Números Complejos - Complejos

NÚMEROS COMPLEJOS
Viviana Paula D’Agostini
Magister en Didáctica de las Ciencias, mención Matemática
[email protected]
Números Complejos
Introducción
Recordemos algunos conjuntos numéricos que ya conocemos:
Números Naturales 𝑁 = { 1,2,3,4,5, . . . }
Números Naturales incluido el cero 𝑁 = {0,1,2,3,4,5, . . . } = 𝑁𝑈{0}
Números Enteros 𝑍 = {. . . −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, . . . }
p

Números Racionales Q   / p, q  Z  q  0

q
Números irracionales I: un número es irracional si su representación decimal
tiene infinitas cifras no periódicas. Ejemplos: 𝜋, ℯ, √2.
𝚴C𝚭C𝐐
𝐐U𝐈=𝐑
𝐑: números reales
Cada conjunto de números ha ido ampliándose para dar solución a nuevos
problemas. En particular, en el conjunto de los números reales no es posible
encontrar solución para la ecuación 𝑥 + 1 = 0. Es así que se define al número
“𝑖 ” tal que 𝑖 = −1 para poder dar solución a la ecuación mencionada.
El conjunto de números que resulta de adjuntar 𝑖 y sus combinaciones al
conjunto de los números Reales es el conjunto de los números Complejos que
trataremos a continuación.
Números Complejos
Un número complejo es de la forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 donde 𝑎 y 𝑏 son números reales
e 𝑖 se define por la relación 𝑖 = −1.
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es llamada Forma Binómica del complejo z.
𝑎 es llamada parte o componente real de z y se simboliza: 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎.
𝑏 es llamada parte o componente imaginaria de z y se representa: 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏.
El conjunto de los números complejos se simboliza:
ℂ = {𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖: 𝑎, 𝑏 ϵ 𝑅; 𝑖 = −1}
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1
Números Complejos
Todo número real 𝑎 es un número complejo ya que puede expresarse como
𝑎 + 0𝑖. Así los números reales se identifican con una parte de los números
complejos: 𝑎 ⟷ 𝑎 + 0𝑖.
Todo número de la forma 𝑏𝑖, llamado imaginario puro, es un número complejo
de parte real nula, y puede expresarse como 0+𝑏𝑖.
Ejemplo: Sean
𝑧 = 3 + 2𝑖 ,
𝑧 = − 5𝑖 ,
𝑧 = √3 ,
𝑧 = −7𝑖
3 es la parte o componente real de 𝑧 . 𝑅𝑒(𝑧 ) = 3.
2 es la parte o componente imaginaria de 𝑧 . 𝐼𝑚(𝑧 ) = 2.
es la parte o componente real de 𝑧 . 𝑅𝑒(𝑧 ) = .
−5 es la parte o componente imaginaria de 𝑧 . 𝐼𝑚(𝑧 ) = −5.
√3 es la parte o componente real de 𝑧 . 𝑅𝑒(𝑧 ) = √3.
0 es la parte o componente imaginaria de 𝑧 . 𝐼𝑚(𝑧 ) = 0.
0 es la parte o componente real de 𝑧 . 𝑅𝑒(𝑧 ) = 0.
−7 es la parte o componente imaginaria de 𝑧 . 𝐼𝑚(𝑧 ) = −7.
Ejercicio 1. Determina para cada uno de los siguientes números complejos sus
partes real e imaginaria.
𝑧 = −2 − 4𝑖 , 𝑧 =
1
+ 5𝑖 ,
3
𝑧 = √2 − 6𝑖 ,
𝑧 = −3𝑖,
𝑧 = 1000
La unidad imaginaria
El número 𝑖 recibe el nombre de unidad imaginaria y se acepta que se comporta
como un número real y respeta las propiedades de este conjunto. Además, son
válidas las siguientes propiedades de la potencia:
 𝑖 .𝑖 = 𝑖
 (𝑖 ) = 𝑖 . ,
,
𝑖, 𝑟 ϵ 𝕫
𝑖, 𝑟 ϵ 𝕫
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2
Números Complejos
Observación. Las sucesivas potencias de 𝑖 se repiten periódicamente en grupos
de 4. Es decir:
𝑖 = 𝑖,
𝑖 = 𝑖 . 𝑖 = (−1). 𝑖 = −𝑖,
𝑖 = −1,
𝑖 = 𝑖 .𝑖 = 1
𝑖 = 𝑖 . 𝑖 = 𝑖, 𝑖 = 𝑖 . 𝑖 = −1, 𝑖 = 𝑖 . 𝑖 = −𝑖, 𝑖 = 𝑖 . 𝑖 = 1.1 = 1
Por lo que es posible calcular cualquier potencia de 𝑖 como se enuncia en el
siguiente teorema.
