EJERCICIOS DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ÁNGULOS ASOCIADOS
Son aquellos ángulos que se relacionan con la
circunferencia por su ubicación. Además, se sabe que
la medida de los ángulos y los arcos de la circunferencia
cumplen con determinadas ecuaciones o fórmulas.
1. Ángulo central
Es aquel ángulo cuyo vértice es el centro de
la circunferencia y sus lados son dos radios
cualesquiera.
∠AOB es un ángulo central donde OA y OB
son radios y O es el centro de la circunferencia.
AB es un arco de la circunferencia.
Luego, se cumple para todo ángulo central:
3. Ángulo semiinscrito
Es aquel ángulo formado por una recta tangente
a la circunferencia y una cuerda que pasa por el
punto de tangencia. Sea la recta L tangente, B
es el punto de tangencia y BC es una cuerda de la
circunferencia.
El ∠ABC es un ángulo semiinscrito. Además, BC
es el que determina la cuerda en la circunfernecia.
Luego, para el ángulo semiinscrito se cumple:
A
B
q
2q
C
A
O
a
a
m∠AOB = m AB = a
m∠ABC = m BC y 2m∠ABC = m BC
2
B
4. Ángulo interior
2. Ángulo inscrito
Es aquel ángulo formado por dos cuerdas, cuyo
vértice es un punto de la circunferencia (aferente)
∠ABC, inscrito en la circunferencia de centro O,
donde AB y BC son cuerdas de la circunferencia
y el punto B pertenece a la circunferencia.
Luego, para el ángulo inscrito, se cumple:
A
B
b
2b
C
m∠ABC = m AC
2
o 2m∠ABC = m AC
Es aquel ángulo formado por dos cuerdas secantes que se cortan en un punto de la región interior
de la circunferencia.
C
B
a
x
E
b
D
A
En todo ángulo interior, se cumple:
m∠ABC = x; mAB = a; mCD = b
x =a + b
2
5. Ángulo exterior
Es aquel ángulo ubicado en la región externa de la
circunferencia.
C
B
P
x
b
a
D
A
Se puede formar:
YY Por la intersección de una recta tangente y
una recta secante a la circunferencia, donde A
es un punto de tangencia y L es una tangente.
C
B
P
x
b
a
YY Por la intersección de dos rectas secantes a la
circunferencia.
A
B
b
a
D
x =a – b
2
E
YY Por la intersección de dos rectas tangentes a la
circunferencia.
A
a
x
b
A
C
x
B
x = a – b ; x+ b = 180°
2
C
(A y C: puntos de tangencia)
x =a – b
2
Trabajando en clase
PUCP
4. Si C es punto de tangencia, calcula m CD .
B
Integral
1. Si mABC=250°, calcula «x».
A
O
C
x
A
C
B
D
2. Determinar el valor de «x».
B
A
32°
Resolución:
Piden m CD , en la figura tenemos:
B
80°
2x
C
8°
C 58° 32°
5
A
3. Determina el valor de «x».
A
D
B
50° x
C
120°
D
P
Luego m CD = 2m∠ECD
m CD = 2(58°)
→
m CD = 116°
5. Si C es el punto de tangencia, calcula mCD.
A
42°
C
B
9. Calcula mAB, si mCD = 20°.
F
C
50°
B
80°
A
D
E
D
10. Calcula mBC , si A es punto de tangencia.
B
6. Calcula «x + y».
B
A
C
x
P Q
110°
y
T
D
7. Si A es punto de tangencia, calcula mAED.
A
B
40°
E
D
25°
A
40°
S
11. Calcula «x» si mABC = 280°. (A: punto de tangencia).
A
L
x
B
C
C
UNI
UNMSM
8. Calcula mAB; si mCD = 30°.
B
C 70°
A
D
F
A
60°
G
C 70°
B
12. Determina el valor de «x».
B
65°
Resolución:
Piden: mAB
En la figura, tenemos:
F
D
Luego, 50° = mAB + mCD
2
100°= mAB + 30°
mAB = 70°
x
C
D
Resolución:
Piden: «x»
En la figura, por propiedad del ángulo inscrito.
B 2x
30°
50°
A
C
70°
60°
G
A
x
140° D
C
Luego, tenemos:
Medida angular de la circunferencia = 360°
2x + 140° = 360°
2x = 220°
x = 110°
A
x
F
A
13. Encuentra el valor de «x».
C
B 100°
14. Calcula «x» si B y E son puntos de tangencia.
B
x
70°
D
E
D
C
0
