Ensayo-EI-III- 2.1.-2

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS
UNEFA
- Estadística III – Economía Social. *Semana 07 Del 05 al 07/05/2010- Lcdo. Eliezer
Montoya
p − p
Contenido de la Unidad II 2.1 Estadístico de prueba Z =
p.(1 − p ) / n
Estimación del intervalo de confianza para la proporción de una población p
(
( p − p) ± Z
c
)
p.q
= p − p ± Zc p.(1− p) / n
n
(
)
o
p − Z p.(1 − p) / n ≤ p ≤ p + Z p.(1 − p) / n
c
c
donde
p :proporción muestral = X = número de exitos
n tamaño de la muestra
p : proporción de la población
Z: valor critico a partir de la distribución normal estandar
n : tamaño de la muestra
*El factor de corrección del error estándar σ x puede ser modificado si las poblaciones son



finitas (o sin reemplazo) de tamaño n ≥ 0.05 N , entonces σ x = 
p.q  N − n

n  N − 1
1. La industria Gonzal Gom. C.A fabrican 9100 artículos mensuales. De estos se encuentran 305
defectuosos.¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la proporción de artículos
defectuosos?
Solución: 0.303 ≤ p ≤ 0.397
2. El gerente de operaciones de un periódico en una ciudad grande desea determinar la
proporción de periódicos impresos que tiene un atributo no conforme , como muy borroso,
mal paginado, paginas faltantes, paginas duplicadas entre otras cosas. El gerente determina que
debe seleccionarse una muestra aleatoria de de 200 periódicos para el
análisis. Supóngase que de esta muestra de periódicos,35 contienen algún tipo de de no
conformidad. Si quiere tomar un intervalo de confianza del 90% de confianza en la estimación
de la proporción verdadera de la población, establezca el intervalo de confianza estimado.
Solución. 0.1308 ≤ p ≤ 0.2192 .
3. Si n = 200 y X =50 establezca un intervalo de confianza de la proporción de 95% de la
población
Solución 0.19 ≤ p ≤ 0.31
4. Si n = 200 y X =50 establezca un intervalo de confianza de la proporción de 95% de la
población
Lcdo Eliezer Montoya
Estadística III –Unefa
1
5. Un distribuidor de de automóviles desea estimar la proporción de clientes que todavía
tienen los automóviles comprados hace 5 años. Una muestra aleatoria de de 200 clientes
seleccionada de los registros del distribuidor indica que 82 clientes conservan el auto
comprado 5 años antes.(a). Establezca una estimación del intervalo de confianza de 95% de la
proporción de la población de todos los clientes que conservan los autos 5 años después de
comprados. (a.) Establezca una estimación del intervalo de confianza de 95% de la proporción
de la población de todos los clientes que conservan los autos 5 años después de comprados.
Sol. 0.342 ≤ p ≤ 0.478
**6.-Para una muestra aleatoria de 100 trabajadores en una fábrica con 1200 empleados, 70
prefieren hacer sus propias aportaciones aun plan de pensiones privado en vez de participar
en el plan de pensiones patrocinado por la empresa. Calcule el intervalo de confianza del 95%
de la proporción de todos los trabajadores de la fabrica que prefieren sus propios planes de
pensiones .
Sol. 0.61 ≤ p ≤ 0.79
7.-Una empresa dedica a la realización de de encuestas quiere estimar con un nivel de
confianza del 90% la proporción de votantes que votarían aun determinado candidato con
±0.06 de la autentica proporción ( de la población )¿ Cuál es el tamaño de muestral mínimo
requerido si las demás encuestas indican que la proporción que votará a este candidato es del
0.30?
Sol. n = 157
8. En un supermercado, cuyas ventas por cliente acusan una desviación estándar de de Bs 100,
la administración, desea efectuar un muestreo, para conocer las ventas promedios del mes, con
un máximo de error muestral de ±30 , con respecto a la media poblacional y que ofrezca un
nivel de confianza del 90%.¿de cuantos clientes habrá de componerse la muestra que habrá de
tomarse?
Tamaño de una muestra. (Ayuda para los problemas 7 y 8)
Cuando no se conozca con precisión el tamaño de la población,
n=
Z 2 p.q
(1) Para proporciones
e2
n=
Z 2σ 2
(2) distr Normal
e2
Donde:
n
Z
p
q
e
es el tamaño de la muestra;
es el nivel de confianza;
es la variabilidad positiva;
es la variabilidad negativa;
es la precisión o error de la estimación
Lcdo Eliezer Montoya
Estadística III –Unefa
2
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS
UNEFA
- Estadística III – Economía Social . *Semana 08- Del 12 al 14/05/2010- Lcdo.