Teorema: Para todo 𝑛 ϵ 𝕫 resulta 𝑖 = 𝑖 donde 𝑟 es el resto de la división
de 𝑛 por 4 (𝑟 = 0,1,2,3).
Demostración: 𝑛 = 4𝑘 + 𝑟
= (𝑖 ) . 𝑖 = 1 . 𝑖 = 𝑖
𝑖 =𝑖
𝑖 =
Ejemplo:
𝑖
𝑟 = 0,1,2 𝑜 3
1
𝑖
−1
−𝑖
= 𝑖
𝑠𝑖 𝑟 = 0
𝑠𝑖 𝑟 = 1
𝑠𝑖 𝑟 = 2
𝑠𝑖 𝑟 = 3
.
=(𝑖 )
Ejercicio 2. Determina los valores de: 𝑖 , 𝑖
𝑖 = 𝑖 = −𝑖
, 𝑖 ,𝑖
.
Igualdad de números complejos
Se dice que los números complejos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧 = 𝑐 + 𝑑𝑖 son iguales si
y solo si: 𝑎 = 𝑐 y 𝑏 = 𝑑.
Opuesto de un número complejo
Dado 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se llama opuesto de z al número complejo −𝑧 = −𝑎 − 𝑏𝑖.
Ejemplo:
𝑧 = 3 − 2𝑖
− 𝑧 = −3 + 2𝑖
Conjugado de un número complejo
Dado 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se llama conjugado de z al número complejo 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖.
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Números Complejos
Ejemplos: Dados 𝑧 = 3 + 2𝑖 ,
resultan 𝑧 = 3 − 2𝑖 ,
𝑧 = − 5𝑖 ,
𝑧 = + 5𝑖 ,
𝑧 = √3 , 𝑧 = −7𝑖
𝑧 = √3 ,
𝑧 = 7𝑖
Operaciones con números complejos en forma binómica
Si
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces:
 𝑧 + 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
 𝑧 + (−𝑧 ) = 𝑧 − 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 − 𝑑𝑖 = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
 𝑧 . 𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝑖). (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑏𝑖). 𝑐 + (𝑎 + 𝑏𝑖). 𝑑𝑖 =
= 𝑎. 𝑐 + 𝑏𝑖. 𝑐 + 𝑎. 𝑑𝑖 + 𝑏𝑖. 𝑑𝑖 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐𝑖 + 𝑎. 𝑑𝑖 + 𝑏. 𝑑𝑖 =
= (𝑎 ∙ 𝑐 − 𝑏. 𝑑) + (𝑎. 𝑑 + 𝑏. 𝑐)𝑖
 𝑧 :𝑧 =
∙
=
∙
Ejemplos: Dados 𝑧 = 3 + 2𝑖
=
𝑦
∙
∙
+
∙
.
𝑖
𝑧 = 1 − 2𝑖
𝑧 + 𝑧 = 3 + 2𝑖 + 1 + (−2)𝑖 = (3 + 1) + (2 − 2)𝑖 = 4 + 0𝑖
𝑧 − 𝑧 = 3 + 2𝑖 − 1 − (−2)𝑖 = 2 + 4𝑖
𝑧 . 𝑧 = (3 + 2𝑖). (1 − 2𝑖) = (3 + 4) + (−6 + 2)𝑖 = 7 − 4𝑖
𝑧 :𝑧 =
=
𝑧
3 + 2𝑖 3 + 2𝑖 1 − (−2)𝑖 3.1 + 2(−2) 2.1 − 3(−2)
=
=
∙
=
+
𝑖=
𝑧
1 − 2𝑖 1 − 2𝑖 1 − (−2)𝑖
12 + 22
12 + 22
−1 8
+ 𝑖
5
5
Ejercicio 3
i) Dados los números complejos
𝑧 = −√3 + 7𝑖 , 𝑧 = 6𝑖
𝑧 = −2 + 3𝑖 ,
𝑧 = 3 − 5𝑖,
𝑧 = −5 , realiza las operaciones indicadas.
