vértice son ,
 −b 4.a.c − b 2   −(4) 4.(1)(0) − (4)2 
,
,
=
 = ( 2, 4 )
4a
4(−1)
 2.a
  2.(−1)

Cortes con los ejes:
A) El corte con el eje Y
Se hace x = 0 y se obtiene el valor numérico de y = 0 = C, por tanto el corte con el eje
y esta representado por el punto (0,0)
B) El corte con el eje X
Se hace y =0 y se obtiene una ecuación de 2º grado, que factorizando sacando factor
común, tenemos:
y = f ( x)
( h, k ) = 
 x1 = 0
0 = −x2 + 4x = − x ( x − 4) ⇒ 
 x2 = 4
.Los puntos de cortes con el eje x son dos (0,0) y (4,0)
Tabla de valores para f ( x) = − x 2 + 4 x = − x ( x − 4 )
y = f(x)
x
−∞
-1
f ( −1) = − ( −1) + 4 ( −1) = −1 − 4 = −5
0
f (0) = − ( 0 ) + 4 ( 0 ) = 0
1
f (1) = − (1) + 4 (1) = −1 + 4 = 3
2
f (2) = − ( 2 ) + 4 ( 2 ) = −4 + 8 = 4
3
f (3) = − ( 3) + 4 ( 3) = −9 + 12 = 3
4
f (4) = − ( 4 ) + 4 ( 4 ) = −16 + 16 = 0
5
f (5) = − ( 5 ) + 4 ( 5 ) = −25 + 20 = −5
2
2
2
Par ordenado
( x , y)
( −∞, −∞ )
(-1,-5)
(0,0) Corte con x,
y
(1,3)
2
(2,4) Vértice
2
(3,3)
2
(4,0) Corte con x
2
(5,-5)
+∞
( +∞, −∞ )
Gráfica de la función f ( x) = − x 2 + 4 x = − x ( x − 4 )
Elaborado por Licdo. Eliezer Montoya
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5
La Función Cuadrática
4. f ( x) = x 2 − 3x = x ( x − 3)
Es una función cuadrática, formada por un polinomio incompleto, donde:
[ a = 1, b = −3, c = 0] , su grafica es una parábola que abre hacia arriba ya que
a >0
El Dominio de la función es todos los números reales. Dom f ( x) = ( −∞, +∞ ) = »
El rango de la función esta formado por el intervalo semi-abierto que desde k valor
 9

mínimo hasta mas infinito Rgo f ( x) = [ k , +∞ ) =  − , +∞ 
 4

Las coordenada del vértice vienen dadas por :
 −b 4.a.c − b 2   −( −3) 4.(1)(0) − ( −3) 2   3 9 
h
k
,
=
,
( )  ,
=
 =  ,− 
4a
4(1)
 2.a
  2.(1)
 2 4
Cortes con los ejes:
A) El corte con el eje Y
Se hace x = 0 y se obtiene el valor numérico de y = 0 = C, por tanto el corte con el eje
y esta representado por el punto (0,0)
B) El corte con el eje X
Se hace y =0 y se obtiene una ecuación de 2º grado, que factorizando sacando factor
común, tenemos:
y = f ( x)
 x1 = 0
0 = x 2 − 3 x = x ( x − 3) ⇒ 
 x2 = 3
.Los puntos de cortes con el eje x son dos (0,0) y (3,0)
Elaborado por Licdo. Eliezer Montoya
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6
La Función Cuadrática
Tabla de valores para f ( x) = x 2 − 3 x = x ( x − 3)
y = f(x)
x
Par ordenado
( x , y)
( −∞, +∞ )
−∞
-1
f ( −1) = ( −1) − 3. ( −1) = 1 + 3 = 4
(-1,4)
0
f (0) = ( 0 ) − 3 ( 0 ) = 0
1
f (1) = (1) − 3 (1) = 1 − 3 = −2
1.5=3/2
3
 3  9 9 9 − 18 −9
f (3 / 2) =   − 3   = − =
=
≈ −2.25
4
4
2
2 4 2
2
f (2) = ( 2 ) − 3 ( 2 ) = 4 − 6 = −2
3
f (3) = ( 3) − 3 ( 3) = 9 − 9 = 0
4
f (4) = ( 4 ) − 3 ( 4 ) = 16 − 12 = 4
2
(0,0)
2
(1,-2)
2
2
2
3 9
 , −  Vértice
2 4
(2,-2)
2
(3,0)
2
(4,4)
+∞
( +∞, +∞ )
La gráfica de f ( x) = x 2 − 3 x = x ( x − 3)
5. y = x 2 − 6 x − 7
Es una función cuadrática, formada por un polinomio completo y decreciente, donde:
[ a = 1, b = −6, c = −7 ] , su grafica es una parábola que abre hacia arriba ya que a >0
El Dominio de la función es todos los números reales. Dom f ( x) = ( −∞, +∞ ) = »
Elaborado por Licdo. Eliezer Montoya
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7
La Función Cuadrática
El rango de la función esta formado por el intervalo semi-abierto que desde k valor
mínimo hasta mas infinito Rgo f ( x) = [ k , +∞ ) = [ −16, +∞ )
Las coordenada del vértice vienen dadas por :
 −b 4.a.c − b 2   −(−6) 4.(1)(−7) − (−6) 2   6 −28 − 36 
,
,
=
= ,
 = ( 3, −16 )
4a
4(1)
4

