TEOREMA DE BAYES
1. El Control Remoto
Creencia inicial: La mayoría de las veces (90%), el control remoto funciona bien.
Nueva evidencia: No puedes cambiar de canal.
Conclusión de Bayes: La probabilidad de que las pilas estén agotadas ahora es
mucho más alta que el 10% inicial. La nueva evidencia (no poder cambiar de
canal) ha actualizado tu creencia.
2. El Bebé Llorando
Creencia inicial: La probabilidad de que tu bebé llore sin motivo es baja (5%).
Nueva evidencia: Es hora de comer y el bebé está llorando.
Conclusión de Bayes: La probabilidad de que el bebé llore porque tiene hambre
aumenta considerablemente. La nueva evidencia (la hora de la comida) te ayuda
a entender la causa más probable.
3. El Tráfico en la Carretera ŵ
Creencia inicial: Normalmente, el tráfico en tu ruta es ligero (70%).
Nueva evidencia: Es viernes por la tarde, un día en el que el tráfico suele ser
pesado.
Conclusión de Bayes: La probabilidad de que haya tráfico pesado en tu ruta es
ahora mucho más alta. El día de la semana es una pieza clave de información que
modifica tu expectativa original.
4. El Ruido del Vecino
Creencia inicial: La probabilidad de que tu vecino esté escuchando música a alto
volumen es baja (10%).
Nueva evidencia: Es sábado por la noche y sabes que tu vecino suele dar fiestas.
Conclusión de Bayes: La probabilidad de que el ruido provenga de su música es
mucho más alta ahora que antes. El contexto (sábado por la noche y fiestas) es la
nueva evidencia.
5. La Llave Perdida
Creencia inicial: La probabilidad de que hayas dejado las llaves dentro de tu casa
es baja (5%).
Nueva evidencia: Has buscado en todos tus bolsillos y en el coche sin éxito.
Conclusión de Bayes: La probabilidad de que las llaves estén dentro de la casa es
ahora mucho mayor. La nueva evidencia (la falta de éxito en la búsqueda) te obliga
a actualizar tu creencia inicial y a considerar esa posibilidad con más seriedad.
Una fábrica dispone de 2 máquinas que elaboran el 40% y 60% de balones
de gas.
Los balones
defectuosos
que
salen en porcentaje
son: 2% y 3%
respectivamente. Se
selecciona y balón al
azar
de
la
producción y este es
defectuoso. ¿Cuál
es la probabilidad de
que
haya
sido
fabricado por la
máquina 1?
P(1/D) probabilidad que fuera fabricado por la maquina 1 dado que fue defectuoso
P(1/D)= P(1)*P(D/1)
P(D)
El Teorema de Bayes en Acción
Este problema se resuelve usando el Teorema de Bayes, el cual nos
permite calcular la probabilidad de un evento basándonos en información previa
sobre las probabilidades de otros eventos relacionados. En este caso, queremos
saber la probabilidad de que un balón defectuoso haya sido fabricado por la
máquina 1.
Paso a Paso
1. Identificar las probabilidades iniciales:
Probabilidad de que un balón sea fabricado por la máquina 1
(P(M1)): 40% o 0.40.
Probabilidad de que un balón sea fabricado por la máquina 2
(P(M2)): 60% o 0.60.
Probabilidad de que un balón de la máquina 1 sea defectuoso
(P(D∣M1)): 2% o 0.02.
Probabilidad de que un balón de la máquina 2 sea defectuoso
(P(D∣M2)): 3% o 0.03.
2. Calcular la probabilidad total de que un balón sea defectuoso (P(D)):
Para esto, sumamos las probabilidades de que un balón sea defectuoso y
provenga de cada máquina.
P(D)=P(D∣M1) ⋅P(M1) +P(D∣M2) ⋅P(M2)
P(D)= (0.02⋅0.40) +(0.03⋅0.60)
P(D)=0.008+0.018
P(D)=0.026
Esto significa que la probabilidad de elegir al azar un balón y que este sea
defectuoso es del 2.6%.
3. Aplicar el Teorema de Bayes:
Ahora que tenemos la probabilidad total de un balón defectuoso, podemos
responder la pregunta:
¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina 1,
dado que es defectuoso?
La fórmula es:
P(M1∣D) =P(D∣M1) P(M1)
P(D)
Sustituimos los valores que ya calculamos:
Respuesta
La probabilidad de que un balón defectuoso haya sido fabricado por la
máquina 1 es de aproximadamente 30.77%.
Interpretación
Aunque la máquina 1 produce el 40% de todos los balones, cuando
encontramos un balón defectuoso, solo hay un 30.77% de probabilidad de que
venga de esta máquina.
Esto se debe a que la máquina 1 tiene una menor tasa de defectos (2%)
comparada con la máquina 2 (3%).
Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes es una fórmula que nos ayuda a calcular la probabilidad
de que ocurra un evento A, sabiendo que ocurrió otro evento B.
En otras palabras, nos dice:
'Si tengo nueva información,
¿Cómo cambia mi creencia sobre la probabilidad de algo?'
La fórmula es:
P(A|B) = [ P(B|A) × P(A)] / P(B)
Donde:
- P(A|B): Probabilidad de A dado que ocurrió B.
- P(B|A): Probabilidad de B dado que ocurrió A.
- P(A): Probabilidad de que ocurra A (antes de saber B).
- P(B): Probabilidad de que ocurra B.
EJEMPLO
Supongamos que el 1% de las personas tiene una enfermedad.
Una prueba detecta la enfermedad con un 99% de acierto si la persona está
enferma, pero también da un falso positivo del 5% si la persona está sana.
Si una persona obtiene un resultado positivo,
¿Cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma?