a) 𝑧 + 𝑧 =
d) 𝑧2 =
g) 𝑧 : 𝑧 =
j) 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 =
b) 𝑧 + 𝑧 =
e) −𝑧 =
h) 𝑧5 + 𝑧4 =
k) 𝑧 . 𝑧 =
c) 𝑧 − 𝑧 =
f) 𝑧 . 𝑧 =
i) 𝑧 : 𝑧 =
l) −𝑧3 − 𝑧1 =
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4
Números Complejos
ii) Determina para qué valores de 𝑎 y 𝑏 los complejos 𝑧 = 𝑎 + 3𝑖 y
𝑧 = − 𝑏𝑖 son iguales.
Propiedades
1) 𝑧 = 𝑧̅ ⟺ 𝑧 ϵ 𝑅
2) 𝑧 + 𝑧̅ = 2𝑎
3) 𝑧 − 𝑧̅ = 2𝑏𝑖
4) 𝑧. 𝑧̅ = 𝑎 + 𝑏
5) 𝑧 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑧
6) 𝑧 . 𝑧 = 𝑧 . 𝑧
7) −𝑧̅ = −𝑧
8)
=
𝑧 ≠0
9)
= ̅
𝑧≠0
Ejercicio 4. Compruebe la veracidad de las propiedades citadas.
El plano complejo
Los números complejos pueden definirse como el conjunto de los pares
ordenados (𝑎, 𝑏) de números reales.
ℂ = 𝑅 × 𝑅 = {(𝑎, 𝑏): 𝑎, 𝑏 ϵ 𝑅} (𝑎 es la componente real, 𝑏 es la componente
imaginaria).
Puede establecerse una correspondencia biunívoca entre los pares (𝑎, 0) y los
números reales 𝑎.
La unidad imaginaria se define: 𝑖 = (0,1)
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟷ 𝑧 = (𝑎, 𝑏)
Representación geométrica
Dado un sistema de ejes cartesianos ortogonales en el plano, se establece una
correspondencia binunívoca entre puntos del plano y pares ordenados de
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Números Complejos
números reales. Esto permite representar los números complejos, ya que 𝑧 se
corresponde con un punto 𝑃(𝑎, 𝑏) del plano y recíprocamente.
𝑃(𝑎, 𝑏) ⟷ 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑃 recibe el nombre de afijo de 𝑧.
Dicha correspondencia hace posible así hablar del Plano Complejo.
El eje de las abscisas se llama eje real 𝑅𝑒(𝑧) y en él se representan los números
complejos de la forma 𝑧 = 𝑎 + 0𝑖 ⟷ (𝑎, 0).
El eje de las ordenadas se llama eje imaginario 𝐼𝑚(𝑧) y en él se representan
los números complejos puros 𝑧 = 0 + 𝑏𝑖 ⟷ (0, 𝑏).
A cada número complejo le corresponde un vector 𝑂𝑃 de origen en 𝑂 y extremo
el afijo 𝑃 de 𝑧.
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟷ 𝑃(𝑎, 𝑏) ⟷ 𝑂𝑃
Ejemplo:
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Números Complejos
Igualdad de complejos
Sean 𝑧 = (𝑎, 𝑏) y 𝑧 = (𝑐, 𝑑) entonces 𝑧 = 𝑧 ⇔ 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑.
Operaciones
Si 𝑧1 = (𝑎, 𝑏) y 𝑧 = (𝑐, 𝑑) resulta:
 𝑧 + 𝑧 = (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)
 𝑧 − 𝑧 = 𝑧 + (−𝑧 ) = (𝑎, 𝑏) + (−𝑐, −𝑑) = (𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑)
 𝑧 ∙ 𝑧 = (𝑎, 𝑏). (𝑐, 𝑑) = (𝑎. 𝑐 − 𝑏. 𝑑, 𝑎. 𝑑 + 𝑏. 𝑐)
 𝑧 :𝑧 =
= (𝑎, 𝑏).