 2.a
  2.(1)
 2
( h, k ) = 
Cortes con los ejes:
A) El corte con el eje Y
Se hace x = 0 y se obtiene el valor numérico de y = -7 = C, por tanto el corte
con el eje y esta representado por el punto (0,-7)
B) El corte con el eje X
Se hace y =0 y se obtiene una ecuación de 2º grado, que factorizando el
trinomio, tenemos:
y = f ( x)
 x1 = 7
0 = x 2 − 6 x − 7 = ( x − 7 )( x + 1) ⇒ 
 x2 = −1
2
Tabla de valores para y = x − 6 x − 7
y = f(x)
x
Par ordenado
( x , y)
( −∞, +∞ )
−∞
-1
f ( −1) = ( −1) − 6. ( −1) − 7 = 1 + 6 − 7 = 0
0
f ( 0 ) = ( 0 ) − 6. ( 0 ) − 7 = 0 + 0 − 7 = −7
1
f (1) = (1) − 6. (1) − 7 = 1 − 6 − 7 = 1 − 13 = −12
2
f ( 2 ) = ( 2 ) − 6. ( 2 ) − 7 = 4 − 12 − 7 = 4 − 19 = −15
3
f ( 3) = ( 3) − 6. ( 3) − 7 = 9 − 18 − 7 = 9 − 25 = −16
4
f ( 4 ) = ( 4 ) − 6. ( 4 ) − 7 = 16 − 24 − 7 = 16 − 31 = −15
5
f ( 5 ) = ( 5 ) − 6. ( 5 ) − 7 = 25 − 30 − 7 = 25 − 37 = −12
6
f ( 6 ) = ( 6 ) − 6. ( 6 ) − 7 = 36 −36 − 7 = 0 − 7 = −7
7
f ( 7 ) = ( 7 ) − 6. ( 7 ) − 7 = 49 − 42 − 7 = 49 − 49 = 0
8
f ( 8 ) = ( 8 ) − 6. ( 8 ) − 7 = 64 − 48 − 7 = 64 − 55 = 9
(-1,0) Corte con x
2
(0,-7) Corte con y
2
(1.-12)
2
2
(2,-15)
2
( 3, −16 )
2
(4,-15)
2
(5,-12)
2
(6,-7)
2
(7,0) Corte con x
2
(8,9)
+∞
Vértice
( +∞, +∞ )
Gráfica de la función y = x 2 − 6 x − 7 (Con los datos de la tabla anterior)
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La Función Cuadrática
6. y = − x 2 − 4 x + 12
Es una función cuadrática, formada por un polinomio completo y decreciente, donde:
[ a = −1, b = −4, c = 12] , su gráfica es una parábola que abre hacia abajo ya que a <0
El Dominio de la función es todos los números reales. Dom f ( x) = ( −∞, +∞ ) = »
El rango de la función esta formado por el intervalo semi-abierto que desde k valor
máximo hasta menos infinito Rgo f ( x) = ( −∞, k ] = ( −∞,16]
La coordenada del vértice vienen dada por:
 −b 4.a.c − b 2   −(−4) 4.(−1)(12) − (−4) 2   4 −48 − 16 
,
,
=
= ,
 = ( −2,16 )
4a
4(−1)
−4 
 2.a
  2.(−1)
  −2
Cortes con los ejes:
A) El corte con el eje Y
Se hace x = 0 y se obtiene el valor numérico de y = 12 = C, por tanto el corte
con el eje y esta representado por el punto (0,12)
B) El corte con el eje X
Se hace y =0 y se obtiene una ecuación de 2º grado, que factorizando el
trinomio, tenemos:
( h, k ) = 
Elaborado por Licdo. Eliezer Montoya
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La Función Cuadrática
y = f ( x)
0 = − x 2 − 4 x + 12 =
−b ± b 2 − 4ac −(−4) ± (−4)2 − 4(−1)(12) 4 ± 16 + 48 4 ± 64
=
=
=
2a
−2
−2
−2
4 + 8 12

x =
=
= −6
4 ± 8  1
−2
−2
x=
⇒
−2
 x = 4 − 8 = −4 = 2
 2
−2
−2
x=
Tabla de valores para
x
y = − x 2 − 4 x + 12
y = f(x)
Par ordenado
( x , y)
( −∞, −∞ )
−∞
-6
-5
Corte con el eje x
f (−5) = −(−5)2 − 4.(−5) + 12 = −25 + 20 + 12 = −25 + 32 = 7
(6,0)
(-5,7)
-4
f (−4) = −(−4)2 − 4.(−4) + 12 = −16 + 16 + 12 = 0 + 12 = 12
(-4,12)
-3
-2
-1
0
1
2
3
2
f (−3) = −(−3) − 4.(−3) + 12 = −9 + 12 + 12 = −9 + 24 = 15
Coordenada del vértice
f (−1) = −(−1) 2 − 4.(−1) + 12 = −1 + 4 + 12 = −1 + 16 = 15
Corte con el eje y
f (1) = −(1)2 − 4.(1) + 12 = −1 − 4 + 12 = −5 + 12 = 7
Corte con el eje x
f (3) = −(3) 2 − 4.(3) + 12 = −9 − 12 + 12 + 12 = −9 + 0 = −9
+∞
(-3,15)
(-2,16)
(-1,15)
(0,12)
(1,7)
(2,0)
(3,-9) y (-7,-9)
( +∞, −∞ )
La gráfica de la función y = − x 2 − 4 x + 12 es:
Elaborado por Licdo. Eliezer Montoya
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