Reducción de diagramas de bloques y funciones de transferencia en MATLAB

Taller: Reducción de diagramas de bloques y creación de funciones de transferencia en
MATLAB
1. Datos generales
Asignatura: Sistemas de Control Automático
Unidad o tema: Álgebra de bloques y funciones de transferencia
Modalidad: Individual o en parejas
2. Resultado de aprendizaje del taller
Reduce un diagrama de bloques y construye su función de transferencia equivalente, verificando
el resultado mediante MATLAB e interpretando polos, ceros y respuesta temporal del sistema.
3. Objetivos específicos
Al finalizar el taller, el estudiante será capaz de:
1. Identificar conexiones en serie, paralelo y lazos de realimentación en un diagrama de
bloques.
2. Reducir un sistema de bloques por etapas hasta obtener una función de transferencia
equivalente.
3. Crear funciones de transferencia en MATLAB con la función tf.
4. Verificar equivalencias mediante series, parallel, feedback y minreal.
5. Analizar la respuesta al escalón y la ubicación de polos y ceros.
6. Relacionar el álgebra de bloques con una aplicación de ingeniería, en este caso un motor
BLDC simplificado.
4. Conocimientos previos requeridos
Antes del taller, el estudiante debe manejar:

Transformada de Laplace.

Concepto de función de transferencia.

Interpretación de polos y ceros.

Operaciones algebraicas básicas con expresiones racionales.

Uso elemental de MATLAB.
5. Materiales y recursos

Computador con MATLAB y Control System Toolbox.

Calculadora científica.

Hoja de desarrollo o cuaderno.

Guía de teoría sobre álgebra de bloques y funciones de transferencia.

Script base proporcionado por el docente.
6. Marco teórico.
Un diagrama de bloques representa la relación entre señales y subsistemas dentro de un sistema
dinámico. Cada bloque contiene una función de transferencia W(s), que relaciona la salida con la
entrada en el dominio de Laplace. Las operaciones fundamentales para reducir diagramas son:
conexión en serie, conexión en paralelo y realimentación. En una conexión en serie, las funciones
de transferencia se multiplican; en paralelo, se suman; y en realimentación negativa, la función
𝐺(𝑠)
equivalente se expresa como 1+𝐺(𝑠)𝐻(𝑠). Estas reglas permiten simplificar estructuras complejas
hasta obtener una sola función de transferencia equivalente entre una entrada y una salida.
El uso de MATLAB fortalece este proceso porque permite construir y verificar de forma
computacional la equivalencia del sistema. Además, una vez obtenida la función de transferencia,
es posible analizar su respuesta temporal y su estructura dinámica.
7. Enunciado del taller
Se estudiará el sistema mostrado por la siguiente estructura lógica:
Sistema propuesto
El sistema posee:

un controlador 𝐺𝑐 (𝑠),

un bloque intermedio 𝐺1 (𝑠),

un bloque final 𝐺2 (𝑠),

una realimentación interna 𝐻1 (𝑠) alrededor de 𝐺2 (𝑠),

una realimentación externa 𝐻2 (𝑠) alrededor del sistema completo.
Se definen los bloques como:
𝐺𝑐 (𝑠) = 4
5
𝑠+2
2
𝐺2 (𝑠) =
𝑠+1
1
𝐻1 (𝑠) =
0.2𝑠 + 1
𝐺1 (𝑠) =
𝐻2 (𝑠) = 1
Descripción estructural
1. La señal de referencia 𝑅(𝑠) entra al lazo externo.
2. El error externo pasa por 𝐺𝑐 (𝑠) y luego por 𝐺1 (𝑠).
3. La salida de esa cadena alimenta a 𝐺2 (𝑠).
4. 𝐺2 (𝑠) tiene una realimentación interna dada por 𝐻1 (𝑠).
5. La salida total 𝐶(𝑠) se realimenta de forma unitaria mediante 𝐻2 (𝑠).
8. Actividades del taller
Parte A. Reducción manual del diagrama de bloques
Actividad 1
Identifique claramente:

la trayectoria directa,

el lazo interno,

el lazo externo,

la entrada 𝑅(𝑠),

la salida 𝐶(𝑠).
Actividad 2
Reduzca primero el lazo interno formado por 𝐺2 (𝑠) y 𝐻1 (𝑠).
Escriba la función equivalente:
𝐺𝑖𝑛𝑡 (𝑠) =
𝐺2 (𝑠)
1 + 𝐺2 (𝑠)𝐻1 (𝑠)
Actividad 3
Conecte en serie el resultado anterior con 𝐺𝑐 (𝑠) y 𝐺1 (𝑠).
Obtenga:
𝐺𝑑𝑖𝑟 (𝑠) = 𝐺𝑐 (𝑠) 𝐺1 (𝑠) 𝐺𝑖𝑛𝑡 (𝑠)
Actividad 4
Cierre el lazo externo con 𝐻2 (𝑠) y obtenga la función de transferencia total:
𝑇(𝑠) =
𝐶(𝑠)
𝐺𝑑𝑖𝑟 (𝑠)
=
𝑅(𝑠) 1 + 𝐺𝑑𝑖𝑟 (𝑠)𝐻2 (𝑠)
Actividad 5
Simplifique algebraicamente el resultado final y expréselo como cociente de polinomios en sss.
Parte B. Verificación en MATLAB
Actividad 6
Implemente en MATLAB las funciones de transferencia del sistema propuesto.
Actividad 7
Verifique en MATLAB la reducción manual usando:

tf

series

feedback

minreal
Actividad 8
Obtenga y analice:

la respuesta al escalón,

los polos,

los ceros.
Actividad 9
Escriba una interpretación técnica breve de la respuesta obtenida:

rapidez de respuesta,

posible oscilación,

estabilidad,

efecto de la realimentación.
Parte C. motor BLDC
Como extensión del taller, construya en MATLAB la función de transferencia simplificada de un
motor BLDC a partir de su modelo electrome-cánico:
𝐺𝑚 (𝑠) =
Ω(𝑠)
𝐾𝑡
=
𝑈(𝑠) 𝐿𝐽 𝑠 2 + (𝑅𝐽 + 𝐿𝐵)𝑠 + (𝑅𝐵 + 𝐾𝑒 𝐾𝑡 )
Use los siguientes parámetros:
𝐽 = 5.1 × 10−7
𝐵 = 1.0 × 10−5
𝑅 = 5.9
𝐿 = 250 × 10−6
𝐾𝑒 = 0.0213
𝐾𝑡 = 0.0213
Luego:
1. Cree la función de transferencia en MATLAB.
2. Obtenga la respuesta al escalón.
3. Reporte los polos del sistema.
4. Indique si el sistema es estable y qué orden presenta.
9. Productos a entregar
El estudiante entregará:
1. Desarrollo manual de la reducción del diagrama de bloques.
2. Función de transferencia equivalente final.
3. Script de MATLAB comentado.
4. Gráficas de respuesta al escalón.
5. Lista de polos y ceros.
6. Interpretación breve de resultados.
7. Desarrollo de la aplicación BLDC.