=
∙
( , ) ( , )
=(
,
∙
) (
𝑐
−𝑑
,
𝑐 +𝑑 𝑐 +𝑑
 𝑧 = 𝑧. 𝑧 … 𝑧
,
( , ) ( ,
=(
)
=
,
∙
) (
,
)
)
=
𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑑 𝑏. 𝑐 − 𝑎. 𝑑
,
𝑖
𝑐 +𝑑
𝑐 +𝑑
𝑛 veces, 𝑛 ∈ ℕ − {1}
Ejercicio 5. Realiza las operaciones establecidas para los números complejos
indicados.
𝑧 = (3, −2) , 𝑧 = (−3,5) , 𝑧 = (−√3,6) , 𝑧 = (0,5) , 𝑧 = (−6,0)
a) 𝑧 + 𝑧 =
d) 𝑧 =
g) 𝑧 : 𝑧 =
b) 𝑧 + 𝑧 =
e) 𝑧
h) 𝑧5 =
c) 𝑧 − 𝑧 =
f) 𝑧 . 𝑧 =
=
i) 𝑧 + 𝑧 =
Módulo y argumento de un número complejo
Se llama módulo de un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 al número real positivo,
igual a la longitud del vector 𝑂𝑃 donde P es el afijo de 𝑧. Y simbolizamos con la
letra 𝜌 o |𝑧|.
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Números Complejos
Se observa gráficamente y utilizando el teorema de Pitágoras que:
𝜌 = |𝑧| = √𝑎 + 𝑏 .
Ejemplo:
|𝑧 | = √3 + 2 = √13
|𝑧 | =
(−4) + 1 = √17
Ejercicio 6. Determina los módulos de los siguientes números complejos
𝑧 = −2 + 3𝑖
𝑧 = −2
𝑧 = 3 + 1𝑖
𝑧 = (1,5)
𝑧 = √2 + √2i
𝑧 = (−1, 4)
𝑧 = 6𝑖
𝑧 = (−3, −3)
Se llama argumento de un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 al ángulo
∝ que forma la dirección positiva del eje Re(𝑧) con el vector asociado a z.
El complejo 𝑧 = 0 no posee argumento.
Si ∝ y ∝ son dos argumentos de z entonces 𝛼 = 𝛼′ + 2𝑘𝜋 .
Se llama argumento principal de 𝑧: ∝= arg(𝑧) , 0 ≤∝< 2𝜋,
𝑡𝑔 ∝=
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𝑎≠0
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Números Complejos
Si a = 0 y b > 0 entonces arg(z) =
Si a = 0 y b < 0 entonces arg(z) =
Si b = 0 y a > 0 entonces arg(z) = 0
Si b = 0 y a < 0 entonces arg(z) = π
Algunos ejemplos más:
𝑴 = {𝒛 ∈ ℂ/ |𝒛| = 𝟐}
𝑹 = {𝒛 ∈ ℂ/ 𝟏 ≤ |𝒛| ≤ 𝟐}
𝑺 = {𝒛 ∈ ℂ/ |𝒓𝒆(𝒛)| ≤ 𝟒}
𝑿 = {𝒛 ∈ ℂ / |𝒛| < 𝟏}
𝑾 = {𝒛 ∈ ℂ/−𝟏 ≤ 𝒓𝒆(𝒛) < 𝟐 ∧ |𝑰𝒎(𝒛)| < 1}
𝑻 = {𝒛 ∈ ∁/ |𝑰𝒎(𝒛)| ≤ 𝟑}
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𝑳 = 𝒛 ∈ ∁/|𝒛| = 1 ∧ 0 ≤ 𝐴𝑟𝑔(𝑧) ≤
𝝅
𝟐
Forma trigonométrica de un número complejo
Como puede observarse en figura 𝑎 = 𝜌𝑐𝑜𝑠 ∝ y 𝑏 = 𝜌𝑠𝑒𝑛 ∝ , lo que permite
expresar a 𝑧 en su forma trigonométrica:
𝑧 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑖𝑠𝑒𝑛 ∝)
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟷ 𝑧 = (𝑎, 𝑏) ⟷ 𝜌(𝑐𝑜𝑠 ∝) + 𝜌(𝑠𝑒𝑛 ∝)𝑖
Ejemplo: 𝑧 = 3 + 2𝑖 ,
2
𝑡𝑔 ∝ = ,
3
𝑧 = −4 + 𝑖 ,
𝑡𝑔 ∝ =
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1
,
−4
𝑧 = 2 − 2𝑖 ,
𝑡𝑔 ∝ =
−2
,
2
𝑧 = −1 − 3𝑖
𝑡𝑔 ∝ =
−3
−1
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Números Complejos
∝ = 33°41′24′′ ,
∝ = −14°2 10 ,
∝ = −45°,
∝ =71°33’54’’
𝑎𝑟𝑔 𝑧 = 33°41 24
𝑎𝑟𝑔 𝑧 = −14°2 10 + 180° = 165°57′50′′
𝑎𝑟𝑔 𝑧 = −45° + 360° = 315°
𝑎𝑟𝑔 𝑧 = 71°33’54’’° + 180° = 251°33′54′′
Ejercicio 7
a) Representa gráficamente los siguientes números complejos indicando a que
cuadrante o eje pertenecen.