Eliezer Montoya Contenido de la Unidad II 2.2 -2.3
Estimación del intervalo de confianza para varianzas
Teorema
(Intervalo de confianza para σ 2 ) Si s2 es el valor de la varianza de una
muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal, un
intervalo de confianza del (1- α )100% para σ 2 esta dado por:
( n − 1) s 2 < σ 2 < ( n − 1) s 2
χα2 2,n −1
χ12−α 2,n −1
Se pueden obtener los limites de confianzas para del (1- α )100% correspondiente para σ
(desviación típica o estándar de la población ) sacando las raíces cuadradas de los limites de
confianza para σ 2 .
Ejemplo1
En 16 recorridos de prueba, el consumo de gasolina de un motor experimental tuvo una
desviación estándar del 2.2 galones. Construya un intervalo de confianza del 99% para σ 2 .
Solución:
Supongamos que los datos observados pueden considerarse como una muestra
aleatoria tomada de una población normal, obtenemos los siguientes datos: n = 16 , s = 2.2
; α =1-0.99 = 0.01 entonces α / 2 =0.005 por tanto1- α / 2 =0.995, buscamos en la tabla Chi
2
2
cuadrado χ.005,15
= 32.801 y χ.995,15
4.601
( n − 1) s 2 < σ 2 < ( n − 1) s 2 => 15(2.2) 2 < σ 2 < 15(2.2)2 => 2.21 < σ 2 < 15.78
2
2
χα 2,n −1
χ1−α 2,n −1
32.801
4.601
Calculando las raíces cuadradas de tenemos que le intervalo
correspondiente para σ viene dado por
de confianza
del 99%
1.49 < σ < 3.97
Estimación del intervalo de confianza para razones de dos varianzas
Teorema
(Intervalo de confianza para
σ 12
. Si s12 y s22 son los valores de la varianza
2
σ2
de una muestra aleatoria de tamaño n1 y n2 tomada de dos poblaciones
normales, un intervalo de confianza del (1- α )100% para
Lcdo Eliezer Montoya
Estadística III –Unefa
σ 12
esta dado por:
σ 22
3
s12
1
σ 12 s12
<
< .Fα 2,n 2 −1,n 1−1
s22 Fα 2,n 1−1,n 2 −1 σ 22 s22
Ejemplo 2.
Supongamos que un estudio para medir el contenido de nicotina de dos marcas de
cigarrillos. Se tomaron 10 cigarrillos de la marca A con una desviación estándar de 0.5
y de la otra marca B se tomaron 8 cigarrillos con una desviación estándar de 0.7.
Calcular el intervalo de confianza del 98 % de
σ 12
σ 22
Solución: Tenemos que n1=10 y n2 =8, S1 =0.5 y S2 =0.7 de la tabla de F se obtiene
que; α =1-0.98=0.02, α / 2 =0.01 luego al buscar en la tabla de F para 9 y 7 grados de libertad
F0.01,9,7 = 6,72
o bien para 7 y 9g.l. F0.01,7,9 = 5.61
σ2
0, 25 1
σ 2 0, 25
< 12 <
.5, 61 => 0.076 < 12 < 2,862
σ2
0, 49 6, 72 σ 2 0, 49
Problemas propuestos.
1. La longitud de los cráneos de 10 esqueletos fósiles de una especie de aves extinta
tiene una media de 5.68cm y una desviación estándar de 0.29 cm. Suponiendo que
estas mediciones son distribuidas normalmente, obtenga: (a) Un IC del 95% de la
longitud media de los cráneos de esta especie de aves. (b) Construya el intervalo de
confianza (IC) del 95% para la varianza verdadera en la longitud de los cráneos de la
especie de aves dada.
2. El tiempo que tarda en cambiar los cuatro neumáticos en la fórmula 1, 8 personas,
tiene una desviación estándar de 12 seg. Construir el IC del 95% para determinar la
verdadera varianza.
3. Durante varios años, se había aplicado una prueba de de nivel de matemática a todos
los estudiantes que aspiraban ingresar a cierta universidad. Si 64 estudiantes de
seleccionados al azar en este periodo tardaron en promedio 28.5 minutos en resolver
la prueba con una varianza de 9.3min2, (a) Construya un IC del 99% del tiempo
promedio verdadero que tardó un alumno en resolver el examen. (b) Construya un IC
del 99% para la desviación estándar verdadera que tardó un alumno en resolver el
examen.
4.-Doce árboles cítricos maduros tienen una altura que presenta una desviación estándar
de 1,2 pies y 15 árboles cítricos maduros seleccionados al azar con una desviación
estándar de 1,5 pies de altura. Construya un intervalo de confianza del 98% para la
razón de las dos varianzas de la población.
5. Los siguientes son las capacidades de producción de calor del carbón extraído de
dos minas (en millones de calarías por toneladas)
Mina A
Mina B
8500
7710
8330
7890
8480
7920
7960
8270
8030
7860
Construya un intervalo de confianza del 95 % para la razón de las dos desviaciones
estándar de la población.-
Lcdo Eliezer Montoya
Estadística III –Unefa
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