Usamos Bayes:
P(Enfermo|Positivo) = [0.99 × 0.01]
[ (0.99 × 0.01) + (0.05 × 0.99)]
= 0.0099 / (0.0099 + 0.0495)
= 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.1667 (16.67%)
Aunque la prueba es bastante precisa, como la enfermedad es muy
rara, un positivo solo significa un 16.67% de probabilidad real de estar
enfermo.
Ejemplo
Una fábrica tiene 3 máquinas que producen tornillos:
- Máquina A produce el 50%.
- Máquina B produce el 30%.
- Máquina C produce el 20%.
Porcentaje de tornillos defectuosos:
- Máquina A: 1%
- Máquina B: 2%
- Máquina C: 5%
Se elige un tornillo al azar y resulta defectuoso.
Pregunta:
¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la Máquina C?
Definición de eventos:
A: Tornillo fabricado por la máquina A
B: Tornillo fabricado por la máquina B
C: Tornillo fabricado por la máquina C
D: Tornillo defectuoso
Datos:
P(A) = 0.50
P(B) = 0.30
P(C) = 0.20
P(D | A) = 0.01
P(D | B) = 0.02
P(D | C) = 0.05
Probabilidad total de defecto:
P(D) = 0.01(0.50) + 0.02(0.30) + 0.05(0.20)
P(D) = 0.005 + 0.006 + 0.010 = 0.021
Aplicando el Teorema de Bayes:
P (C | D) = [P (D | C) · P(C)]
P(D)
P (C | D) = (0.05 · 0.20)
0.021
P (C | D) ≈ 0.476
Respuesta:
La probabilidad de que el tornillo defectuoso haya sido fabricado por la máquina
C es aproximadamente 47.6%.
Ejemplo
Hay dos cajas: Caja A (2 bolas rojas, 1 azul). Caja B (1 roja, 2 azules). Se elige
una caja al azar (50%-50%) y se extrae una bola que resulta roja.
¿Cuál es la probabilidad de que la caja elegida haya sido A?
Solución:
P(A)=0.5. P(roja|A) =2/3. P(roja|B)=1/3.
Aplicamos Bayes: P(A|roja) = P(roja|A)P(A) / [P(roja|A)P(A)+P(roja|B)P(B)].
Cálculo:
Numerador = (2/3)*0.5 = 1/3 ≈ 0.3333.
Denominador = 1/3 + (1/3)*0.5 = 1/3 + 1/6 = 1/2 = 0.5.
P(A|roja) = (1/3)/(1/2) = 2/3 ≈ 66.67%.
Interpretación: Es más probable que la bola provenga de la Caja A.
Ejercicios combinados
• Una enfermedad tiene prevalencia 5%. Un test tiene sensibilidad 90% y
especificidad 95%. Si el test es positivo, ¿Cuál es la probabilidad de
enfermedad?
• En una urna hay 4 bolas rojas y 6 azules. Se elige al azar una bola y es
roja. Antes de sacar la bola sabías que la urna venía de dos proveedores:
X (prob 0.7) que entrega urnas con esa composición y Y (prob 0.3) que
entrega urnas con 2 rojas y 8 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que la
urna sea del proveedor Y dado que la bola es roja?
• Tres máquinas producen piezas: M1 40% (defecto 1%), M2 35% (defecto
2%), M3 25% (defecto 3%). Se toma una pieza defectuosa. ¿Cuál es la
probabilidad de que provenga de M2?
• Test de embarazo: prevalencia 10%, sensibilidad 98%, especificidad 99%.
Resultado negativo. ¿Probabilidad de estar embarazada dado
negativo?
• En una ciudad, 1% tiene gripe. Un test rápido tiene sensibilidad 85% y
especificidad 90%. Se hace el test y da positivo. ¿Cuál es la prob. real de
tener gripe?
• Problema de fábrica con 2 turnos: turno 1 produce 60% (defectos 2%),
turno 2 produce 40% (defectos 5%). Tomada una pieza defectuosa, ¿prob.
que sea del turno 2?
• Un examen tiene tasa de falso positivo 4% y falso negativo 6%. Prevalencia
12%. Si un alumno falla el examen (resultado negativo para 'aprobado'),
¿prob. de que realmente aprobó?
• Un laboratorio A produce 70% de reactivos con 2% contaminados;
laboratorio B 30% con 6% contaminados. Tomado al azar un reactivo
contaminado, ¿prob. que venga de B?
• En un test psicológico P(trastorno)=0.15. Un indicador aparece con
P(ind|trastorno) =0.7 y P(ind|¬trastorno)=0.2. Encontrado el indicador,
¿prob. de trastorno?
• Un juego: eliges una de tres puertas. Detrás: un carro y dos cabras. Monty
abre una puerta con cabra y te ofrece cambiar. ¿Cuál es la prob? de ganar
si cambias?
• Dos enfermedades D1 y D2, previas 0.6 y 0.4. Un test da positivo con
P(+|D1)=0.3, P(+|D2)=0.8. ¿Prob. de D2 dado positivo?
• Un detector de humo tiene sensibilidad 99% y probabilidad de alarma por
cocción (falso positivo) 2%. Incendios ocurren en 0.05% de los casos. Si
suena la alarma, ¿prob. de incendio real?
• Se eligen al azar dos urnas: U1 con 3R,1B y U2 con 2R,2B (prob 0.5 cada
una). Se extrae bola y es roja; luego, sin devolver, se extrae otra bola de la
misma urna y es azul. ¿Prob. que la urna sea U1?
• Problema combinado: Dos cajas A (30% prob) y B (70%). A tiene 5 rojas, 5
verdes; B tiene 2 rojas, 8 verdes. Se elige caja y se saca una bola verde.
¿Prob. que la caja sea A?
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