𝑧 = −2 + 3𝑖 ,
𝑧 = 3 + 1𝑖 ,
𝑧 = −√2 − √2i ,
𝑧 = 6𝑖 ,
𝑧 = −2,
𝑧 = −𝑖
b) Representa los siguientes conjuntos del plano complejo.
𝑨 = {𝒛 ∈ ∁/ |𝒛| ≤ 𝟐}
𝑩 = {𝒛 ∈ ∁/ 𝟏 ≤ |𝒛| ≤ 𝟑}
𝑪 = {𝒛 ∈ ∁/ |𝒓𝒆(𝒛)| ≤ 𝟐}
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𝑫 = {𝒛 ∈ ∁/ |𝒓𝒆(𝒛)| < 2 ∧ |𝑰𝒎(𝒛)| ≤ 𝟏}
𝑬 = {𝒛 ∈ ∁/−𝟏 ≤ 𝒓𝒆(𝒛) < 3 ∧ 𝐼𝑚(𝑧) = 1}
𝝅
𝑭 = 𝒛 ∈ ∁/|𝒛| < 3 ∧ 𝐴𝑟𝑔(𝑧) =
𝟒
𝝅
𝑮 = 𝒛 ∈ ∁/𝟏 ≤ |𝒛| ≤ 𝟐 ∧ |𝑨𝒓𝒈(𝒛)| ≤
𝟒
c) Determina, justificando tu respuesta, si 𝑧 ∈ 𝐶, 𝑧 ∈ 𝐸, 𝑧 ∈ 𝐺, 𝑧 ∈ 𝐹,
𝑧 ∈ 𝐶, 𝑧 ∈ 𝐷.
Forma polar de un número complejo
Sea
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑖𝑠𝑒𝑛 ∝) llamamos Forma Polar a la
expresión: 𝑧 = |𝑧|∝ = 𝜌 .
𝑧1 = |𝑧1 |∝ = 22 + (−2)2 7𝜋 ,
Ejemplos: 𝑧 = 2 − 2𝑖 ,
𝑧1 = √87𝜋
4
𝑧 = −3𝑖
𝑧2 = 33𝜋
𝑧 =4
𝑧3 = 40
4
2
Igualdad de complejos en su forma polar
Sean 𝑧 = |𝑧 |
y 𝑧 = |𝑧 |
entonces 𝑧1 = 𝑧2 ⟺ |𝑧1 | = |𝑧2 | ∧
𝛼1 = 𝛼2 + 2𝑘𝜋 , 𝑘 𝜖 ℤ.
Operaciones en Forma polar
Dados 𝑧 = |𝑧 |
 𝑧 . 𝑧 = |𝑧 |

|
=|
Ejemplos:
|
|
=
y 𝑧 2 = | 𝑧 2 | 𝛼2
. |𝑧 |
|
|
|
| (
𝑧 = √8
𝑧 . 𝑧 = √8 . 3
= (|𝑧 |. |𝑧 |)(
)
𝑧 ≠0
)
,
= 3√8
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𝑧2 = 3
,
𝑧 =4
= 3√8
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Números Complejos
3
𝑧
3
=
=
𝑧
4
4
Ejercicio 8. Dados los números complejos
𝑧 = 1+𝑖,
𝑧 = 3 − 3𝑖 ,
𝑧 = −1 + √3𝑖 ,
𝑧 = −1 − √3𝑖
exprésalos en forma polar y realiza las operaciones establecidas.
a) 𝑧 . 𝑧 =
b) 𝑧 . 𝑧 =
c) 𝑧 : 𝑧 =
d) 𝑧 . 𝑧 =
e) 𝑧 : 𝑧 =
f) 𝑧 . 𝑧 . 𝑧 =
Pasaje de una forma a la otra
|𝑧| =
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎 +𝑏 ,
𝑡𝑔𝛼 =
𝑎≠0
𝑏
𝑎
𝑧 = |𝑧|∝
𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑖𝑠𝑒𝑛 ∝)
𝑎 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠 ∝)
𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑖𝑠𝑒𝑛 ∝)
𝑏 = |𝑧|(𝑠𝑒𝑛 ∝)
𝑧 = |𝑧|∝
𝑧 = |z|cos ∝ +i |z|sen ∝
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑧 = |z|(cos ∝ +isen ∝)
𝑧 = |z|cos ∝ +i |z|sen ∝
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑧 = |𝑧|∝
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟷ 𝑧 = (𝑎, 𝑏) ⟷ |𝑧|(𝑐𝑜𝑠 ∝) + |𝑧|(𝑠𝑒𝑛 ∝)𝑖 ⟷ |𝑧|∝
Ejemplo: 𝑧 = 2 − 2𝑖
2
𝑧 = |𝑧|∝ = 22 + (−2) 7𝜋 = √87𝜋
4
𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑖𝑠𝑒𝑛 ∝) = √8 𝑐𝑜𝑠
= √8
√
+
√
4
7𝜋
7𝜋
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
4
4
𝑖 = 2 − 2𝑖
𝑧 = 2 − 2𝑖 ⟷ 𝑧 = (2, −2) ⟷ √8 𝑐𝑜𝑠
7𝜋
7𝜋
+ √8 𝑠𝑒𝑛
𝑖 ⟷ √8
4
4
Recuerdo:
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Números Complejos

sen
cos
0




4
1
3
0
6
1
2
2
1
1
3
2
1
2
2
1
3
2
2
2
3
3
4
1
3
2
1
2
0
-

5
6
1
2
2
1
-
2
3
2
2
0
3
2
-1
0
-1
0
1
Ejercicio 9. Expresa los siguientes números complejos en forma binómica.
𝑧 =5 ,
,
𝑧 =2
𝑧 = 4
,
,
𝑧 =2
𝑧 =1 ,
𝑧 = √2
Potencia entera de un número complejo
Sea 𝑧 = |𝑧|∝ , 𝑛 𝜖 ℤ resulta 𝑧 = |𝑧|
.
2
𝑧 = |𝑧|∝ = 22 + (−2) 7𝜋 = √87𝜋
Ejemplo: 𝑧 = 2 − 2𝑖
4
4
,
𝑧 =1 ,
𝑧 = √2
e) 𝑧
f) 𝑧
𝑧 = √8
Ejercicio 10. Realiza las operaciones indicadas.
𝑧 =5 ,
𝑧 =2
𝑎) 𝑧
b) 𝑧
=
,
𝑧 = 4
=
c) 𝑧
,
=
𝑧 =2
d) 𝑧
=
=
=
Raíz enésima de un número complejo
Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se llama raíz enésima a toda solución de la ecuación
𝑛
𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑛 𝜖 ℕ − {1}. Se indica 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑖.
Teorema: Todo complejo 𝑧 = |𝑧|∝ tiene exactamente 𝑛 raíces enésimas
dadas por: √𝑧 =
|𝑧| ∝
; 𝑘 = 0,1,2. . , n − 1.
Observación. Todas las raíces enésimas tienen igual módulo
argumentos difieren en
|𝑧| y sus
radianes, por lo tanto, los afijos de estas raíces son
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Números Complejos
los vértices de un polígono regular de 𝑛 lados, inscripto en una circunferencia de
radio
|𝑧|.
Ejemplos:
a) Calcular las raíces cuartas de 𝑧 = 1
√1 = 1
𝑥 = 1 = 1,
= 1
𝑘 = 0,1,2. . ,3
𝑥 = 1 = 𝑖,
𝑥 = 1 = −1,
𝑥 =1
= −𝑖
b) Calcular las raíces quintas de 𝑧 = 𝑖
√𝑖 = 1
𝑥 =1
,
𝑘 = 0,1,2. . ,4
𝑥 =1 , 𝑥 =1 , 𝑥 =1
,
𝑥 =1
c) Calcular √1 + 𝑖
√2 = √2
𝑥 = √2 ,
𝑘 = 0,1,2.
𝑥 = √2 ,
𝑥 = √2
d) Calcular 𝑥 + 1 = 0
6
√−1 = 1𝜋+2𝑘𝜋
𝑥 = −1
𝑘 = 0,1,2. . ,5.
6
𝑥 = 1 , 𝑥 =1 ,
𝑥 =1 ,
𝑥 = 1 ,
𝑥 =1
b) √𝑖 =
c) √1 + 𝑖 =
,𝑥 =1
Ejercicio 11
i) Calcula: a) √−𝑖 =
d) √1 − 𝑖 =
ii) Encuentra el conjunto solución: 𝑥 + 1 = 0
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RESPUESTAS
Ejercicio 1
𝑅𝑒(𝑧 ) = −2
𝑅𝑒(𝑧 ) =
𝐼𝑚(𝑧 ) = −4
𝟏
𝐼𝑚(𝑧 ) = 5
𝟑
𝑅𝑒(𝑧 ) = √2
𝐼𝑚(𝑧 ) = −6
𝑅𝑒(𝑧 ) = 0
𝐼𝑚(𝑧 ) = −3
𝑅𝑒(𝑧 ) = 1000
𝐼𝑚(𝑧 ) = 0
Ejercicio 2
𝑖 = −𝑖,
𝑖
= 1,
𝑖
= −1,
𝑖
=𝑖
Ejercicio 3
i) a) 𝑧 + 𝑧 = 1 − 2𝑖
b) 𝑧 + 𝑧 = −4
c) 𝑧 − 𝑧 = −5 + 8𝑖
d) 𝑧 = 3 + 5𝑖
e) −𝑧 = √3 + 7𝑖
f) 𝑧 . 𝑧 = 9 + 19𝑖
g) 𝑧 : 𝑧 = −
−
𝑖
h) 𝑧 + 𝑧 = −5 + 6𝑖
i) 𝑧 : 𝑧 = 𝑖
j) 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 = −2 − √3 + 16𝑖
k) 𝑧 . 𝑧 = −18 − 12𝑖
l) −𝑧 − 𝑧 = √3 + 2 − 10𝑖
ii) 𝑎 =
𝑏 = −3
Ejercicio 4
1) 𝑧 = 𝑧̅ ⟺ 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 ⟺ 𝑏𝑖 = −𝑏𝑖 ⟺ 𝑏 = 0 ⟺ 𝑧 ϵ 𝑅
2) 𝑧 + 𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎 + 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑏𝑖 = 2𝑎
3) 𝑧 − 𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑎 + 𝑏𝑖 = 2𝑏𝑖
4) 𝑧. 𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖). (𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏𝑏𝑖 = 𝑎 + 𝑏
5) 𝑧 + 𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝚤) + (𝑐 + 𝑑𝚤) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝚤 =
= (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑)𝑖 = (𝑎 + 𝑐) + (−𝑏 − 𝑑)𝑖 =
= 𝑎 + 𝑐 − 𝑏𝑖 − 𝑑𝑖 = (𝑎 − 𝑏𝑖) + (𝑐 − 𝑑𝑖) = 𝑧 + 𝑧
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Números Complejos
6) 𝑧 . 𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝚤). (𝑐 + 𝑑𝚤) = (𝑎. 𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐)𝚤 =
= (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (−𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 − 𝑎𝑑𝑖 − 𝑏𝑐𝑖 =
= 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 − 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖 = (𝑎 − 𝑏𝑖). (𝑐 − 𝑑𝑖) = 𝑧 . 𝑧
7) −𝑧̅ = −(𝑎 − 𝑏𝑖) = −𝑎 + 𝑏𝑖 = −𝑎 − 𝑏𝚤 = −(𝑎 + 𝑏𝚤) = −𝑧
=
8)
=
.
9)
.
=
.
=
.
+
̅
=
̅
.
.
+
.
=
.
𝚤=
=
=
=
𝑧 ≠0
,
𝑧≠0
Ejercicio 5
a) 𝑧 + 𝑧 = (0,3)
d) 𝑧 = (3,2)
g) 𝑧 : 𝑧 =
b) 𝑧 + 𝑧 = (0, −7)
e) 𝑧
h) 𝑧5 =(-6,0)
c) 𝑧 − 𝑧 = (6,3)
f) 𝑧 . 𝑧 = (1,21)
= (5, −12)
𝑖
i) 𝑧 + 𝑧 = (−6, −5)
Ejercicio 6
|𝑧 | = √13, |𝑧 | = √10
, |𝑧 | = 2,
|𝑧 | = 6,
|𝑧 | = 2,
|𝑧 | = √17,
|𝑧 | = √18
|𝑧 | = √26,
Ejercicio 7
a) 𝑧 ∈ 𝐼𝐼 𝐶,
𝑧 ∈ 𝑒𝑗𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. ,
𝑧 ∈𝐼𝐶,
𝑧 ∈ 𝑒𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙,
𝑧 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶,
𝑧 ∈ 𝐼𝑉 𝐶
c) 𝑧 ∈ 𝐶, 𝑧 ∉ 𝐸, 𝑧 ∉ 𝐺, 𝑧 ∉ 𝐹, 𝑧 ∈ 𝐶, 𝑧 ∈ 𝐷.
Ejercicio 8
𝑧 = √2
,
𝑧 = √18
a) 𝑧 . 𝑧 = 6 ,
d) 𝑧 . 𝑧 = 2√2
,
𝑧 =2
,
𝑧 =2
b) 𝑧 . 𝑧 = 4 ,
c) 𝑧 : 𝑧 = 3
e) 𝑧 : 𝑧 = 1
f) 𝑧 . 𝑧 . 𝑧 = 4√2
,
,
Ejercicio 9
Mgter. Viviana D'Agostini
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Números Complejos
𝑧 =5,
𝑧 = −√3 − 𝑖,
𝑧 = 1 − √3𝑖 ,
𝑧 =
√
𝑧 = −4𝑖 ,
+ 𝑖,
𝑧 =−
√
−
√
𝑖
Ejercicio 10
𝑎) (50 ) = 1250
b) 27𝜋
= 162𝜋
c) 43𝜋
6
3
2
d) 25𝜋
= 44𝜋
e) 1𝜋
3
3
6
= 160
= 14𝜋
f) √24𝜋
= 22𝜋
3
3
3
Ejercicio 11
i) a) 1
𝑘 = 0,1,2.
𝑥 = 1 , 𝑥 =1
b) √𝑖 = 1
𝑘 = 0,1.
c) √2
𝑘 = 0,1,2,3.
𝑥 = √2
, 𝑥 = √2
,
ii) 𝑥 + 1 = 0
𝑥 =1
𝑥 = 1 , 𝑥 =1
𝑥 = √2
𝑘 = 0,1,2.
d) √2
,
𝑥 = √2
,
𝑥 = √2
, 𝑥 = √2
,
𝑥 = √2
𝑥 = √−1
5
√−1 = 1𝜋+2𝑘𝜋
𝑘 = 0,1,2. . ,4.
5
𝑥 = 1 , 𝑥 =1
,
𝑥 =1 ,
𝑥 = 1 ,
𝑥 =1
Bibliografìa
- Guzmán, M. (20007). Curso Introductorio Matemática. Rosario: UNREditora.
- Stewart, J., Redlin, L., Watson, S. (2012). Précalculo. Matemáticas para el
Cálculo. México: Cengage Learning.
- Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México: Pearson.
- Swokowski, E; Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. México: Cengage Learning.
Mgter. Viviana D'Agostini
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